Este documento presenta tres problemas relacionados con el cálculo diferencial y su aplicación en el diseño y funcionamiento de automóviles. El primer problema involucra determinar las medidas óptimas de una caja de aluminio para un motor. El segundo problema busca encontrar el momento en que un coche alcanza su velocidad máxima y cuál es esa velocidad. El tercer problema concluye que el cálculo diferencial es una herramienta indispensable para los ingenieros para diseñar y analizar el funcionamiento de los automóviles.

2. INTRODUCCIÓN
El cálculo diferencial es una parte importante del análisis
matemático y dentro del mismo del cálculo. Consiste en el estudio
del cambio de las variables dependientes cuando cambian las
variables independientes de las funciones o campos objetos del
análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la
derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial
de una función.
Las derivadas también pueden ser utilizadas para calcular la
concavidad. Las funciones no tienen derivadas en los puntos en
donde hay una tangente vertical(la cual tiene una pendiente infinita),
una discontinuidad o bien un pico.
Durante el siguiente trabajo se desarrollará ejemplos de algunos
fenómenos físicos en los automóviles.

3. 1° Función

4. X Y
1 73.5
2 68.5
3 66.83
4 66
5 65.5

5. 2° Función

7. 3° Función

10. Problema:
Una compañía automotriz pretende fabricar una caja
de aluminio con el fin de poder poner ahí la
computadora del motor con una capacidad de 108 cm3.
La caja debe tener la forma de un prisma
cuadrangular sin tapa.
¿Qué medidas debería tener la caja para ocupar la
mínima cantidad de material en su fabricación y con
ello reducir los costos?

11. Solución.

18. Problema 2:
Un coche de competición se desplaza a una velocidad
que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión
v(x)= (2-x)ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a
velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que
momento del intervalo circula a la velocidad máxima
y calcular dicha velocidad. ¿En qué periodos gano
velocidad y en cuáles redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

19. SOLUCIÓN
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex
 Sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x
=1, (ya q ex nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1
v ‘ + 1 - 2
y crece decrece

20. Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1
(gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad),
veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)= (2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

21. LA GRÁFICA:
Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento, y el máximo de la
función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos que si la derivada da positiva la
función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene
un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición
necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

22. PROBLEMA 3

23. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre
las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).ex, donde
x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de
kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la
velocidad máxima y calcular dicha velocidad.
¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo
alguna vez?
v’(x)=-1(ex )+ ex(2-x)= -ex + 2 ex- x (ex)= ex- xex
v’(x)=ex (1-x)
ex (1-x)=0
1-x=0
x=1

24. v(x)= (2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 En este
punto a velocidad se
detuvo

25. CONCLUSION
Como podemos comprobar, el uso del calculo es
indispensable tanto en los fenómenos ocurridos en
cualquier suceso, en este trabajo se manejo como
suceso el funcionamiento de los automóviles.
Esto demuestra que el calculo es una herramienta
indispensable en el trabajo de un ingeniero, ya sea en
el diseño, en el ensamble o en el funcionamiento de
los automóviles, es la base para el obrar de un
ingeniero.

26. BIBLIOGRAFIA
Paul E. Tippens. (2011). Física, Conceptos y
Aplicaciones. México: McGraw-Hill.
Alejandro Rosas Snell Juan Zúñiga Contreras.
(2011). COLEGIO DE BACHILLERES
MATEMÁTICAS II. México: McGraw-Hill.