Aritmética

Taller Remedial de Matemáticas
M. en C. Juliho Castillo
29 de enero de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
1

1 Los números enteros
Máximo Común Divisor
Mínimo Común Múltiplo
2 Los números racionales
Simplificación
Conversión y comparación
Operaciones
3 Razones y proporciones
Razones inversas
Ejemplos
3

Los números naturales son el conjunto de números
N = {0, 1, 2, 3, ...}
¿Para que nos sirve N?
Este conjunto de números nos sirve para contar.
5

Los números enteros son el conjunto de números
Z = {0, ±1, ±2, ...}
¿Para que nos sirve Z?
Este conjunto de números nos sirve para contar, sumar y
restar.
6

Los números enteros
Máximo Común Divisor
7

Ejemplo 1.1.
Supongamos que tenemos 6 botellas de vino y 15 latas de
conservas, para armar arcones navideños. ¿Cual es el número
máximo de arcones que podemos armar, de manera que cada
uno tenga la misma cantidad de botellas y latas? En ese caso,
¿cuantas botellas y latas habrá en cada uno?
8

Definición 1.1.
Diremos que un entero n divide a otro entero c ∈ Z si
existe un tercer entero p ∈ Z tal que
c = n ∗ p.
Diremos que el entero d es el máximo común divisor de
dos enteros a, b o mcd(a, b) si
d divide tanto a a como b y;
d es el número entero más grande con esta propiedad.
9

Ejemplo 1.2.
Encontrar mcd(6, 15).
Solución.
Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6, mientras que los de 15
son ±1, ±3, ±5, ±15.
Entonces, los divisores en común de 6 y 15 son ±1, ±3.
El más grande de todos estos es d = 3 y por tanto es
mcd(6, 15) = 3.
10

Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando hay
pocos divisores, puede resultar abrumador si ambos números
tienes una gran cantidad de divisores.
¿Existirá un método más eficiente?
11

Proposición 1.1 (Teorema del Residuo).
Dados dos números enteros positivos a, b, existen otro par de
enteros positivos q, r tales que
a = b ∗ q + r (1.1)
r < b. (1.2)
A q se le llama cociente, mientras que a r se le llama residuo.
12

Ejemplo 1.3.
Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo es
r = 1, porque 


7 = 2 ∗ 3 + 1
r = 1 < b = 2.
Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir
7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como 5 > 2, entonces r = 5 no satisface la
condición del residuo (1.2), porque r = 5 ≥ b = 2.
13

Algoritmo 1.1 (Algoritmo Euclidiano).
Sean a, b ∈ Z dos números enteros positivos. Consideremos la
siguiente sucesión de operaciones
a = b ∗ q0 + r0
b = r0 ∗ q1 + r1
r0 = r1 ∗ q2 + r2
...
rN−3 = rn−2 ∗ qN−1 + rN−1
rN−2 = rN−1 ∗ qN + 0.
Entonces el último cociente rN−1 es el mcd de a y b.
14

Como en el ejemplo 1.2, tenemos que
15 = 6 ∗ 2 + 3
6 = 3 ∗ 2 + 0,
Entonces r = 3 es igual a mcd(15, 6)...
¡Listo, hemos terminado!
15

Evaluación Continua 1.1.
Encuentre el máximo común denominador mcd(a, b) para cada
uno de los siguientes pares (a, b) :
1 (56, 36)
2 (28, 36)
3 (76, 52)
4 (34, 8)
5 (18, 12)
6 (57, 63)
7 (46, 16)
8 (8, 16)
9 (90, 95)
10 (65, 110)
11 (28, 84)
12 (56, 140)
13 (24, 28)
14 (72, 84)
15 (105, 70)
16 (35, 84)
17 (4, 14)
18 (119, 126)
19 (126, 36)
20 (34, 4)
16

Los números enteros
Mínimo Común Múltiplo
17

Ejemplo 1.4.
Supongamos que dos agentes de viajes se encuentran en la
misma ciudad hoy; el primero regresa cada 6 días a ésta,
mientras que el segundo regresa cada 15 días. ¿Después de
cuantos días se volverán a encontrar?
18

Definición 1.2.
Diremos que el entero positivo m ∈ Z es el mínimo común
multiplo o mcm de dos enteros positivos a, b si
m es múltiplo tanto de de a ∈ Z como b ∈ Z y;
d es el número entero positivo más pequeño con esta
propiedad.
19

Proposición 1.2.
Si a, b son dos enteros positivos, entonces
mcm(a, b) =
a ∗ b
mcd(a, b)
20

Ejemplo 1.5.
Encontrar el mcm de a = 6 y b = 15.
21

Encuentre el mínimo común multiplo mcm(a, b) para cada uno
de los siguientes pares (a, b) :
1 (7, 5)
2 (6, 20)
3 (5, 17)
4 (16, 6)
5 (4, 8)
6 (5, 2)
7 (4, 23)
8 (8, 7)
9 (2, 9)
10 (22, 4)
11 (6, 22)
12 (5, 13)
13 (6, 3)
14 (7, 19)
15 (3, 15)
16 (5, 11)
17 (22, 5)
18 (6, 4)
19 (15, 5)
20 (3, 5)
22

Los números racionales son el conjunto de números
Q =
a
b
| a, b ∈ Z, b = 0
¿Para que nos sirve Q?
Este conjunto de números nos sirve para contar, sumar, restar,
multiplicar y dividir.
24

Definición 2.1.
Dos números racionales
a
b
,
c
d
son equivalentes si
a ∗ d − b ∗ c = 0.
Ejemplo 2.1.
1
2
es equivalente a
2
4
porque
(1) (4) − (2) (2) = 0.
25

Los números racionales
Simplificación
26

Definición 2.2.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos si
mcd(p, q) = 1.
2 Diremos que
p
q
∈ Q es la forma irreducible de
a
b
∈ Q si
p
q
es equivalente a
a
b
y
p, q son primos relativos.
27

Por la definición 2.1, tenemos que para un número racional a
b
:
n ∗ a
n ∗ b
=
a
b
,
siempre que n = 0.
Ejemplo 2.2.
2
4
=
2 ∗ 1
2 ∗ 2
=
1
2
.
28

Observación 2.1.
Sean a, b dos enteros positivos. Si d = mcd(a, b) y
a = d ∗ p, b = d ∗ q,
entonces podemos simplificar de la siguiente manera
a
b
=
d ∗ p
d ∗ q
=
p
q
.
29

Observación 2.2.
Si d es el máximo común divisor de los enteros a, b = 0,
entonces tenemos que p, q son los cocientes en las operaciones



a = d ∗ p
b = d ∗ q
30

Ejemplo 2.3.
Encuentre la forma irreducible de
15
10
.
31

Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;
2 Como
15
10
=
5 ∗ 3
5 ∗ 2
=
3
2
,
entonces
3
2
es equivalente a
15
10
.
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.
Concluimos que
3
2
es la forma irreducible de
15
10
.
32

Ejemplo 2.4.
Encuentre la forma irreducible de la fracción
182
910
.
33

Conversión y comparación
34

Supongamos que una pizza se parte en 12 rebanadas iguales,
mientras que otra similar se parte en 8. ¿Qué cantidad de
pizza es mayor, 7 rebanadas de la primera o 5 de la segunda?
35

Para comparar dos fracciones, debemos convertirlas de manera
que tenga un común denominador.
36

Algoritmo 2.1 (Conversión a común denominador).
Para convertir dos fracciones a
b
, c
d
a común denominador:
1 Encuentre m = mcm(b, d)
2 Encuentre un entero p tal que m = b ∗ p y convierta la
primera fracción
a
b
=
a ∗ p
b ∗ p
=
ap
m
3 Encuentre un entero q tal que m = d ∗ q y convierta la
segunda fracción
c
d
=
c ∗ q
d ∗ q
=
cq
m
37

Observación 2.3.
Si el común demoninador m de dos fracciones
x
m
,
y
m
es positivo, entonces
x
m
<
y
m
⇐⇒ x < y.
38

Ejemplo 2.5.
Compare cada uno de los siguientes pares de fracciones:
1
15
11
,
28
37
2 −
35
36
,
1
6
3
3
10
, −
23
33
4 −
17
31
, −
12
7
39

Operaciones
40

Algoritmo 2.2 (Suma de fracciones).
Para sumar dos fracciones a
b
, c
d
:
1 Convierta a común denominador, de manera que
a
b
=
x
m
,
c
d
=
y
m
;
2 sume ambos numeradores
a
b
+
c
d
=
x
m
+
y
m
=
x + y
m
;
3 simplifique.
41

Observación 2.4.
Cualquier suma se puede reescribir como una resta:
x + y = x − (−y) ,
y viceversa
x − y = x + (−y) .
Por esta razón, en álgebra, no es muy útil distinguir entre
estas dos operaciones. Utilizaremos el mismo algoritmo, para
encontrar la resta de dos fracciones.
43

Ejemplo 2.8.
Realice las siguientes y escriba el resultado en su forma
irreducible:
1
5
3
+
5
9
2
7
3
+
4
7
3
5
4
+
3
2
4
1
2
−
1
3
5
3
5
−
4
9
45

Realice las siguientes operaciones
1
2
3
+ 7
6
2
7
9
− 7
5
3
5
7
+ 5
8
4
7
5
− 3
5
5
7
5
+ 5
9
6
5
2
− 6
5
7
2
3
+ 1
2
8
7
2
− 5
8
9
4
7
+ 3
4
10
2
3
− 5
6
11
1
2
+ 4
3
12
4
9
− 4
3
13
5
6
+ 7
3
14
3
4
− 1
2
15
9
2
+ 4
5
16
7
9
− 5
8
17
3
2
+ 4
7
18
8
3
− 2
7
19
4
9
+ 9
2
20
5
4
− 4
7
46

La multiplicación entre dos números racionales se define como
a
b
∗
c
d
=
a ∗ c
b ∗ d
. (2.1)
Ejemplo 2.9.
2
3
∗
4
5
=
2 ∗ 4
3 ∗ 5
=
8
15
.
47

Realice las siguientes operaciones y simplifique:
1
3
4
× 6
5
2
3
8
× 8
5
3
3
2
× 2
3
4
3
4
× 8
5
5
5
4
× 5
2
6
7
4
× 7
6
7
9
4
× 5
9
8
8
9
× 5
7
9
4
3
× 8
3
10
5
6
× 4
7
11
3
2
× 9
4
12
4
7
× 1
2
13
1
2
× 2
9
14
5
2
× 7
2
15
3
2
× 4
9
16
7
5
× 9
7
17
9
8
× 5
8
18
5
6
× 2
3
19
4
9
× 9
2
20
7
3
× 1
2
48

Observación 2.5.
En ocasiones, la división de fracciones se conoce como regla
del “sandwich”:
a
b
c
d
=
a
b
÷
c
d
=
a ∗ d
b ∗ c
49

La división entre dos números racionales se define como
a
b
÷
c
d
=
a ∗ d
b ∗ c
. (2.2)
siempre y cuando c = 0.
Ejemplo 2.10.
2
3
÷
4
5
=
2 ∗ 5
3 ∗ 4
=
10
12
.
50

Realice las siguientes operaciones y simplifique:
1
3
4
÷ 6
5
2
3
8
÷ 8
5
3
3
2
÷ 2
3
4
3
4
÷ 8
5
5
5
4
÷ 5
2
6
7
4
÷ 7
6
7
9
4
÷ 5
9
8
8
9
÷ 5
7
9
4
3
÷ 8
3
10
5
6
÷ 4
7
11
3
2
÷ 9
4
12
4
7
÷ 1
2
13
1
2
÷ 2
9
14
5
2
÷ 7
2
15
3
2
÷ 4
9
16
7
5
÷ 9
7
17
9
8
÷ 5
8
18
5
6
÷ 2
3
19
4
9
÷ 9
2
20
7
3
÷ 1
2
51

La razón de dos números (enteros o racionales) a, b se escribe
a : b y se representa por la fracción
a
b
.
Ejemplo 3.1.
La razón de 4 a 6 se escribe 4 : 6 y se representa por la
fracción
4
6
=
2
3
.
53

Ejemplo 3.2.
La razón de 2
3
a 4
5
se escribe
2
3
:
4
5
y se representa por la fracción
2
3
4
5
=
2
3
÷
4
5
=
5
6
.
54

Diremos que dos razones a : b y c : d son equivalente si
a
b
=
c
d
.
En ese caso, escribimos a : b ∼ c : d.
55

Ejemplo 3.3.
¿Cuál es el precio unitario de cada artículo?
Una bote con 3 litros de aceite cuesta $54.
Una caja de cereales con 700 gramos cuesta $63.
56

Ejemplo 3.4.
Exprese las siguientes razones por medio de una fracción
simplificada
1 96 : 128
2
2
3
: 3
4
57

Ejemplo 3.5.
Encuentre la razón entre las siguientes cantidades:
1 6 libras a 12 onzas
2 3 cuartos a 2 galones
3 3 yardas a 6 pies cuadrados
58

Ejemplo 3.6.
Un segmento de 30 pulgadas se divide en dos partes cuyas
longitudes están en razón de 2 : 3. Encuentre las longitudes de
ambos segmentos.
59

Ejemplo 3.7.
Las edades actuales de dos hermanos son 5 y 8 años
respectivamente. ¿Al cabo de cuantos años, sus edades estarán
en razón 3 : 4?
60

Ejemplo 3.8.
Divida 253 en cuatro partes propocionales 2 : 5 : 7 : 9.
61

Razones y proporciones
Razones inversas
62

Cuando tratamos de conservar una proporción a : b, hablamos
de una razón directa, y podemos representarla por una
equivalencia de fracciones:
a : b ∼ c : d ⇔
a
b
=
c
d
.
63

Por ejemplo, en una recete de hotcakes, tenemos una razón
1 : 3
4
entre tazas de harina y tazas de leche.
64

Para mantener la receta, podemos multiplicar las cantidades,
pero manteniendo la proporción.
65

Por ejemplo, podemos ocupar 4 tazas de harina para 3 tazas
de leche, porque 1 : 3
4
∼ 4 : 3.
66

En cambio, en ocasiones lo que buscamos es mantener una
cantidad total, y no proporción. Generalmente, es una
cantidad de trabajo.
67

Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared de
dimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarla
en 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor más
con una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán para
terminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y si
fueran 8?
68

En el ejemplo anterior, la pared requiere 8 horas-trabajador;
esta es la cantidad que debemos conservar, aunque no es
permitido variar los trabajadores o las horas de trabajo por
trabajador.
69

En este caso, hablamos de una razón inversa.
70

Ejemplo 3.9.
Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16
maquinas, encuentre el número de días que emplearán 16
personas en poner a punto 8 máquinas.
71

Ejemplo 3.10.
Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16
maquinas, encuentre el número de días que emplearán 15
personas en poner a punto 50 máquinas.
72

Razones y proporciones
Ejemplos
73

Ejemplo 3.11.
¿Cuál es la mejor compra entre 7 latas de sopas que cuestan
$22.50 y 3 latas del mismo producto, que cuestan $9.50.
74

Ejemplo 3.12.
¿Cuál es la mejor compra entre un paquete de 3 onzas de
queso crema que cuesta $4.30 y otro paquete de 8 onzas del
mismo producto que cuesta $8.70?
75

Ejemplo 3.13.
Si dos hombres pueden transportar 6 acres de tierra en 4
horas, ¿cuántos hombres se necesitan para transportar 18
acres en 8 horas?
76

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