El documento introduce el modelo ARIMA, que se utiliza para pronosticar series temporales mediante la identificación de patrones en los datos estadísticos históricos. El modelo combina componentes autorregresivas, de integración y de media móvil para hacer predicciones a corto y largo plazo de manera óptima. El documento explica las ventajas del modelo ARIMA y cómo se utiliza software estadístico para identificar y ajustar el mejor modelo ARIMA para una serie de datos en particular.

1. Introducción al ModeloARIMA Juan G. Vélez Juan Ferreira

3. EJEMPLO DE UNA CURVA DE DATOS

4. USOS Tal como aparece, una señal de este tipo, que es una representación histórica cuantitativa de un proceso numérico en el tiempo, no se puede usar adecuadamente para hacer predicciones, simplemente es un record de data vs. tiempo. Sin embargo a partir del trabajo de diferentes autores, se han ido desarrollando diversos métodos de transformación de la señal que a partir de ciertos ajustes, cambian y convierten la señal en una ecuación lineal con coeficientes numéricos que nos permitem hacer predicciones.

5. VENTAJAS Así para los años 70, aparecen Box y Jenkins con un método muy ingenioso que progresivamente fue mejorado y que toma la señal por partes y a partir de procesos estadísticos la cambian a una que sea lineal, útil y que incluya un 95 % de confidencia con respecto a los valores originales. La principal ventaja de esta metodología es que proporciona predicciones óptimas a largo y corto plazo. Esto se debe a que la metodología Box-Jenkins nos permite elegir entre un amplio rango de distintos modelos según represente mejor el comportamiento de los datos.

6. ARIMA (p,d,q) El acrónimo ARIMA significa modelo autorregresivo integrado de media móvil (AutoRegressive Integrated Moving Average). Cada una de las tres partes del acrónimo se le denomina una componente y modela un comportamiento distinto de la serie (p, d, q). Llamaremos p: la autorregresion de la serie; d: a la integración o diferenciación de la serie y q: a la media móvil de la serie. Sin embargo, para entender ARIMA, comentaremos un poco sobre ARMA que nos ayudara a entenderla mejor.

7. Ecuacion General ARMA

8. ARMA La componente autorregresiva consiste en hacer una regresión da la variable Yt sobre si misma, es decir, se realiza una regresión sobre los valores que la variable tomó en el período de tiempo o períodos de tiempo anteriores. La componente de media móvil consiste en tomar una media sobre los términos mas recientes hasta el segundo de adelante hacia atrás. Todo esto funciona bien para series que son mas bien regulares no para las irregulares.

9. AR y MA Los modelos ARMA provienen de la unión de dos partes: AR y MA en una serie de tiempo. Si se usa solo AR, entonces sólo se usa la parte p del modelo que es la autorregresion. Si se usa la parte MA en el modelo se toma la q que es la media móvil sobre la serie. Si se combinan las dos partes sobre la misma se obtiene el modelo ARMA (p,q). (p es el orden de la autorregresion y q el orden de la media móvil empleado. Si p =1 se usa sólo el valor anterior, si p=2 se usan los dos últimos; lo mismo sucede con q.

10. ARMA Y ARIMA Un modelo ARIMA (p, d, q), se puede definir como un modelo de regresión lineal múltiple ARMA, donde la variable dependiente es la propia serie (diferenciada o no) y las variables independientes son valores de la serie y valores de los errores de ajuste retrasados hasta unos órdenes p y q, respectivamente. Al hacerse una diferenciación de orden 1 ó 2, se convierte en una ARIMA (p,d,q) . Esto significa que se tienen en cuenta los efectos acumulados de las fluctuaciones irregulares de las series anteriores.

11. ARMA Y ARIMA Un modelo ARMA es un modelo lineal. Esto significa que la variable que define la serie temporal depende de una constante C, linealmente de valores pasados de la misma variable y linealmente de una ponderación de errores de ajuste realizados en el pasado. (tY) A la dependencia de la serie temporal con los valores pasados de la misma serie temporal se le denomina componente autorregresiva del modelo (AR).

12. AR El número de retrasos de la serie temporal que se introducen en el modelo se denomina orden autorregresivodel modelo y se denota mediante la letra p. La palabra autorregresivoviene de que se modela este comportamiento como una regresión lineal múltiple (regresivo) con valores propios de la misma serie temporal (auto) retrasados un periodo de muestreo T(T=1,2,...,p). La autorregresion es un proceso en el que cada valor se correlaciona con los anteriores.

13. MA Siguiendo un desarrollo paralelo al anterior, se denomina componente de media móvil de un modelo ARMA a la dependencia de la serie temporal con valores pasados de los errores (MA). El número de errores pasados que se introducen en el modelo se llama orden de media móvil y se nota con la letra q. Así podemos decir que la diferencia entre p y q es que en q, cada valor de una serie de media móviles es una media ponderada del ruido mas reciente, mientras que p es una media ponderada de los valores recientes de la serie.

14. ARMA y ARIMA Los modelos ARIMA se construyen a partir de los modelos ARMA, pero considerando que la serie en estudio para que sea estacionaria en media tendrá que diferenciarse una serie de veces.

15. DEFINICION ARIMA Un modelo ARIMA (p,d,q) es un modelo ARMA(p,q) donde Y t ^(d) es la serie de las diferencias de orden dy Ԑ t(d) es la serie de los errores que se cometen en la serie anterior. Habitualmente el orden de diferenciación d entero oscila entre 0 y 2. Así se cubre ampliamente las contribuciones de los errores anteriores. Aquí, Yn-Yn-1, sería una primera diferencia y Yn+1 - Yn – Yn-1 sería un d=2.

16. ARIMA Una vez visto el comportamiento de un modelo ARIMA, podemos afirmar que éste se puede definir como un modelo de regresión lineal múltiple, donde la variable dependiente es la propia serie (diferenciada o no) y las variables independientes son valores de la serie y valores de los errores de ajuste retrasados hasta unos órdenes p y q, respectivamente. Una vez hemos identificado el modelo, que equivale a identificar los órdenes p, q y el orden de diferenciación (si es requerido), la determinación de los parámetros usados en el modelo (φ’s y θ’s) se realiza de igual forma que en el caso de la regresión múltiple, es decir, mediante minimización del error cuadrático.

17. I Como se ha comentado previamente, la gran ventaja de los modelos ARIMA con respecto a los ARMA es la incorporación de esta diferenciación dentro del modelo, de la parte d de integración. Parsimonia: (Terquedad) : (Parquedad) un modelo se dice que es parsimonioso si se ajusta a la serie de forma adecuada sin usar coeficientes innecesarios, es decir, si es sencillo.

18. AR(1) Por ejemplo, si un modelo AR(1) y un modelo AR(2) se comportan de forma prácticamente idéntica, elegiremos el modelo AR(1) ya que así tendremos que estimar un coeficiente menos. El principio de parsimonia es importante porque, en la práctica, un modelo parsimonioso suele generar mejores predicciones. La idea de la parsimonia nos da una fuerte orientación práctica a la hora de modelar e identificar un modelo ARIMA.

19. ARIMA Así, no tendremos que buscar el proceso ARIMA que realmente genera la serie temporal, sino que nos conformaremos con encontrar un modelo que se aproxime correctamente tanto práctica como estadísticamente, al comportamiento de la serie temporal que estudiamos. Una idea importante es que el principio de parsimonia no tiene que ser sobrevalorado. También tenemos que tener en cuenta el resto de propiedades de un buen modelo ARIMA y valorarlas equitativa y proporcionalmente.

20. ARIMA Otra condición de gran importancia para lograr un buen modelo ARIMA es que la serie sea estacionaria. Una serie es estacionaria si tiene la misma media y varianza a lo largo del proceso. Si no es así, la serie hay que transformarla hasta convertirla en estacionaria. Esto se logra con la diferenciación y una transformación logarítmica para estabilizar la varianza. El resultado final es lograr d. Normalmente su valor es cero o uno.

21. SOFTWARE Si una serie no es estacionaria podemos modificar dicha serie para convertirla en estacionaria. Dado que las modificaciones son conocidas, podemos posteriormente invertirlas para obtener las predicciones en la misma métrica que la serie original. Existen distintas técnicas para estabilizar la media y la varianza. Teóricamente todo esto es posible hacerlo por separado y a mano, sin embargo es tedioso y largo. De ahí el surgimiento de software que simplemente toma los datos y al aplicarlos dentro de criterios preestablecidos, nos ayuda rápidamente a analizar vía ARIMA y darnos una ecuación de predicción.

24. Esta proposición es muy importante a la hora de verificar un modelo ARIMA, una vez se han realizado las etapas de identificación y ajuste.La hipótesis crítica es la de incorrelación. Para comprobar esta hipótesis se utilizan distintos métodos de inferencia estadística (típicamente contrastes t y chi-cuadrado).

25. IDENTIFICACION En esta etapa analizamos mediante distintas técnicas cual es el modelo ARIMA que mejor se puede ajustar a la serie. Según la metodología clásica, las herramientas que permiten identificar el patrón que sigue la serie son las funciones de autocorrelación. La idea básica para utilizar estas funciones de autocorrelación es la siguiente: cada modelo ARIMA tiene asociadas unas funciones de autocorrelación teóricas. En esta etapa, comparamos las funciones de autocorrelación estimadas con las teóricas y elegimos como modelo tentativo aquel al que más se aproximen ambas. El modelo que obtengamos es, como se ha dicho anteriormente, tentativo y debemos realizar el resto de las etapas para comprobar el que realmente es el adecuado.

26. Estimarp,d,q En esta etapa obtenemos las estimaciones de los parámetros del modelo ARIMA, una vez hemos fijados en la etapa de identificación los órdenes autorregresivo y de media móvil. Esta estimación se realiza mediante minimización cuadrática del error de ajuste. Esta etapa nos proporciona señales de aviso sobre si el modelo es adecuado o no. En particular, si los coeficientes no cumplen ciertas inecuaciones derivadas de la invertibilidad y la estacionariedad, el modelo ajustado debe ser rechazado.

27. COMPROBACION Box y Jenkins proponen algunas comprobaciones de hipótesis que deben ser realizadas para comprobar que el modelo estimado es estadísticamente adecuado. Algunas de las comprobaciones que se deben realizar son que los residuos cumplan las hipótesis de ruido blanco, (ERRORES) , o que no existen coeficientes no significativos. Una vez hemos comprobado que el modelo es correcto, podemos realizar predicciones usando el mismo.

28. ALGORITMOS Para superar el problema de la identificación mediante comparación de funciones de autocorrelación, hay desarrollos de algoritmos que unen la etapa de identificación y estimación. Así se logra poder orientar el desarrollo del algoritmo a medidas de error y comprobación de hipótesis del modelo. Mediante estos algoritmos podemos ajustar de una manera correcta modelos ARIMA con órdenes altos.

29. ETAPAS

30. CRITERIO GENERAL Para que ARIMA sea efectivo es necesario que la serie que utilicemos sea estacionaria en media y varianza, es decir que no tenga una tendencia. Por eso en general se toman logaritmos y se diferencian adecuadamente la serie original para transformarla sin perder data es decir se busca p, d , f. Finalmente se trata de tomar la señal como quiera que venga y se convierte en una señal útil que nos permita lograr una ecuación lineal con coeficientes y que podamos utilizar para hacer predicciones.

31. Bibliografía http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/anadelsur//pdf/Box-Jenkins.PDF http://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_integrated_moving_average http://www.duke.edu/~rnau/411arim.htm http://www.12manage.com/methods_arima_es.html