Taller Remedial de Matemáticas

Notas del Taller Remedial de
Matemáticas
M. en C. Juliho Castillo
3 de marzo de 2017
ESDAI, Universidad Panamericana
1

¡Bienvenidas al Taller Remedial de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la
“o”.)
4

Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,
posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:
“Técnicas simplécticas aplicadas a las soluciones
generalizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajo
la dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,
CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha de
titulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación de
Capacidades Simplécticas en Superficies”, bajo la
dirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,
especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 de
enero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadores
de Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor Sanchez
5

Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: Manuscripta
Mathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo de
Investigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al Análisis
Semiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,
69-96, Artículo de exposición.
6

Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis de
Licenciatura en Matemáticas Aplicadas, Mención
Honorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,
ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana de
Matemáticas, Delegación Oaxaca
7

Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,
ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas
“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias y
Matemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,
Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académia
de Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,
Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,
Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,
8

Temario
1 Introducción
2 Porcentajes y reparto proporcional
3 Operaciones con expresiones algebraicas
4 Productos notables
5 Factorización
6 Ecuaciones de primer grado con una y dos variables
7 Ecuaciones de segundo grado; aplicaciones.
8 Sistemas de dos eciaciones con dos incognitas;
aplicaciones
10

Bibliografía
1 SPIEGEL, Murray et. al. ”Álgebra Superior”. 3a. ed.
México: Series Schaum, McGraw-Hill, 2006.
2 HOFFMANN, Laurence et. el. ”Matemáticas Aplicadas a
la Administración y los Negocios”. 1a ed. México:
McGraw-Hill, 2014.
11

Normativa
La calificación final se compondrá de la siguiente manera:
1 2 evaluaciones parciales x 30 % cada una = 60 %
calificación final
2 1 examen final = 40 % calificación final
Cada evaluación parcial se compondrá de la siguiente manera
1 Examen escrito = 40 %
2 Guía de examen = 20 %
3 Controles de lectura = 40 %
12

Los controles de lectura serán semanales con base en los libros
de la bibliografía.
13

Algunos puntos importantes a considerar son:
1.) El límite de faltas es el 20 % del total de las sesiones y no
hay justificante para las mismas.
2.) En clase, no se podrá hacer uso de dispositivos
electrónicos, excepto de calculadora científica no graficadora.
14

Habilidad para trabajar de forma autónoma
Competencia necesaria en la ejecución independiente de las
actividades o en la resolución de problemas. Supone responder
de manera proactiva sin esperar autorizaciones o consultas.
Proponer mejoras.
Decidir.
Estar orientado a la acción.
Utilizar la iniciativa y la rapidez como ventaja
competitiva.
Asumir riesgos.
Establecer prioridades.
16

Resolución de problemas
Competencia necesaria para proponer soluciones viables a
problemas presentes y futuros.
17

Motivación de logro
Competencia necesaria para encausar la actitud de la persona
hacia el cumplimiento de las metas en la vida personal y
laboral.
Implica el convencimiento de que cada persona es capaz de
realizar con éxito una tarea o elegir el enfoque adecuado para
resolver un problema.
Esto incluye abordar nuevos y crecientes retos con una actitud
de confianza en las propias capacidades, decisiones o
capacidades, decisiones o
18

1 Conjuntos de Números
Los números enteros
Los números racionales
2 Razones y proporciones
Razones inversas
Ejemplos
19

Conjuntos de Números
Los números enteros
21

Los números naturales son el conjunto de números
N = {0, 1, 2, 3, ...}
¿Para que nos sirve N?Este conjunto de número nos sirve para
contar.
22

Los números enteros son el conjunto de números
Z = {0, ±1, ±2, ...}
¿Para que nos sirve Z?Este conjunto de número nos sirve para
contar, sumar y restar.
23

Definición 4.1.
Diremos que un entero n ∈ Z divide a otro entero c ∈ Z
si existe un tercer entero p ∈ Z tal que
c = n ∗ p.
Diremos que el entero d ∈ Z es el máximo común divisor
o mcd de dos enteros a, b ∈ Z si
d divide tanto a a ∈ Z como b ∈ Z y;
d es el número entero más grande con esta propiedad.
24

Ejemplo 4.1.
Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.
Solución.
Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15
son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y
15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y por
tanto es el mcd.
25

Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando hay
pocos divisores, puede resultar abrumador si ambos números
tienes una gran cantidad de divisores. ¿Existirá un método más
eficiente? Sí, pero necesitamos un poco más de maquinaria.
26

Definición 4.2.
El valor absoluto de un número entero a ∈ Z es la distancia de
este número, medida desde el origen de la recta númerica.
Figura 4.1: Valor Absoluto
27

Observación 4.1.
Básicamente, el valor absoluto a los números negativos en
positivos; y deja los no-negativos exactamente igual.
28

Proposición 4.1 (Teorema del Residuo).
Dados dos números enteros, a, b ∈ Z, con b = 0, existen otro
par de enteros q, r ∈ Z tales que
a = b ∗ q + r (4.1)
|r| < |b| . (4.2)
A q se le llama cociente, mientras que a r se le llama residuo.
29

Ejemplo 4.2.
Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo es
r = 1, porque 


7 = 2 ∗ 3 + 1
|r = 1| < |b = 2| .
Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir
7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como |5| > |2| , entonces r = 5 no satisface
la condición del residuo (4.2), porque |r = 5| ≥ |b = 2| .
30

Proposición 4.2 (Algoritmo Euclidiano).
Sean a, b ∈ Z dos número enteros. Consideremos la siguiente
sucesión de operaciones
a = b ∗ q0 + r0
b = r0 ∗ q1 + r1
r0 = r1 ∗ q2 + r2
...
rN−3 = rn−2 ∗ qN−1 + rN−1
rN−2 = rN−1 ∗ qN + 0.
Entonces el número entero rN−1 es el mcd.
31

Como en el ejemplo 4.1, tenemos que
15 = 6 ∗ 2 + 3
6 = 3 ∗ 2 + 0,
Entonces r = 3 es el mcd...¡Listo, hemos terminado!
32

Conjuntos de Números
Los números racionales
33

Los números racionales son el conjunto de números
Q =
a
b
|a, b ∈ Z, b = 0
¿Para que nos sirve Q? Este conjunto de número nos sirve
para contar, sumar, restar, multiplicar y dividir.
34

Definición 4.3.
Dos números racionales
a
b
,
c
d
son equivalentes si
a ∗ d − b ∗ c = 0.
Ejemplo 4.3.
1
2
es equivalente a
2
4
porque
(1) (4) − (2) (2) = 0.
35

Definición 4.4.
1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos si
mcd(p, q) = 1.
2 Diremos que
p
q
∈ Q es la forma irreducible de
a
b
∈ Q si
p
q
es equivalente a
a
b
y
p, q son primos relativos.
36

Ejemplo 4.4.
Encuentre la forma irreducible de
15
10
.
Solución.
1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;
2 Como
15
10
=
5 ∗ 3
5 ∗ 2
=
3
2
,
entonces
3
2
es equivalente a
15
10
.
3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.
Concluimos que
3
2
es la forma irreducible de
15
10
.
37

La suma entre dos números racionales se define como
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bc
. (4.3)
Ejemplo 4.5.
2
3
+
4
5
=
(2)(5) + (3)(4)
(3)(5)
=
22
15
38

La resta entre dos números racionales se define como
a
b
−
c
d
=
ad − bc
bc
. (4.4)
Ejemplo 4.6.
2
3
−
4
5
=
(2)(5) − (3)(4)
(3)(5)
= −
2
15
39

Por la definición 4.3, tenemos que para un número racional a
b
:
n ∗ a
n ∗ b
=
a
b
,
siempre que n = 0.
Ejemplo 4.7.
2
4
=
2 ∗ 1
2 ∗ 2
=
1
2
.
40

Definición 4.5.
Diremos que la forma irreducible de una fracción
a
b
es
p
q
si
a
b
=
p
q
,
pero
p, q son primos relativos.
41

Observación 4.2.
Si d es el máximo común divisor de los enteros a, b = 0,
entonces tenemos que p, q son los cocientes en las operaciones



a = d ∗ p
b = d ∗ q
42

Ejemplo 4.8.
Encuentre la forma irreducible de la fracción
182
910
.
43

Ejemplo 4.9.
Realice las siguientes y escriba el resultado en su forma
irreducible:
1
5
3
+
5
9
2
7
3
+
4
7
3
5
4
+
3
2
4
1
2
−
1
3
5
3
5
−
4
9
44

La división entre dos números racionales se define como
a
b
÷
c
d
=
a ∗ d
b ∗ c
. (4.5)
siempre y cuando c = 0.
Ejemplo 4.10.
2
3
÷
4
5
=
2 ∗ 5
3 ∗ 4
=
10
12
.
45

La razón de dos números (enteros o racionales) a, b se escribe
a : b y se representa por la fracción
a
b
.
Ejemplo 5.1.
La razón de 4 a 6 se escribe 4 : 6 y se representa por la
fracción
4
6
=
2
3
.
47

Ejemplo 5.2.
La razón de 2
3
a 4
5
se escribe
2
3
:
4
5
y se representa por la fracción
2
3
4
5
=
2
3
÷
4
5
=
5
6
.
48

Diremos que dos razones a : b y c : d son equivalente si
a
b
=
c
d
.
En ese caso, escribimos a : b ∼ c : d.
49

Ejemplo 5.3.
¿Cuál es el precio unitario de cada artículo?
Una bote con 3 litros de aceite cuesta $54.
Una caja de cereales con 700 gramos cuesta $63.
50

Ejemplo 5.4.
Exprese las siguientes razones por medio de una fracción
simplificada
1 96 : 128
2
2
3
: 3
4
51

Ejemplo 5.5.
Encuentre la razón entre las siguientes cantidades:
1 6 libras a 12 onzas
2 3 cuartos a 2 galones
3 3 yardas a 6 pies cuadrados
52

Ejemplo 5.6.
Un segmento de 30 pulgadas se divide en dos partes cuyas
longitudes están en razón de 2 : 3. Encuentre las longitudes de
ambos segmentos.
53

Ejemplo 5.7.
Las edades actuales de dos hermanos son 5 y 8 años
respectivamente. ¿Al cabo de cuantos años, sus edades estarán
en razón 3 : 4?
54

Ejemplo 5.8.
Divida 253 en cuatro partes propocionales 2 : 5 : 7 : 9.
55

Razones y proporciones
Razones inversas
56

Cuando tratamos de conservar una proporción a : b, hablamos
de una razón directa, y podemos representarla por una
equivalencia de fracciones:
a : b ∼ c : d ⇔
a
b
=
c
d
.
57

Por ejemplo, en una recete de hotcakes, tenemos una razón
1 : 3
4
entre tazas de harina y tazas de leche.
58

Para mantener la receta, podemos multiplicar las cantidades,
pero manteniendo la proporción.
59

Por ejemplo, podemos ocupar 4 tazas de harina para 3 tazas
de leche, porque 1 : 3
4
∼ 4 : 3.
60

En cambio, en ocasiones lo que buscamos es mantener una
cantidad total, y no proporción. Generalmente, es una
cantidad de trabajo.
61

Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared de
dimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarla
en 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor más
con una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán para
terminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y si
fueran 8?
62

En el ejemplo anterior, la pared requiere 8 horas-trabajador;
esta es la cantidad que debemos conservar, aunque no es
permitido variar los trabajadores o las horas de trabajo por
trabajador.
63

En este caso, hablamos de una razón inversa.
64

Ejemplo 5.9.
Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16
maquinas, encuentre el número de días que emplearán 16
personas en poner a punto 8 máquinas.
65

Ejemplo 5.10.
Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16
maquinas, encuentre el número de días que emplearán 15
personas en poner a punto 50 máquinas.
66

Razones y proporciones
Ejemplos
67

Ejemplo 5.11.
¿Cuál es la mejor compra entre 7 latas de sopas que cuestan
$22.50 y 3 latas del mismo producto, que cuestan $9.50.
68

Ejemplo 5.12.
¿Cuál es la mejor compra entre un paquete de 3 onzas de
queso crema que cuesta $4.30 y otro paquete de 8 onzas del
mismo producto que cuesta $8.70?
69

Ejemplo 5.13.
Si dos hombres pueden transportar 6 acres de tierra en 4
horas, ¿cuántos hombres se necesitan para transportar 18
acres en 8 horas?
70

3 Expresiones Algebraicas
Reducción de términos semejantes
Supresión de signos de agrupación
4 Mutiplicación de polinomios
5 División de Polinomios
6 Productos Especiales
Productos notables
Productos para an
± bn
7 Factorización
Procedimientos de factorización
71

3 Expresiones Algebraicas
4 Mutiplicación de polinomios
5 División de Polinomios
6 Productos Especiales
Productos notables
Productos para an
± bn
7 Factorización
72

Expresiones Algebraicas
74

En el álgebra, representamos cantidades desconocidas por
símbolos; generalmente son letras como x, y, z, pero no debe
olvidarse que respresentan números.
75

Para representar una multiplicación iterada, usamos el símbolo
de potencia
xn
= x ∗ · · · ∗ x
n-veces
;
al número x le llamamos base y al número n le llamamos
potencia.
76

Ejemplo 6.1.
1 32
= 3 ∗ 3 = 9
2 53
= 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125
3 24
= 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 16
77

Ejemplo 6.2.
1 x2
= x ∗ x
2 x3
= x ∗ x ∗ x
3 x4
= x ∗ x ∗ x ∗ x
4 · · ·
78

Observación 6.1.
Observe que x1
= x; mientras que, por convención, x0
= 1.
79

Cuando multiplicamos xn
por un número diferente de x :
axn
= a ∗ x ∗ · · · ∗ x,
diremos que a es el coeficiente de xn
.
80

A un número escrito en la forma axn
se le llama monomio; y
diremos que dos monomios son semejantes si tienen
exactamente la misma base a la misma potencia.
81

Ejemplo 6.3.
Determine cual de los siguientes monomios es semejante a
2x3
:
1 3x3
;
2 2x2
;
3 2y3
;
82

Dos términos semejantes pueden reducirse



axn
+ bxn
= (a + b) xn
axn
− bxn
= (a − b) xn
83

Ejemplo 6.4.
Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo el
coeficiente en forma irreducible.
1 (4n2
+ 5n + 3) + (−3n2
− 2n)
2 (−7a3
− a2
− 5a − 2) + (a3
+ a2
− 4a + 7)
3
5u5
− 3u4
+ 2u3
− 5u2
+ 7u − 7 +
2u5
3
+
3u4
2
−
2u2
3
+
5u
6
+
5
4
.
84

Ejemplo 6.5.
Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo el
coeficiente en forma irreducible.
1 (4n2
+ 5n + 3) − (−3n2
− 2n)
2 (−7a3
− a2
− 5a − 2) − (a3
+ a2
− 4a + 7)
3
5u5
− 3u4
+ 2u3
− 5u2
+ 7u − 7 −
2u5
3
+
3u4
2
−
2u2
3
+
5u
6
+
5
4
.
85

Observación 6.2.
A la suma de dos o más monomios se le conoce como
polinomio.
Por ejemplo x2
− 2x + 1 o x2
− 2xy + y2
.
86

Expresiones Algebraicas
87

Cuando queremos quitar parentesis u otro signo de
agrupación, en una suma o resta de polinomios, basta usar la
regla de los signos.
88

Sin embargo, cuando un polinomio se multiplica por un
coeficiente, se utiliza la siguiente regla
Proposición 6.1 (Ley de la distribución).
a (b + c) = ab + ac (6.1)
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. (6.2)
89

Ejemplo 6.6.
Simplifique
1 (6 − 7a)(2 − 4a)
2 −4(−4w − 5)(4w − 2)
3 6(−5v − 7)(4 − 5v)(−2v − 1)v
90

Mutiplicación de polinomios
91

Dos monomios se pueden mutiplicar de la siguiente manera
(axn
)(bxm
) = (ab)xn+m
.
92

Ejemplo 7.1.
1 (2x3
) (3x2
) = (2 ∗ 3) x2+3
= 6x5
.
93

Ejemplo 7.2.
Exprese su respuesta en la forma más simple posible:
1 (6x4
)(4 − 3x − 3x2
)
2 5w3
(−7w3
− 7w2
+ 7w + 3)
3
a3
3
(−7a5
− 2a4
+ 3a3
+ a2
− a − 3)
94

Ejemplo 7.3.
1
n2
+ 5n −n2
+ 6n + 1
2
−6a2
− 3a − 7 a3
+ a2
+ 6a − 7
3
9w4
8
+
8w3
9
−
7w2
9
−
w
3
+
5
9
−2w3
− 5w + 7
95

Ejemplo 7.4.
1 (7u4
) (6 − 4u − 7u2
)
2 (3s4
) (−7 + s − s2
− 5s3
)
3 (7x4
) (2 + 4x − 7x2
)
96

Ejemplo 7.5.
Simplifique
1 (5w4
) (−1 + 5w + 4w2
+ 6w3
)
2 (3m4
) (−1 − 6m − 3m2
− 7m3
− 4m4
)
3 5a5
(a3
− 3a2
+ 3a − 5)
97

Ejemplo 7.6.
Escriba su respuesta de la forma más simple posible
1
8n4
9
(n4
− 3n3
− 4n2
+ 3n − 1)
2
2y5
5
(−3y4
+ 5y3
− 7y2
− 2y − 5)
3
3s3
7
(−2s4
− s3
− 5s2
+ 2s + 1)
98

Ejemplo 7.7.
Exprese su respuesta en la forma más simple posible
1 (−4x − 5) (−3x3
+ 3x2
− 4x − 4)
2 (6y − 7y2
) (y + 3)
3
7w2
9
+
4w
9
+
9
2
(5w2
+ 6w − 7)
99

Ejemplo 7.8.
Simplifique
1 (3x2
+ 2x + 3) (6x2
− 4x − 3)
2 (4m2
+ 3m) (6m3
+ 6m2
− 7m + 6)
3 (−4x2
+ 5x + 5) (3 − 4x)
100

Ejemplo 7.9.
Simplifique
1 (−2s4
− 5s3
+ 3s2
+ 3s + 2) (7s3
− 3s2
− 2s − 7)
2 (5v − v2
) (2v2
+ 6v + 5)
3 (7x3
+ 2x2
+ 5x − 6) (6x3
+ 3x2
− 4x − 4)
101

Ejemplo 7.10.
Simplifique
2a3
5
−
5a2
6
−
9a
8
+
2
3
3a2
− 2a − 4
102

Ejemplo 8.1.
Divida 6x2
− 26x + 12 entre x − 4. Compruebe.
104

Solución.
6x2
− 26x + 12 = (x − 4) (6x − 2) + 4
105

Ejemplo 8.2.
Divida 8x4
+ 6x2
− 3x + 1 entre 2x2
− x + 2. Compruebe
106

Sol.
8x4
+ 6x2
− 3x + 1 = 2x2
− x + 2 4x2
+ 2x + (−7x + 1)
107

Ejemplo 8.3.
Divida 2x3
− 7x2
+ 5 entre x − 3. Repita el ejericicio usando
división sintética. Compruebe.
108

Sol.
2x3
− 7x2
+ 5 = (x − 3) 2x2
− x − 3 − 4
109

Ejemplo 8.4.
Realice las siguientes divisiones; comprebe.
1
x2
− 6x − 8
x − 4
2
4x3
+ 2x2
− 2x − 3
2x + 1
3
x3
+ 6x + 3
x2 − 2x + 2
4
6x3
+ 2x2
+ 22x
2x2 + 5
5
x6
+ x4
+ x2
+ 1
x2 + 1
110

Ejemplo 8.5.
Realice las siguientes operaciones, utilizando división sintética.
Compruebe.
1
x2
− 5x + 4
x − 3
2
3x2
+ 5x
x − 6
3
x3
+ 2x2
+ 2x + 1
x + 2
4
x3
− 8x + 2
x + 3
5
x5
+ 3x3
− 6
x − 1
111

Productos Especiales
Productos notables
113

A continuación, aparecen algunos de los productos que se
presentan con frecuencia en matemáticas.
114

Producto monomio-binomio
a(c + d) = ac + ad (9.1)
115

Ejemplo 9.1.
1 2xy (3x2
y − 4y3
)
2 3x2
y3
(2xy − x − 2y)
3 (2st3
− 4rs2
+ 3s3
t) (5rst2
)
116

Diferencia de cuadrados
(a + b) (a − b) = a2
− b2
(9.2)
117

Ejemplo 9.2.
1 (3a + 5b) (3a − 5b)
2 (5xy + 4) (5xy − 4)
3 (2 − 5y2
) (2 + 5y2
)
4 (3a + 5a2
b) (3a − 5a2
b)
118

Cuadrado de un binomio
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(9.3)
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
(9.4)
119

Ejemplo 9.3.
1 (x + 6)2
2 (y + 3x)2
3 (z − 4)2
4 (3 − 2x2
)
2
5 (x2
y − 2z)
2
120

Producto de dos binomios
(x + a) (x + b) = x2
+ (a + b) x + ab (9.5)
(ax + b) (cx + d) = acx2
+ (ad + bc) x + bd (9.6)
121

Ejemplo 9.4.
1 (x + 2) (x + 4)
2 (x − 4) (x + 7)
3 (y + 3) (y − 5)
4 (xy + 6) (xy − 4)
5 (2x − 3) (4x + 1)
6 (4 + 3r) (2 − r)
122

Cubo de un binomio
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
123

Ejemplo 9.5.
1 (2x + 1)3
2 (3x + 2y)3
3 (r − 2s)3
4 (x2
− 1)
3
5 (ab2
− 2b)
3
124

Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc. (9.7)
125

Ejemplo 9.6.
(x − 2y + z)2
.
126

Productos Especiales
Productos para an
± bn
127

Ejemplo 9.7.
(a − b) a2
+ ab + b2
(9.8)
(a − b) a3
+ a2
b + ab2
+ b3
(9.9)
(a − b) a4
+ a3
b + a2
b2
+ ab3
+ b4
(9.10)
128

Ejemplo 9.8.
(a + b) a2
+ ab + b2
(9.11)
(a + b) a3
+ a2
b + ab2
+ b3
(9.12)
(a + b) a4
+ a3
b + a2
b2
+ ab3
+ b4
(9.13)
129

Ejemplo 9.9.
1 (t − 2) (t2
+ 2t + 4)
2 (z − x) (x2
+ xz + z2
)
3 (x + 3y) (x2
− 3xy + 9y3
)
130

Ejemplo 9.10.
1 (s − 1) (s3
+ s2
+ s + 1)
2 (1 + t2
) (1 − t2
+ t4
− t6
)
3 (3x + 2y)2
(3x − 2y)2
4 (x2
+ 2x + 1)
2
(x2
− 2x + 1)
2
5 (y − 1)3
(y + 1)3
6 (u + 2)(u − 2)(u2
+ 4)(u4
+ 16)
131

Ejemplo 10.1.
Factorice cada una de las siguietes expresiones:
1 x2
− 7x + 6 = (x − 1)(x − 6)
2 x2
+ 8x = x(x + 8)
3 6x2
− 7x − 5 = (3x − 5)(2x + 1)
4 x2
+ 2xy + 8y2
= (x + 4y)(x − 2y)
133

Factorización
134

Factor monomio común
ac + ad = a(c + d)
135

Ejemplo 10.2.
1 6x2
y − 2x3
2 2x3
y − xy2
+ 3x2
y
136

a2
− b2
= (a + b)(a − b)
137

Ejemplo 10.3.
1 x2
− 25
2 4x2
− 9y2
138

Trinomio cuadrado perfecto
a2
± 2ab + b2
= (a ± b)2
139

Ejemplo 10.4.
1 x2
+ 6x + 9
2 9x2
− 12xy + 4y2
140

Trinomios en general



x2
+ (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
acx2
+ (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)
141

Ejemplo 10.5.
1 x2
− 5x + 4
2 x2
+ xy − 12y2
3 3x2
− 5x − 2
4 6x2
+ x − 12
5 8 − 14x + 5x2
142

Suma y diferencia de cubos
a3
± b3
= (a ± b) a2
ab + b2
143

Ejemplo 10.6.
1 8x3
+ 27y3
2 8x3
y3
− 1
144

8 Ecuaciones de segundo grado
Complemento de cuadrados
Intersecciones con los ejes
Ejemplos
Factorización
Aplicaciones
9 Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
Ejemplos
10 Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
Ejemplos 145

Ecuaciones de segundo grado
146

Una función cuadrática es de la forma
f(x) = ax2
+ bx + c;
su gráfica se llama parábola.
147

Figura 11.1: y = x2 − 4x + 7
148

Complemento de cuadrados
149

Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma
f(x) = a(x − h)2
+ k,
por el método de complementos de cuadrado.
150

El punto (h, k) se llama vértice, y corresponde al extremo de
la parábola
y = a(x − h)2
+ k.
151

La fórmula para encontrar el vértice de la parábola
y = f(x) = ax2
+ bx + c es



h = −
b
2a
k = f(h).
152

Para completar el cuadrado, podemos usar el método de
división sintética:
h a b c
↓ +ah . . .
a . . . k
153

Ejemplo 11.1.
Complete el cuadrado de
y = x2
− 4x + 7.
154

Ejemplo 11.2.
Complete el cuadrádo de
y = 3x2
+ 30x + 63.
155

Intersecciones con los ejes
156

Las raíces de un polinomio p(x) son aquellos números reales r
tales que p(r) = 0.
157

Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,
necesitamos resolver la ecuación de segundo grado
a(x − h)2
+ k = 0.
158

Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2
+ k, entonces la parábola
y = a(x − h)2
+ k cruza al eje x en el punto (r, 0).
159

Observación 11.1.
Si k > 0, entonces a(x − h)2
+ k > 0 y por tanto no existen
raíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2
+ k nunca
cruza el eje x.
160

Ejemplo 11.3.
Determine si existen raíces de
y = x2
− 4x + 7,
161

162

Una identidad que es muy útil al momento de resolver
ecuaciones es la diferencia de cuadrados
(a − b) (a + b) = a2
− b2
.
163

Una ecuación de la forma
z2
− c2
= 0
se puede reescribir como
(z − c) (z + c) = 0...
...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y por
tanto las soluciones son
z = ±c.
164

Ejemplo 11.4.
Encuentre las raíces de
y = 3x2
+ 30x + 63.
165

Ejemplos
167

Ejemplo 11.5.
Resuelva las siguientes ecuaciones
1 x2
− 40 = 9
2 2x2
− 400 = 0
3 x2
+ 36 = 9 − 2x2
168

Ejemplo 11.6.
Resuelva las siguientes ecuaciones
1
x
16
=
4
x
2
y2
3
=
y2
6
+ 2
169

Ejemplo 11.7.
Resuelva la siguiente ecuación
1 − 2x
3 − x
=
x − 2
3x − 1
.
170

Ejemplo 11.8.
1
2x − 1
−
1
2x + 1
=
1
4
.
171

Ejemplo 11.9.
x −
2x
x + 1
=
5
x + 1
− 1.
172

Ejemplo 11.10.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 7x2
− 5x
2 x2
− 5x + 6
3 3x2
+ 2x − 5
4 x2
− 4x + 4
173

Ejemplo 11.11.
Encuentre las raíces de los siguientes polinomios
1 x2
− 6x − 2
2 3x2
− 5x + 1
3 4x2
− 6x + 3
174

Factorización
175

Si un polinomio p(x) = ax2
+ bx + c tiene raíces r1, r2
diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a(x − r1) (x − r2) .
176

Si un polinomio p(x) = ax2
+ bx + c tiene una única raź r1,
entonces podemos factorizar de la siguiente manera
p(x) = a (x − r1)2
.
177

Ejemplo 11.12.
Factorice los siguientes polinomios
1 7x2
− 5x
2 x2
− 5x + 6
3 3x2
+ 2x − 5
4 x2
− 4x + 4
178

Ejemplo 11.13.
Factorice los siguientes polinomios
1 x2
− 6x − 2
2 3x2
− 5x + 1
3 4x2
− 6x + 3
179

Aplicaciones
180

Ejemplo 11.14.
Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos es
igual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos es
igual a 68.
181

Ejemplo 11.15.
Encuentre un número sabiendo que la suma del triple del
mismo con el doble de su recíproco es igual a 5.
182

Ejemplo 11.16.
Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro es
de 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.
183

Ejemplo 11.17.
La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.
Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno de
ellos es 14 pulgadas mayor que el otro.
184

Ejemplo 11.18.
Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12
por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,
encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía es
de 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadas
cuadradas.
185

Ejemplo 11.19.
Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que si
aumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dicha
distancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidad
promedio.
186

Ejemplo 11.20.
Un comerciante compra determinado número de camisas por
$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 en
cada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en la
venta podría haber comprado 30 camisas más que antes,
calcule el precio de cada camisa.
187

Ejemplo 11.21.
Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 días.
Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B.
Encuentre el número de días que tardarían en hacer la tarea
trabajando cada no por sí sólo.
188

Sistemas de Ecuaciones Lineales
Simultáneas
189

Simultáneas
Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales
190

Supongamos que ai, bi, ci, i = 1, 2 son número dados:



a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dos
números x, y tales que cumplan ambas ecuaciones
simultaneamente.
191

Ejemplo 12.1.
La solución del sistema



x + y = 7
x − y = 3
es x = 5, y = 2.
192

A continuación, ejemplificaremos algunos de los métodos más
comunes para resolver sistemas de ecuaciones.
193

Suma y resta
Ejemplo 12.2.
2x − y = 4 (12.1)
x + 2y = −3 (12.2)
194

Método de sustitución
Despejando de (12.1), obtenemos
y = 2x − 4.
Sutituyendo en (12.2), obtenemos
x + 2(2x − 4) = −3.
195

Método de igualación
y = 2x − 4.
y = −
3 + x
2
.
Igualando ambos lados derechos, obtenemos
2x − 4 = −
3 + x
2
.
196

Método gráfico
Figura 12.1: 2x-y=4 , x+2y=-3
197

Simultáneas
Ejemplos
199

Ejemplo 12.3.
2x − y = 4
x + y = 5
200

Ejemplo 12.4.
5x + 2y = 3
2x + 3y = −1
201

Ejemplo 12.5.
2x + 3y = 3
6y − 6x = 1
202

Ejemplo 12.6.
5y = 3 − 2x
3x = 2y + 1
203

Ejemplo 12.7.
x − 2
3
+
y + 1
6
= 2
x + 3
4
−
2y − 1
2
= 1
204

Determinantes
Determinantes de Segundo Orden
206

Definición
Definición 13.1.
a b
c d
= ad − bc.
207

Ejemplo 13.1.
2 3
−1 −2
=
208

Si consideremos el siguiente sistema de ecuaciones



a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
... (13.1)
209

...y definimos
∆ =
a1 b1
a2 b2
∆x =
c1 b1
c2 b2
∆y =
a1 c1
a2 c2
...
210

...entonces
x =
∆x
∆
y =
∆y
∆
(13.2)
211

Ejemplo 13.2.
Resuelva el sistema



2x + 3y = 8
x − 2y = −3
212

El método de solución de sistemas de ecuaciones linales, por
medio de determinantes, se conoce como Regla de Cramer.
214

Ejemplo 13.3.
Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer



4x + 2y = 5
3x − 4y = 1
215

Ejemplo 13.4.
Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer



3u + 2v = 18
−5u − v = 12
216

Determinantes
Sistemas Indeterminados
217

Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una única
solución si y solo si su determinante principal ∆ = 0.
En este caso, decimos que el sistema es consistente.
218

Si ∆ = 0, entonces o bien existen multiples soluciones, o bien
no existe alguna en absoluto.
En cualquier caso, decimos que el sistema es inconsistente.
219

Determine si 


5x − 2y = 10
10x − 4y = 20
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con las
soluciones.
220

Determine si 


5x + 3y = 15
10x + 6y = 60
es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con las
soluciones.
221

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