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Triángulos Notables 
1 
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17 
UNIDAD: GEOMETRÍA 
PERÍMETROS Y ÁREAS 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
En todo triángulo rectángulo, la suma de 
las áreas de los cuadrados construidos 
sobre sus catetos, es igual al área del 
cuadrado construido sobre su hipotenusa. 
Ternas pitagóricas 
EJEMPLOS 
2a 
1. La suma de todos los trazos de la figura 1, es 
A) 46 
B) 49 
C) 54 
D) 61 
E) 64 
2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5. 
Entonces, ¿cuál es el área del triángulo? 
A) 25 
B) 25 3 
C) 
25 3 
2 
D) 
25 5 
2 
E) 50 3 
a2 
b2 
c2 
a2 + b2 = c2 
a b c 
3 4 5 
5 12 13 
8 15 17 
60º 
a 3 
a 
a a 2 
a 
A 
fig. 2 
B 
C 
17 
4k 
3k 
8 fig. 1 
C u r s o : Matemática 
Material N° 17
3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AD = BD = 3. Entonces, 
2 
AC + BC es 
A) 6 
B) 9 
C) 6 2 
D) 12 2 
E) 6 + 6 2 
A D B 
4. En las figura 4, se tiene que AC = 12, BC = 13 y BD = 3. Entonces, la medida de AD 
es 
A) 4 
B) 17 
C) 5 
D) 34 
E) 6 
5. La longitud de AB , en la figura 5, es 
A) 26 cm 
B) 10 cm 
C) 6 cm 
D) 4 cm 
E) 6 cm 
1 cm 
6. En la figura 6, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 10 2 cm. Si E, F, G y H 
son punto medios, ¿cuál es la suma de los lados del cuadrado EFGH? 
A) 10 2 cm 
B) 20 2 cm 
C) 40 2 cm 
D) 40 cm 
E) 50 cm 
D H C 
E G 
A F B 
fig. 6 
C 
fig. 3 
A B 
D 
C 
fig. 4 
B 
A 
E 
C 
1 cm 
1 cm 
1 cm 
fig. 5 
D
Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se 
denotará por p. 
Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A. 
Nombre Figura Perímetro Área 
d 
Cuadrado 4a 
3 
EJEMPLOS 
a 
b b 
a 
a h a 
a 
b b 
c 
d b 
1. Si el área de un cuadrado es 144 cm2, entonces su perímetro mide 
A) 12 cm 
B) 36 cm 
C) 48 cm 
D) 81 cm 
E) 288 cm 
 
      
  
2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b, 
entonces DC es 
A) a + 2b 
B) 2a + b 
C) 4a + 6b 
D) 4a + 2b 
E) 6a + 5b 
a2 
d2 
2 
Rectángulo 2a + 2b a  b 
Rombo 4a 
h · a 
1 2 d d 
2 
Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2 
Trapecio a + b + c + d 
a c 
h 
2 
D C 
A B 
fig. 1 
a 
h 
a 
a 
h1 
h2 
a 
a 
a 
a 
a 
d1 
d2
3. Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE = 7 cm, su área es 
4 
A) 140 cm2 
B) 70 cm2 
C) 40 cm2 
D) 35 cm2 
E) ninguno de los valores anteriores. 
D C 
4. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm? 
A) 20 cm2 
B) 24 cm2 
C) 40 cm2 
D) 48 cm2 
E) 60 cm2 
5. En la figura 3, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y 
AB = 15 cm, entonces el perímetro y el área son, respectivamente, 
A) 37 cm y 120 cm2 
B) 50 cm y 150 cm2 
C) 50 cm y 180 cm2 
D) 90 cm y 300 cm2 
E) 150 cm y 600 cm2 
6. ABCD es un rombo de lado 16 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes como 
muestra la figura 4, entonces el perímetro de la región achurada es 
A) 22 cm 
B) 36 cm 
C) 64 cm 
D) 80 cm 
E) 88 cm 
7. En el trapecio isósceles ABCD de la figura 5, DC // AB , AD = 5 y AB = 10. Si el área 
del triángulo ABD es 20, ¿cuál es el perímetro del trapecio? 
A) 14 
B) 20 
C) 21 
D) 24 
E) 28 
fig. 2 
B 
A E 
fig. 3 
D C 
A B 
fig. 4 
D C 
A B 
D C 
A B 
fig. 5
Nombre Figura Perímetro Área 
   
C 
Triángulo a + b + c a ha b hb c hc 
5 
EJEMPLO 
b a 
1. ¿Cuánto mide la altura CD del triángulo ABC de la figura 1? 
A) 2,4 
B) 4,8 
C) 10 
D) 3 2 
E) 4 3 
  
C 
8 6 fig. 1 
2. Los triángulos ABC y DBE de la figura 2 son equiláteros. Si el perímetro del ABC es 12, 
entonces el área del DBE es 
A) 6 
B) 9 3 
C) 4 3 
D) 2 3 
E) 3 
2 2 2 
Triángulo 
Equilátero 3a 
a2 3 
4 
Triángulo 
ab c · h 
Rectángulo a + b + c = 
c 2 2 
A B 
c 
ha 
hc 
hb 
a a 
a 
b 
c 
a 
hc 
A D B 
C 
E 
A D B 
fig. 2
Nombre Figura Perímetro Área 
6 
Circunferencia y 
Círculo 
EJEMPLOS 
   
   
1. En la figura 1, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces 
¿cuál es el área de la región achurada? 
A) 20 cm2 
B) 40 cm2 
C) 50 cm2 
D) (10 + 10) cm2 
E) (10 + 20) cm2 
A B 
2. La figura 2, muestra un cuadrado de lado 4 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál es 
el área y el perímetro de la región achurada? 
Área Perímetro 
A) 4 –  4 + 2 
B) 16 – 4 16 – 4 
C) 16 + 4 16 + 4 
D) 16 + 4 16 – 4 
E) 16 – 4 16 + 4 
3. En la figura 3, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm y 
AB = 4 cm, entonces el área de la región achurada es 
A) 2 cm2 
B) 8 cm2 
C) 16 cm2 
D) 32 cm2 
E) 64 cm2 
D = 2r 
D Diámetro 
r2 
Sector circular 
Arco AB + 2r 
Arco AB = 
2 r 
360º 
r2 
360º 
O 
r 
O 
A 
B 
 
fig. 2 
fig. 3 
A B 
O 
10 cm 
fig. 1 
O
7 
FIGURAS EQUIVALENTES 
Son aquellas que tienen igual área. 
En todo triángulo: 
 Cada transversal de gravedad 
lo divide en dos triángulos 
equivalentes. 
 Las tres transversales lo dividen 
en seis triángulos equivalentes. 
EJEMPLOS 
C 
D D es el punto medio de BC 
D, E, F puntos medios 
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 
C 
1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal de 
gravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC? 
A) 12 cm2 
B) 15 cm2 
C) 20 cm2 
D) 24 cm2 
E) 48 cm2 
fig. 1 
2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE , EF y FD son medianas. Si 
AC = 20 cm, ¿cuánto mide el área del trapecio ABEF? 
A) 150 3 cm2 
B) 100 3 cm2 
C) 75 3 cm2 
D) 25 3 cm2 
E) 150 
3 
4 
cm2 
C 
3. En la figura 3, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 16 cm2. ¿Cuál es 
el área del trapecio EBCD? 
A) 16 cm2 
B) 24 cm2 
C) 32 cm2 
D) 48 cm2 
E) 64 cm2 
A1 
A2 
A B 
A1 = A2 
fig. 2 
A D 
E 
B 
F 
A D 
E 
B 
F G 
A1 A2 
A3 
A4 
A5 
A6 
fig. 3 
A 
D 
C 
E B 
A 
C 
D B
4. En el triángulo ABC de la figura 4, AD  DB , AE y BF son transversales de gravedad. 
Si el área del triángulo ADG es 9 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC? 
8 
A) 18 cm2 
B) 27 cm2 
C) 36 cm2 
D) 45 cm2 
E) 54 cm2 
C 
F G E 
5. En la figura 5, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces, 
¿cuál es el área de la región achurada? 
1 
A) ab 
8 
1 
B) ab 
4 
1 
C) ab 
2 
3 
D) ab 
4 
E) ab 
D M C 
A B 
fig. 5 
6. Se muestran cuatro cuadrados de lado a. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras achuradas 
tienen igual área? 
I) II) III) IV) 
A) Sólo I y II 
B) Sólo II y III 
C) Sólo III y IV 
D) Sólo I, II y III 
E) I, II, III y IV 
RESPUESTAS 
DMTRMA17 
a 
b 
B 
fig. 4 
A D 
Ejemplos 
Págs. 1 2 3 4 5 6 7 
1 y 2 D C C A D B 
3 y 4 C B B B B E D 
5 B E 
6 C E C 
7 y 8 A C D E C E 
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  • 1. Triángulos Notables 1 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17 UNIDAD: GEOMETRÍA PERÍMETROS Y ÁREAS TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa. Ternas pitagóricas EJEMPLOS 2a 1. La suma de todos los trazos de la figura 1, es A) 46 B) 49 C) 54 D) 61 E) 64 2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5. Entonces, ¿cuál es el área del triángulo? A) 25 B) 25 3 C) 25 3 2 D) 25 5 2 E) 50 3 a2 b2 c2 a2 + b2 = c2 a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 60º a 3 a a a 2 a A fig. 2 B C 17 4k 3k 8 fig. 1 C u r s o : Matemática Material N° 17
  • 2. 3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AD = BD = 3. Entonces, 2 AC + BC es A) 6 B) 9 C) 6 2 D) 12 2 E) 6 + 6 2 A D B 4. En las figura 4, se tiene que AC = 12, BC = 13 y BD = 3. Entonces, la medida de AD es A) 4 B) 17 C) 5 D) 34 E) 6 5. La longitud de AB , en la figura 5, es A) 26 cm B) 10 cm C) 6 cm D) 4 cm E) 6 cm 1 cm 6. En la figura 6, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y mide 10 2 cm. Si E, F, G y H son punto medios, ¿cuál es la suma de los lados del cuadrado EFGH? A) 10 2 cm B) 20 2 cm C) 40 2 cm D) 40 cm E) 50 cm D H C E G A F B fig. 6 C fig. 3 A B D C fig. 4 B A E C 1 cm 1 cm 1 cm fig. 5 D
  • 3. Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se denotará por p. Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por A. Nombre Figura Perímetro Área d Cuadrado 4a 3 EJEMPLOS a b b a a h a a b b c d b 1. Si el área de un cuadrado es 144 cm2, entonces su perímetro mide A) 12 cm B) 36 cm C) 48 cm D) 81 cm E) 288 cm          2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b, entonces DC es A) a + 2b B) 2a + b C) 4a + 6b D) 4a + 2b E) 6a + 5b a2 d2 2 Rectángulo 2a + 2b a  b Rombo 4a h · a 1 2 d d 2 Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2 Trapecio a + b + c + d a c h 2 D C A B fig. 1 a h a a h1 h2 a a a a a d1 d2
  • 4. 3. Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE = 7 cm, su área es 4 A) 140 cm2 B) 70 cm2 C) 40 cm2 D) 35 cm2 E) ninguno de los valores anteriores. D C 4. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm? A) 20 cm2 B) 24 cm2 C) 40 cm2 D) 48 cm2 E) 60 cm2 5. En la figura 3, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y AB = 15 cm, entonces el perímetro y el área son, respectivamente, A) 37 cm y 120 cm2 B) 50 cm y 150 cm2 C) 50 cm y 180 cm2 D) 90 cm y 300 cm2 E) 150 cm y 600 cm2 6. ABCD es un rombo de lado 16 cm. Si se ha dividido en rombos congruentes como muestra la figura 4, entonces el perímetro de la región achurada es A) 22 cm B) 36 cm C) 64 cm D) 80 cm E) 88 cm 7. En el trapecio isósceles ABCD de la figura 5, DC // AB , AD = 5 y AB = 10. Si el área del triángulo ABD es 20, ¿cuál es el perímetro del trapecio? A) 14 B) 20 C) 21 D) 24 E) 28 fig. 2 B A E fig. 3 D C A B fig. 4 D C A B D C A B fig. 5
  • 5. Nombre Figura Perímetro Área    C Triángulo a + b + c a ha b hb c hc 5 EJEMPLO b a 1. ¿Cuánto mide la altura CD del triángulo ABC de la figura 1? A) 2,4 B) 4,8 C) 10 D) 3 2 E) 4 3   C 8 6 fig. 1 2. Los triángulos ABC y DBE de la figura 2 son equiláteros. Si el perímetro del ABC es 12, entonces el área del DBE es A) 6 B) 9 3 C) 4 3 D) 2 3 E) 3 2 2 2 Triángulo Equilátero 3a a2 3 4 Triángulo ab c · h Rectángulo a + b + c = c 2 2 A B c ha hc hb a a a b c a hc A D B C E A D B fig. 2
  • 6. Nombre Figura Perímetro Área 6 Circunferencia y Círculo EJEMPLOS       1. En la figura 1, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces ¿cuál es el área de la región achurada? A) 20 cm2 B) 40 cm2 C) 50 cm2 D) (10 + 10) cm2 E) (10 + 20) cm2 A B 2. La figura 2, muestra un cuadrado de lado 4 y una circunferencia inscrita en él. ¿Cuál es el área y el perímetro de la región achurada? Área Perímetro A) 4 –  4 + 2 B) 16 – 4 16 – 4 C) 16 + 4 16 + 4 D) 16 + 4 16 – 4 E) 16 – 4 16 + 4 3. En la figura 3, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm y AB = 4 cm, entonces el área de la región achurada es A) 2 cm2 B) 8 cm2 C) 16 cm2 D) 32 cm2 E) 64 cm2 D = 2r D Diámetro r2 Sector circular Arco AB + 2r Arco AB = 2 r 360º r2 360º O r O A B  fig. 2 fig. 3 A B O 10 cm fig. 1 O
  • 7. 7 FIGURAS EQUIVALENTES Son aquellas que tienen igual área. En todo triángulo:  Cada transversal de gravedad lo divide en dos triángulos equivalentes.  Las tres transversales lo dividen en seis triángulos equivalentes. EJEMPLOS C D D es el punto medio de BC D, E, F puntos medios A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 C 1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal de gravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC? A) 12 cm2 B) 15 cm2 C) 20 cm2 D) 24 cm2 E) 48 cm2 fig. 1 2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE , EF y FD son medianas. Si AC = 20 cm, ¿cuánto mide el área del trapecio ABEF? A) 150 3 cm2 B) 100 3 cm2 C) 75 3 cm2 D) 25 3 cm2 E) 150 3 4 cm2 C 3. En la figura 3, D y E son puntos medios y el área del triángulo AED es 16 cm2. ¿Cuál es el área del trapecio EBCD? A) 16 cm2 B) 24 cm2 C) 32 cm2 D) 48 cm2 E) 64 cm2 A1 A2 A B A1 = A2 fig. 2 A D E B F A D E B F G A1 A2 A3 A4 A5 A6 fig. 3 A D C E B A C D B
  • 8. 4. En el triángulo ABC de la figura 4, AD  DB , AE y BF son transversales de gravedad. Si el área del triángulo ADG es 9 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC? 8 A) 18 cm2 B) 27 cm2 C) 36 cm2 D) 45 cm2 E) 54 cm2 C F G E 5. En la figura 5, ABCD es un rectángulo y M es un punto cualquiera de DC . Entonces, ¿cuál es el área de la región achurada? 1 A) ab 8 1 B) ab 4 1 C) ab 2 3 D) ab 4 E) ab D M C A B fig. 5 6. Se muestran cuatro cuadrados de lado a. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras achuradas tienen igual área? I) II) III) IV) A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) Sólo III y IV D) Sólo I, II y III E) I, II, III y IV RESPUESTAS DMTRMA17 a b B fig. 4 A D Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 1 y 2 D C C A D B 3 y 4 C B B B B E D 5 B E 6 C E C 7 y 8 A C D E C E Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/