Este documento presenta 26 proyectos de matemáticas para primer año de secundaria. Los proyectos cubren temas como conjuntos, números naturales, operaciones y problemas de lógica matemática. El examen consta de 100 preguntas para desarrollar con orden y limpieza.

1. MATEMATICA
PRIMERO DE SECUNDARIA
________________________________
SOLUCIÓN DE EXAMEN BIMESTRAL III
FIRMA DEL PADRE O APODERADO
11 de octubre del 2013
NOMBRE:………….……………………………………
INSTRUCCIONES: El examen consta de 100 preguntas para desarrollar. El procedimiento que realice tiene
que ser lógico, las respuestas sin procedimiento tienen puntos en contra. Realiza el examen con ORDEN Y
LIMPIEZA. DEBERÁS ESCRIBIR LAS RESPUESTAS CON LAPICERO EN EL CUADRILÁTERO
INDICADO. ¡Suerte!
CONJUNTOS
PROYECTO Nº 1.
De un grupo de 650 turistas se observó que 280 tienen planeado visitar Cusco, 220, Arequipa
y el número de los que tenían planeado visitar Cusco y Arequipa es la cuarta parte de los que tienen planeado visitar
otras ciudades. ¿Cuántos tienen planeado visitar solamente Cusco?
C (280)
C (220)
280-x
U (650)
x
280 - x + 220 + 4x = 650
500 3x 650
3x 150
x 50
280 - x 280 - 50 230
4x
Rpta: 230
PROYECTO Nº 2. Una encuesta realizada a 100 personas sobre preferencias de jugo de manzana, fresa y piña son los
siguientes: 60 gustan de manzana, 50 gustan de fresa y 40 gustan de piña. 30 gustan de manzana y fresa, 20 gustan de fresa
y piña, 15 gustan de manzana y piña, y 5 gustan de los tres sabores. ¿Cuántos de los encuestados no gusta de ninguno de los
sabores?
P(40)
M(60)
10
10
U (100)
10 10 15 5 20 25 5 x = 100
20
90
15
5
25
x 100
x 10
x
5
F(50)
Rpta: 10
PROYECTO Nº 3.
La academia deportiva “Los cachemas” tiene 80 miembros de lss cuales 30 no practican ni
atletismo ni fulbito, 20 practican atletismo y 6 practican fulbito y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de estos deportes?
F
A (20)
x
6
U (80)
x + 6 14 30 = 80
x 50 80
14
Sólo un deporte : x 14 30 14 44
x 30
30
Rpta: 44
PROYECTO Nº 4.
Determinar: E = (A - B) (B - C)
Si: A = {x/x N /x es divisor de 12}; B = {x/x N/ x es divisor de 18}
Dar como respuesta n(E)
A
1;2;3;4;6; 12
B
1;2;3;6;9; 18
C
1;2;3;4;8; 16
C = {x/x N / x es divisor de 16}
E ( A B) ( B C )
E 4;12
3;6;9;18
E
n( E ) 0
Rpta:
0

2. PROYECTO Nº 5.
En una fiesta donde habían 70 personas 10 eran hombres que no les gustaba música HEAVY, 20
eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de mujeres que no gustan de la música HEAVY es el triple de los
hombres que gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta la música HEAVY?
H
M Total: 70
x
10 x + 20 3x = 70
4x 30 70
4x 40
x 10
20
10
Heavy : x 20 10 20 30
3x
Rpta:
Rpta:
PROYECTO Nº 6.
Si: A = {3a + 2; 5a + 3; 4a + 6}, a
Hallar la suma de los elementos del conjunto A
5a + 3 = 4a+ 6
A = 3(3)+2; 5(3)+3; 4(3) +6
A = 11; 18; 18 = 11; 18
a=3 N
30
29
N además n (A) = 2
Suma de elementos de A = 29
PROYECTO Nº 7.
Para ingresar al colegio PROYECTO, un grupo de 80 niños dieron 3 exámenes para ser
admitidos, al final, se supo que:
- 28 aprobaron el primer examen
P(28)
U (80)
S(32)
- 32 aprobaron el segundo examen
- 30 aprobaron el tercer examen
16-x 8
14
- 8 aprobaron sólo el primer y segundo examen
4
x
6
- 10 aprobaron el segundo y tercer examen
- 4 aprobaron los 3 exámenes
18
20-x
- 18 no aprobaron examen alguno
T(30)
¿Cuántos alumnos fueron admitidos si sólo se n4cesita aprobar dos exámenes?
28 14 6 20 - x 18 = 80
86 - x 80
6 x
Admitidos : x 8 4 6 6 8 4 6 24
Rpta: 24
PROYECTO Nº 8.
La clase de primer año está formado por 100 estudiantes, de estos, 40 son mujeres, 73 han
desarrollado el modelo de Examen Bimestral y 12 son mujeres que no desarrollaron el modelo de Examen Bimestral.
¿Cuántos hombres no desarrollaron el modelo de Examen Bimestral?
H (60)
M(40)
100 – 73 – 12 = 15
15
12
Rpta: 15
PROYECTO Nº 9. Una encuesta realizada a 100 personas sobre preferencias de jugo de manzana, fresa y piña son los
siguientes: 60 gustan de manzana. 50 gustan de fresa y 40 gustan de piña. 30 gustan de manzana y fresa, 20 gustan de fresa
y piña, 15 gustan de manzana y piña, y 5 gustan de los tres sabores. ¿Cuántos de los encuestados no gusta de ninguno de los
sabores?
M(60)
F(50)
20
25
10
5
60 5 15 10 x = 100
x 90 100
x 10
5
15
U (100)
x
10
P(40)
Rpta: 10

3. PROYECTO Nº 10.
que: A 5 a 1 ; 4 b 2 , B
5a
5
1
a 1
Si los conjuntos A y B son iguales, determinar la suma de los elementos del conjunto “C” tal
x3 / x
125; 64 y C
125
4b
2
3
4b
N
b
x
a
2
5
a 1 3
a 4
64
43
b 2 3
C
x3 / x
C
1;8;27;64
N 1 x
4
b 1
Suma de elementos: 1 + 8+ 27 + 64 = 100
Rpta: 100
PROYECTO Nº 11. En un salón de 135 alumnos, los resultados de las pruebas de Matemática, Física y Estadística
fueron los siguientes:
- La cantidad de alumnos que aprobaron un solo curso es el doble de la cantidad de alumnos que aprobaron solo dos
cursos.
U (135)
- Ocho alumnos aprobaron los tres cursos y siete no aprobaron ningún curso.
¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos dos cursos?
m n p 2( x y z )
m
y
n
m n p x y z
2( x y z ) ( x y z )
3( x
x
8
8
y
y
x
7 135
7 135
z ) 120
z 40
8
z
7
p
Por lo menos dos cursos: x + y + z + 8 = 40 + 8 = 48
Rpta:
NÚMEROS NATURALES
PROYECTO Nº 12. Si
a7b
b7a
1c9
a7b + b7a + 1c9 = 79c , además a ≠ b ≠ c;
unidades : b a 9 1c
b a 9 14
b a 5
centenas : 1 a b 1 7
7 7
48
halla a + b + c.
decenas : 1 7 7 c 19
15 c 19
c
4
79c
a+b+c=9
Rpta: 9
PROYECTO Nº 13. En un bus viajan 37 personas entre niños y adultos El pasaje de un niño cuestas s/.9 el adulto s/.15.
Si la recaudación fue de s/.483 ¿Cuántos adultos viajaron?
A: s/.15
# niños
37 15 483
15 9
#adultos 37 12
37
personas
55 483
6
72
12
6
25
s/.483
N: s/.9
PROYECTO Nº 14.
Rpta: 25
Realizar:
6
4 5
2 3 .2 6
2 81.2 36
C
2
120
C 2
C
2120
C
23
4
2
2117
8
Rpta: 8
PROYECTO Nº 15.
802 – { 288 + [ ( 396 + 939) - (939 + 532) – 637] – 133}
802 – { 288 + [ 1335 - 1471 – 637] – 133}
802 – { 288 + (-773) – 133}
802 – { 288 -773 – 133}
802 – (-618)
802 + 618
1420
Rpta: 1420

4. PROYECTO Nº 16. Liliana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 gr.; el segundo mes bajo 200 gr. menos que el
mes anterior, el tercer mes subió 250 gr. y el cuarto mes subió 300 gr. más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó
Liliana al finalizar el cuarto mes?
-900 – 700 + 250 + 550
-1600 + 800
-800
1er mes: -900g
2do mes: -(900 – 200) g
3er mes: +250g
4to mes: +(250 + 300) = +550g
Rpta: bajó 800g
PROYECTO Nº 17.
cada uno ¿cuánto gano?
Compro 64 libros a $ 24 cada uno. Si vendo 52 de ellos y el resto se los robaron, ganando $ 8 en
Compra: $24 64 = $1536
Venta: 52 ($24 + $8) = 52 $32 = $1664
Ganancia = venta – compra
Ganancia = 1664 – 1536
Ganancia = $128
Rpta: $128
PROYECTO Nº 18. Para 130 internos de un colegio militar se han comprado igual número de camas, colchones y
almohadas. Si cada cama costó s/.450, cada colchón s/.90 y cada almohada s/.15, ¿cuánto fue el importe de la compra?
Cada Interno:
Cama:
Colchón:
Almohada:
s/. 450
s/. 90
s/. 15
s/. 555
Total: 130 internos
s/.555 = s/. 72 150
Rpta: 72 150
PROYECTO Nº 19. En una división inexacta el divisor es el cuádruple del cociente, además dicho cociente es la
mitad del residuo. Determina el dividendo, si el cociente es un número natural comprendido entre 15 y 17.
D
(2x)
4x
x
15 < x < 17 reemplazando
x = 16
D
(32)
64
16
D = 64 16 + 32
D = 1024 + 32
D = 1056
Rpta: 1056
PROYECTO Nº 20. Una bacteria duplica su número al cabo de 10 minutos. Se coloca una de estas a las 10:00 am,
¿cuántas habrán a las 12 del medio día?
10:00am a 12:00m
120
10
1 intervalo: 1
12 intervalos de 10min
2 = 21
2 intervalo: 2
120 min
2 = 22

12 intervalos: 212 = 4096
Rpta:
4096 bacterias
PROYECTO Nº 21. Un depósito tenía 100 litros de agua. A continuaciones ha extraído cierto número de litros de
agua pero luego se devolvió 20 litros. Si después de estas acciones resulta que el depósito quedó con la mitad del volumen
que tenía inicialmente, ¿cuántos litros de agua se extrajeron inicialmente?
100
2
120 x 50
100 - x + 20 =
70 x
Rpta: 70 litros

5. PROYECTO Nº 22.
minuendo?
Si la suma de los tres términos de una sustracción es 458, ¿cuánto es la suma de las cifras del
M + S + D = 458
2M = 458
M = 229
Suma de cifras del minuendo: 2 + 2 + 9 = 13
Rpta:
13
PROYECTO Nº 23. Cuándo dividimos cierto número por 50, obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo
número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcular el número.
N
50
N
52
(20)
q
(4)
Q
N = 50q + 20
N = 52q + 4
N = N
50q + 20 = 52q + 4
16 = 2q
8 = q
N
N
N
N
=
=
=
=
50q + 20
50(8) + 20
400 + 20
420
Rpta:
420
PROYECTO Nº 24.
noviembre?
Un artículo cuesta S/. 325 en abril y cada mes aumenta S/. 13 su valor. ¿Cuánto costará en
Abril: s/.325
Noviembre: ?
cada mes: + s/.13
abril a noviembre: 11 – 4 = 7 meses
Noviembre: 325 + 7 13 = 325 + 91 = s/.416
Rpta:
PROYECTO Nº 25.
 15  ..... 
Sabiendo que: A 15 1515 y B
12 factores
resultado de
6
5
A
s/.416
8  determina la suma de cifras del
8 8...... 8
 
15 tér min os
B
A 1512
B 83
6
A
5
B
6
1512
5
815
15 2 83
225 512
737
Suma de cifras: 7 + 3 + 7 = 17
Rpta: 17
PROYECTO Nº 26. Julio tiene entre 26 y 32 años, Magaly entre 25 y 31, Fidel entre 24 y 30 años. Si Fidel es mayor
que Magaly y ella mayor que Julio, ¿cuánto es la suma de las tres edades?
26 < J < 32
24 < F < 30
25 < M < 31
26 < J < M < F < 30
  
27
27
28
29
28 29 84
Rpta: 84
PROYECTO Nº 27.
S i : a + b + c = 1 3 calcula
a3aa + 8acb + bcbc cb25
a3aa
8acb
bcbc
cb25
22768
Rpta: 22 768
PROYECTO Nº 28.
disminuye en 28?
En una resta, ¿en cuánto varía la diferencia, si el minuendo aumenta en 17 y el sustraendo
M–S=D
(M + 17) – (S – 28)
M + 17 – S + 28
M – S + 45
D = 45
Rpta: 45

6. 20
PROYECTO Nº 29.
22
32.3
2
24
1 4 9 3 28
04
50
33
0 (1 27 2 2 4 )
1 4 27 256 0 (1 27 32)
1 4 27 256 0 60
288 4 5
57 5
4 5
5
32 .24
4 5
4 5
31 56
4 5
31 5 6
56
52
3
22
4
31 1 4
31 1 4
31 1 4
31 1 4
62 31 1 4
2 1 4
7
Rpta: 7
NUMERACIÓN
PROYECTO Nº 30.
Si se cumple que
ab7cd( m)
7607(9)
ab7cd ( m )
7
6
63
69
9
7
0
621
621
5596
79
76
(4)
7
5589
5596
8
699
59
(3)
8
87
(7)
8
10
(2)
7607( 9 )
ab7cd ( m )
Calcular el valor de a + b + c + d + m
12734(8)
a b c d
m 1 2 3 4 8 18
8
1
Rpta: 18
PROYECTO Nº 31. Si a un número de cuatro cifras se le suma el triple de su complemento aritmético se obtiene
25258, hallar la suma de las cifras de dicho número
abcd 3C. A.(abcd )
25258
2371
abcd
abcd 3(10000 abcd )
25258
suma
de cifras : 2 3 7 1 13
abcd 30000 3.abcd
25258
30000 25258 3.abcd abcd
4742 2.abcd
2371 abcd
Rpta: 13
PROYECTO Nº 32. Un número de cuatro cifras se multiplica por 7 y el producto termina en 2531. Hallar la suma de
las cifras de dicho número
a
b
c
…2
5
3
Unidades: 7d = …1
d=3
d
7
1
Decenas: 7c + 2 = …3
7c = …1
c=3
Millares: 7a + 6 = …2
7a = …6
a=8
PROYECTO Nº 33.
de dicho número
Centenas: 7b + 2 = …5
7b = …3
b=9
Suma de cifras: a + b + c +d = 8 + 9 + 3 + 3 = 23
Rpta: 23
El producto de un número de cuatro cifras por 999, termina en 1466. Hallar la suma de las cifras
abcd 999 ...1466
abcd (1000 1) ...1466
abcd 000
abcd
... 1466
unidades : 10 d 6
decenas : 9 c 6
d 4
c 3
centenas : 9 b 4
b 5
millares : d 1 a 1
4 1 a 1
suma de cifras : a b c d
2 5 3 4 14
Rpta:14
PROYECTO Nº 34.
1
6
1
1
6
7
0
42
42
Si: xxx ( 4 )
42
(2)
110 ( 6 ) ,
4
10
(2)
Halla x5
xxx ( 4)
4
2
x
2
222( 4)
25
Rpta: 32
32
a 2

7. PROYECTO Nº 35.
están escritos correctamente, halla el valor de a2 3
Si 325(a) y a13 ( 7 )
62
5<a<7
a=6
3 = 36
3 = 12
Rpta: 12
PROYECTO Nº 36.
En cierto sistema de numeraciones verifica que: 6 + 3 = 11. Determina en el mismo sistema 18
6(n) + 3(n) = 11(n)
9=n+1
8=n
18 en base n = 8
18
(2)
8
2
22(8)
Rpta: 22(8)
PROYECTO Nº 37.
5
7
5
6
35
41
0
287
287
Determine el valor de (a + b + c) si se cumple que: 5n0 ( 7 )
287
47
(5)
6
47
(5)
5<n<7 n=6
6
7
(1)
560( 7 )
a+b+c=1+1+5=7
abc5( n )
1155( 6 )
6
1
abc5( n )
abc5( 6 )
Rpta: 7
PROYECTO Nº 38.
a 6
3
Calcular el valor de a + b, si se cumple que:
b 6
2
b 6 b 5 8
2
abbb( 6)
5ba (8)
b 8 a
216a 36b 6b b 5 64 8b a
216a 43b 320 8b a
215a 35b 320
43a 7b
64
a 1 b 3
Rpta: 4
C. A.(ab3) ba(a 1)
PROYECTO Nº 39.
Si
Unidades: 10 – 3 = a -1
7 = a -1
8=a
Decenas: 9 – b = a
9–b=8
1=b
PROYECTO Nº 40.
Hallar a + b – c , si: 1012(4) = abc (6)
Hallar a + b
Centenas: 9 – a = b
9–8=1
1=1
a +b = 8 + 1 = 9
Rpta: 9
1
4
1
0
4
4
1
16
17
70
10
(4)
2
68
70
154( 6)
6
11
(5)
6
1
a 1 b
abc( 6)
5 c
4
a b c 1 5 4 2
Rpta: 2
PROYECTO Nº 41.
Si: pqr6
pqr 10 6 1 103
1pqr
2 pqr
Hallar p + q + r
pqr 2 pqr
10. pqr 6 1000 pqr 3 pqr
7 pqr
994
pqr 142
p+q+r=1+4+2=7
Rpta:
7

8. PROYECTO Nº 42.
3
6
3
0
18
18
Hallar (a + 10)2, si: 303 ( 6 )
3
108
111
111
21
(3)
1(a 1)( a 1) ( 9 )
133(9)
9
12
(3)
1(a 1)(a 1) (9)
a 1 3
a 2
9
1
(a +10)2 = (2+10)2 = 144
Rpta: 144
PROYECTO Nº 43.
Si: abb3
20.abb 7.1abb 120 . Hallar el C. A bab
abb 10 3 20.abb 7(1 103
abb) 120
10abb 3 20abb 7000 7abb 120
30abb 3 6880 7abb
a=2
C.A.(929) = 1000 – 929 = 71
b=9
23abb 6877
abb 299
Rpta: 71
PROYECTO Nº 44.
Al convertir el menor numeral de 3 cifras en base 9, a base 6, se obtiene un numeral de la forma
abc (6) . Calcular el resultado de la siguiente operación en base 10:
81
21
(3)
6
13
(1)
100( 9 )
6
2
1 92
bc ( 6)
ac ( 7 )
ab ( 5) bc ( 6 ) ac ( 7 )
21 ( 5) 13 ( 6 ) 23 ( 7 )
abc ( 6)
abc ( 6 )
2 .5 1 1 .6 3 2 .7 3
81 abc ( 6 )
213( 6 )
ab (5)
10 1 6 3 2.7 3
11 9 17 37
abc ( 6)
Rpta: 37
PROYECTO Nº 45. ¿En cuánto excede el mayor numeral de 4 cifras en base 7 al mayor numeral de 3 cifras en base
9? Indicar la respuesta en base 10.
6
7
6
6
42
48
6
336
342
6
2394
2400
6666(7) – 888(9)
2400 – 728
1672
8
9
8
8
72
80
8
720
728
Rpta: 1672
PROYECTO Nº 46.
a 77 a 2
a
Si el siguiente numeral está correctamente escrito, calcular la suma de los posibles valores de “a”
a
5
2
2
a
5 7
2
a
2
2
a 4
a
5
2
a
5
a
2
a
10
a
4
a 10
a
6;8
suma devalores : 6 8 14
Rpta: 14
PROYECTO Nº 47.
4<n<6
Si 4 b
1 3 ( 6)
bbb 4 ( n) , ¿cuál es el valor de “b”?
n=5
4 b 1 3( 6 )
bbb4 ( n )
4.6 2 (b 1).6 3 b.53 b.5 2 b.5 4
4.36 6b 6 3 125b 25b 5b 4
144 6b 6 3
153 6b
149
1
155b 4
155b 4
149b
b
Rpta: 1

9. DIVISIBILIDAD

PROYECTO Nº 48.
Si
ab4a3b 45 , hallar a y b. con a 0
b
0
0


ab4a3b
b
ab4a3b
5
b
5
a
5
9
4
a
3 5
9

2a 17
a
9
5
Rpta: a = 5
PROYECTO Nº 49.
1500
1500 3
¿Cuántos números entre 1 500 y 4 800 son múltiplos de 7 más 3?
7 3
7k
1497
7
213,8
b=5
3 3
7k
7
k
4800
k
4800 3
214; 215; 216;...;685
# valores 685 214 1 472
4797
7
685,2
Rpta: 472
PROYECTO Nº 50.
52 x 6
x6
4
Si el número 52x6 es divisible por 4 y el número x 7 es divisible por 3, hallar x2.
x7 3
4
37 3
3
5
57 3
7
77 3
9
97 3

x2 = 52 = 25
x=5



Rpta: 25
PROYECTO Nº 51. Si el número de caramelos que hay en un frasco se cuenta de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 y de 5
en 5, siempre sobra uno. Hallar dicho número sabiendo que es el menor número posible
N
2 1
N
3 1
N
4 1
N
5 1
N
mcm(2; 3; 4; 5) 1 60 1 60k 1
k
1
N menor
60(1) 1 61
Rpta: 61
PROYECTO Nº 52. Un vendedor de frutas observa, que si agrupa sus naranjas de 3 en 3 le sobra 1, pero si agrupa de
5 en 5 le faltaría 4. ¿cuántas naranjas tienen si el número de ellas se encuentran comprendido entre 40 y 60?
N
3 1 3 1
N
5 4
N
40 N 60
k 3 N 15 (3) 1 45 1 46
mcm(3; 5) 1 15 1 15k 1
5 1
Rpta: 46
PROYECTO Nº 53. En una bolsa hay menos de 30 caramelos .Podemos hacer grupos de 4 caramelos sin que sobre
ninguno. Si hacemos grupos de 5 caramelos tampoco sobra ninguno. ¿Cuántos caramelos hay en la bolsa?
N
4
N
5
k
N
mcm(4; 5)
20
20k
1
N
N
20 (1)
20
Rpta:
20

10. PROYECTO Nº 54. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por docenas, por decenas y de 15 en 15 y en cada
ocasión le sobran siempre 9. Si el número de llaves es un número comprendido entre 500 y 600. Hallar el número de
llaves.
N
12 9
N
10 9 N
N
15 9
mcm(12;10;15) 9
60 9
60k
9
9
Rpta: 549
PROYECTO Nº 55.
Hallar la suma del menor y mayor número de la forma a26b que son múltiplos de 11.

a 26b
b a
b a
11

a
2 6 b
11
4
4
b a
0
0
b a 4
11
11 4 a b
4
mayor
menor
7 a b
5 1 menor
9262
1265
10527
9 2 mayor
Rpta: 10527
PROYECTO Nº 56.
Si el número xyx2 y es múltiplo de 99. Hallar x+y.

x y x2 y

11
xyx2 y
1 y12 y
y
2x
2x
x
x
2
y
9


x
9
11

2 0
2
1
y 1 2
2y 4
y 7
1
y
9
x+y=8
9
Rpta:
8
º
PROYECTO Nº 57.
Hallar el valor de “b” en:
b17b0 125
7b0 125
7b0
-750
(0)
125
6
b=5
Rpta: 5
PROYECTO Nº 58. Los alumnos de una escuela de primaria pueden ser agrupados exactamente en conjuntos de 9;12
ó 15 alumnos. ¿Cuántos hay en total si se sabe que no son más de 200?
N
N
9
N
12 N
N
mcm(9;12;15) 180 180k
15
k
200
1
N
180(1)
N
180
Rpta: 180
º
PROYECTO Nº 59.
Hallar el valor de “a” en: 5a 2a 6
7
5a2a6 7
31231
3(5) 1(a ) 2(2) 3(a ) 1(6)
15 a
2a 5
4 3a 6
7
a
7
7
6
Rpta:
6

11. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
a
a+3
PROYECTO Nº 60. Encontrar el valor de "a”, si 4 + 4 tiene 28 divisores.
4a
4a
2 2 a 51 31
CD (2a 1)(1 1)(1 1)
28 (2a 1)(2)(2)
28 (2a 1) 4
7 2a 1
3 a
3
4a 1 4a 43
4 a (1 4 3 )
4 a (1 64)
4 a 65
Rpta: 3
PROYECTO Nº 61.
Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de “N” sea el doble que el número de
n
divisores “M”. Si: N = 30 y M = 15 · 18
N
N
n
CD N
M
N 2 n 3n 5n
CD (n 1)(n 1)(n 1)
3 5 2 32
n
M
n
2 3 5
15 18 n
M
30 n
2 n 32 n
51
CD
1
2CDM
(n 1)( n 1)( n 1) 2(n 1)( 2n 2) 2
(n 1)( n 1) 2 2(n 1) 2
n 1 8
n 7
(n 1)(2n 2)(2)
Rpta: 7
2p
PROYECTO Nº 62.
Si N = 5 + 5
N
52 p 1 52 p 5 52 p 52
N
5 2 p (1 5 5 2
N
+5
2p+2
+5
2p+3
tiene 156 divisores, hallar el valor de “p”.
CD (2 p 1)(2 1)(1 1)(1 1)
156 (2 p 1)(3)(2)(2)
5 2 p (156)
N
2p+1
5 2 p 53
5 2 p 2 2 31 131
53 )
156 (2 p 1)(12)
13 2 p 1
6
p
Rpta:
2n
PROYECTO Nº 63.
Calcular el valor de “n” si se sabe que 9·12 tiene 33 divisores más que el número
A 9 12 n
A 32 2 2 3
6
B 13 3 2 2
(4n 1)(2n 3) 33 (2n 1)(n 1) 2
n
A 2 4n 32n 2
CD A (4n 1)(2n 2 1)
CD A
CD B
n 2
B 2 2 n 3 n 131
CD B (2n 1)(n 1)(1 1)
(4n 1)(2n 3)
(4 2 1)(2 2 3) 33 (2 2 1)(2 1) 2
9 7 33 5 3 2
63 33 30
(2n 1)(n 1)(2)
63 63 cumple
Rpta: 2
PROYECTO Nº 64.
CD
Si A = 2x.3x+2 tiene 35 divisores, calcule el valor de
( x 1)(x 2 1)
A 2
( x 1)(x 3)
x 1 5
x
4
3
A 2
35 ( x 1)(x 3)
5 7
4
36
A
4
A
4 2
2 4 36
2 2 33
4 27 108
Rpta: 108
PROYECTO Nº 65.
CD 1 CD p
CD 1 3 68
CD 72
Determinar “n” sabiendo que N= 49n.84, tiene 68 divisores compuestos.
CDcompuestos
n
CD A 33 2CD B
B 13 12 n
n
13·12
N
49 n 84
N
7 2n 2 2 3 7
N
7 2n
1
22 3
CD (2 1)(1 1)(2n 1 1)
72 3 2 (2n 2)
72 6 (2n 2)
12 2n 2
5 n
Rpta: 5

12. MCD Y MCM
PROYECTO Nº 66. Coco visita a Cesar cada 4 días, a Julio cada 6 días y a Miguel cada 9 días. Si visita a los tres
el primero de julio, ¿cuál es la fecha más próxima en la que vuelve a visitarlos? (Recuerda: El mes de julio tiene 31 días)
MCM (4; 6; 9)
36 días
36
30 días ( julio)
6 días (agosto)
Rpta: 6 de agosto
PROYECTO Nº 67. Tres ciclistas compiten en una pista circular dando una vuelta completa en 20; 24 y 30
segundos. Si parten juntos, ¿después de cuántas vueltas en total se encuentran en la partida?
MCM (20; 24; 30) 120 min
120
1
6
20
120
2
5
24
120
3
4
30
15 vueltas
Rpta: 15 vueltas
PROYECTO Nº 68. Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos
en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. ¿Cuántos
cubos, como mínimo, necesita de cada color?
MCM (55; 45)
azules
rojos
495mm
55
55
55
11
1
495
9
55
495
11
45
-
45
15
5
1
1
3
3
5
11
MCM = 32.5.11 = 495
Rpta: 9 azules y 11 rojos
PROYECTO Nº 69. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en
cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
MCD(256; 96) = 32cm
256 - 96
128 - 48
64 - 24
32 - 12
16 - 6
8 - 3
2
2
2
2
2
MCD = 25 = 32
Rpta:
32 cm
PROYECTO Nº 70. El número de manzanas que hay en una cesta es mayor que 100 y menor que 150. Si se cuentan
de diez en diez, de doce en doce y de quince en quince, siempre sobran 3. ¿Cuántas manzanas hay en la cesta?
100 < N < 150
N
N
12 3 N
N
15 3
100 N 150
k 2
N 60k 3
10 3
mcm(10; 12; 15) 3
60 3
60k 3
N
60(2) 3
N
120 3
N
123
Rpta: 123

13. PROYECTO Nº 71.
Determinar la suma del MCD y MCM de: 975 y 1 235
Cálculo del MCD
975 - 1235 5
195 - 247
13
15 - 19
MCD = 5.13 = 65
975 - 1235
325 - 1235
65 - 247
13 - 247
1 - 19
1 - 1
Cálculo del MCM
3
5
5
13
19
MCM = 3.52.13.19= 18525
18525 + 65 = 18590
Rpta:
PROYECTO Nº 72.
196
98
49
7
1
18590
Si MCM ( 9a, 2a ) = 196 Hallar a
98 - 28
49 - 14
49 - 7
7 - 1
1 - 1
2
2
7
7
2
2
7
7
MCM = 22.72 = 196
Tanteando: a = 8
Rpta: 8
PROYECTO Nº 73.
Hallar “k” si: MCD (3A ; 3B) =12k
Por propiedad
3 A 3B
;
3 3
MCD A; B
MCD(A; B) = 5k – 10
12k
3
4k
MCD
5k 10 4k
k 10
Rpta: 10
PROYECTO Nº 74. En un patio de forma cuadrada se desean acomodar losetas de 15 x 24 cm. de tal manera que no
sobre ni falte espacio. El menor número de losetas que se requieren es:
24
L = MCM(15; 24)=120cm
15 - 24
2
15 - 12
2
15 - 6
2
15 - 3
3
5 - 1
5
1 - 1
MCM = 23.3.5 = 120
L
24
24
L L
15 24
120 120
N losetas
15 24
N losetas 8 5
N losetas 40
15
15
15
15
15
15
N losetas
L
Rpta: 40
PROYECTO Nº 75. Un terreno rectangular tiene dimensiones 180m y 234m, y se desea dividirlo en lotes cuadrados.
Si la longitud del lado está entre 8 m y 12 m ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada lote y Cuántos lotes se obtendrán?
180
90
30
10
MCD(180; 234) = 18m
- 234 2
- 117 3
- 39
3
- 13
MCD = 2.32 = 18m
L
L
L
L
L
L
180
L
15
L
L
divisor de 18 8
N lotes
234
L 12
L 9
180 234 180 234
L L
9 9
20 26
520
Rpta: 9m; 520 lotes
PROYECTO Nº 76. Se tienen 3 grupos de 140; 168 y 224 lapiceros. Cada grupo debe colocarse en cajas que
contengan igual cantidad de lapiceros. ¿Cuántos lapiceros debe tener cada caja, si debe ser la mayor cantidad posible?
¿Cuántas cajas serán necesarias?
MCD(140; 168; 224)
140 - 168 - 224
2
70 - 84 - 112
2
35 - 42 - 56
7
5 - 6 - 8
MCD = 22.7 = 28 lapiceros
140 168
28 28
N cajas 5 6 8
N cajas 19
N cajas
224
28
Rpta:
28 lapiceros
19 cajas

14. NÚMEROS ENTEROS
PROYECTO Nº 77.
3
3
2
3
2 10
3
3
8
8
100
3
2
2
27
2
1 ( 3)
1 3
2
3
1
8
2
256
28
2
2
8 4 2
4 2
6
Rpta: 6
PROYECTO Nº 78.
x
3
20 x + 7 – 3 = 15 x + 19 Indicar:
3
1
3
20 x + 4 = 15 x + 19
20 x - 15x = 19 – 4
5x = 15
x=3
Rpta: 3
3
PROYECTO Nº 79.
Calcular:
5
3
7
( 2) ( 2) ( 2) (81) (9)
P
3
16
3
P
25 23 2 7 34 32
4
3
P
(3) (9)
3
27
215 3 6
22 3
P
25 32
22 3
P
23 3
P
24
Rpta: 24
Al adicionarse tres números enteros, logré -13. Si dos de los sumandos son números opuestos,
PROYECTO Nº 80.
hallar el tercero
a + b + (-b) = -13
a = -13
Rpta: -13
2
3
Calcular: N ( 2) (2)
3
2
( 2) (2)
4 8
N
8 4
12
N
4
N
3
PROYECTO Nº 81.
Rpta: -3
625
PROYECTO Nº 82.
8
1
3
16
1
23
2
42
1
3
1
2
2
1
4
1
16
8
1
3
625 16
1
2
625 16
1
2
625
1
4
54
1
4
1
2
1
4
Rpta: 1/5
51
1
5

15. PROYECTO Nº 83.
Calcular:
3
1
4
2
1
6
2
1
8
3
216
2
16 36 64 100
3
1
10
42 62 82 102
3
2
6
Rpta: 6
PROYECTO Nº 84. (16
2) {- 28 + 4 7 – 15
(8 – 3) }+{30 – 10 5 + 45
8 {- 28 + 4 7 – 15 5 }+{30 – 10 5 + 45 9 }
8 {- 28 + 4 7 – 3 }+{30 – 10 5 + 5 } 7
8 {- 28 + 4 4}+{30 – 10 10} 7
8 {- 28 + 16}+{30 – 100} 7
8 {- 12}+{30 – 100} 7
8 {- 12}+{30 – 100} 7
-96+{30 – 100} 7
-96+{-70} 7
-96-10
-106
(11 – 2) }
7
7
Rpta: -106
PROYECTO Nº 85.
– 45 {39 + 2 5 – (100 – 20) 4 }- 105 {49 – (-14 x 5)
– 45 {39 + 2 5 – 80 4 }- 105 {49 – (-70) (-5) }
– 45 {39 + 2 5 – 20 }- 105 {49 –14}
– 45 {39 + 2 -15}- 105 {49 –14}
– 45 {39 -30}- 105 35
– 45 9 – 3
–5–3
-8
(-7 + 2) }
Rpta: -8
PROYECTO Nº 86. { (36 – 12) 8 x (-2) + 54 9}
{ 24 8 x (-2) + 6}
53 53
{ 3 x (-2) + 6} 1
{ -6 + 6} 1
0 1
0
(128 – 75)
53
Rpta: 0
PROYECTO Nº 87. { (7 x 8) 4 x (-5) + 10 x 8
(500
{ 56 4 x (-5) + 80
50 5 }
{ 14 x (-5) + 80 10}
{ -70 + 8}
-62
10)
5}
Rpta: -62
PROYECTO Nº 88. (120 30) x (45 15) + (8 x 5)
4 x 3 + 40 10 – 10x 6
12 + 4 – 60
16 – 60
-44
10 – (250
25) x 6
Rpta: -44

16. PROYECTO Nº 89. (72 + 8)
80
(27 – 7) – (-8 x 5) x (-11 + 10) + (17 – 2)
20
– (-40) x (-1)
+ 15 3
4
- 40 + 5
-36 +5
-31
3
Rpta:
PROYECTO Nº 90.
121
Calcular :
3
11 2
3
9
3
4
3
2
3
2
5
5
5 3
3 81
5
3 9
27
3 32 3
3 ( 1) 2
3
2
4
2
8
16
-31
64
16 8
2 2 8
32
2
Rpta: 2
PROYECTO Nº 91.
2
Calcular :
4
5 128
(81)
5
2 3
( 1)( 7)3 ( 9)
( 4)
36
32
( 3) ( 12)
( 1)( 343)( 9)
2 3 ( 2) 6 1
3
3
0
3
0 3
( 1)( 7 5)3
( 1)( 2) 3 }
8
6 ( 2) 6 1
( 1)( 8)
3 6 1 2
4 2
6
Rpta: -6
PROYECTO Nº 92. Simplificar:
183
123
63
43
(6 3) 3
(4 3) 3
18
3
12 3
63
43
6
3
43
63 33
43 33
63 1
43 1
63 (33 1)
43 (33 1)
(2 3) 3
(2 2) 3
23 33
23 23
33
23
Rpta: 27/8
PROYECTO Nº 93. Reducir: E
2
27 3
4
E
5
81 9 5
6 5
5
27 9
7 10
8
5
95
81
3
36
3
3
343
5
1000
5
3 35 18
(33 ) 9 35
36 1
327 35
125
8
5
330
332
3
2
1
32
1
9
Rpta: 1/9
PROYECTO Nº 94. Resuelva: M
3 5
M
30
M
30
2
2
2
6
2
9 8
15 8
120
( 2) 4 16
Rpta: 16
27
8

17. 64 2 3
PROYECTO Nº 95. Resuelva: R
R
R
16
32
24
5
32
8
216
125
85 3 813 4
64
8 3 216
27
125
6 30
6
5 5
32 3 5
2
3
3
5
5
3
81
4
3
25
23
3
4
34
2
3
13
42
5
3
16
23
3
5
8
25
5
3
25
32
32
Rpta: 6
PROYECTO Nº 96. Escriba la siguiente expresión como una sola potencia:
32
22
50
18
52 53 54 55
9
4
1
1
5 2 53 5 4 55
5512 581 54 55
5602
Rpta: 5
602
PROYECTO Nº 97. Un campesino recoge tomates con un costalillo. Si se sabe que antes de empezar ya tenía cierta
cantidad de tomates y que en cada árbol recoge 20 tomates de los cuales se le revientan 4. ¿Cuántos tomates tenía al
principio sabiendo que en el quinto árbol tenía en el costalillo 90 tomates?
1 árbol: +20 – 4 = +16
5 árboles: 5(+16) = +80
Inicio: x
x + 80 = 90
x = 10
Rpta: 10
PROYECTO Nº 98. Por el tipo de trabajo que realiza un empleado de oficina es autorizado para llegar 10 minutos
tarde cada día con la condición de que empezando la semana se quede cada día 30 minutos más, Si al terminar la semana, el
día viernes, observa su tarjeta de tiempo y se da cuenta que entre sobretiempo y tardanzas acumuló 190 minutos, lo cual
indica que tiene un exceso por sobretiempo. Determinar en minutos la cantidad de este exceso de labor.
Cada día:
tardanza
Sobretiempo
= 10 min +
= 30 min
40 min
190
(30)
4
4 días
Exceso: 30min
Rpta: 30min
PROYECTO Nº 99. Una casa de cambio ha comprado durante el día 85 dólares y ha vendido 280 dólares, si al
terminar el día queda con la suma de 30 dólares en su caja. ¿Con qué cantidad de dólares inició el día?
x + 85 – 280 = 30
x – 195 = 30
x = 22
Rpta: $225
PROYECTO Nº 100. La diferencia de un número y el cuádruplo de –37 es -103. ¿Cuál es el número?
x – 4(-37) = -103
x + 148 = -103
x = -103 – 148
x = -251
Rpta: -251