1) Existen diferentes formas de representar números de forma binaria para su procesamiento por computadoras, incluyendo números enteros, coma fija y coma flotante. 2) El código de Hamming permite detectar y corregir errores al añadir bits de paridad a las palabras codificadas. 3) La distancia de Hamming mide las diferencias entre palabras codificadas y una mayor distancia permite una mayor capacidad de detección y corrección de errores.

1. REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN Aritmética de los números binarios

2. ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS BINARIOS Supongamos que queremos representar el 45 en ASCII. Representamos el 4: 00110100 Representamos el 5: 00110101 45 = 4 5)ASCII = 00110100 - 00110101

3. Esta forma no es adecuada para introducir datos en el ordenador por dos razones: 1.- Dificulta la realización de operaciones. 2.- Utiliza muchos bits.

4. Por tanto, hay que buscar una representación que facilite las operaciones aritméticas y conserve el valor: BINARIO NATURAL 45) 10 =101101) 2

5. FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN NUMÉRICA

6. ¿Qué problema tiene el binario natural? NO PERMITE REPRESENTAR DECIMALES ¿SOLUCIÓN? REPRESENTACIÓN EN COMA FIJA (n.m)

7. COMA FIJA Formato: n.m - n bits para la parte entera - m bits para la parte fraccionaria

8. EJEMPLOS 245.57) 10 = 000011110101.1001 10101.110 = 1x2 4 + 1x2 3 +1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2 -1 + 1x2 -2 + 0x2 -3 = 21,7510

9. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTERO CON SIGNO

10. MAGNITUD Y SIGNO El bit más significativo (el del extremo izquierdo) se reserva para el signo (0 positivo, 1 negativo), y el resto indican la magnitud o valor del número representado. EJEMPLO 1101) MyS = -5) 10

11. COMPLEMENTO A 1 Los números positivos se representan igual que en magnitud y signo, los negativos mediante el complemento a 1 de sus correspondientes positivos (cambiando ceros por unos y viceversa). EJEMPLO 7) 10 =0111) C-1 -5) 10 =1010) C-1

12. COMPLEMENTO A 2 Los números positivos se representan igual que en magnitud y signo, los negativos mediante el complemento a 2 de sus correspondientes positivos (cambiando ceros por unos y viceversa y sumándole 1). EJEMPLO 7) 10 =0111) C-2 -5) 10 =1011) C-1

13. EJERCICIO DECIMAL MyS C a 1 C a 2 0 0000 0000 0000 1 0001 0001 0001 -7 1111 1000 1001 -5 1101 1010 1011 3 0011 0011 0011

14. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (ambos sumandos positivos)

15. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (ambos sumandos negativos en MyS)

16. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (ambos sumandos negativos en Ca1) Se añade un bit más para el signo y se suma el acarreo final.

17. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (ambos sumandos negativos en Ca2) Se añade un bit más para el signo y se desprecia el acarreo final.

18. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (distintos signos en MyS) Se restan las magnitudes (la menor de la mayor) y se pone el signo del número más grande.

19. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (distintos signos en Ca1) Se suman los números, incluyendo el signo en dicha operación, el valor resultante en la posición del signo es el signo del resultado. Si hay acarreo final debe sumarse al valor resultante y despreciarse posteriormente.

20. SUMA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (distintos signos en Ca2) Se suman los números, incluyendo el signo en dicha operación, el valor resultante en la posición del signo es el signo del resultado. Si hay acarreo final se desprecia.

21. RESTA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (MyS)

22. RESTA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (Ca1) El sustraendo debe ser negado realizando el complemento a 1 del mismo; posteriormente los números deben ser sumados. Si se produce acarreo final se suma al resultado.

23. RESTA DE NÚMEROS EN COMA FIJA (Ca2) En complemento a 2 el acarreo se desprecia siempre.

24. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Tanto la multiplicación como la división binaria se realizan de la misma forma que la decimal, teniendo en cuenta que la base utilizada es 2. Los signos se tratan por separado.

25. REPRESENTACIÓN EN COMA FLOTANTE

26. 1.- Método de representación de números reales adaptable al orden de la magnitud del valor a representar . 2.- Se obtiene mayor precisión que con la coma fija. 3.- Permite representar un rango mucho mayor de números (determinado por los valores límite que puede tomar el exponente).

27. Una representación en coma flotante se compone de tres campos: r = m . b e r: valor real del número a representar m: mantisa o significando, dígitos significativos del número. b: base del sistema de representación e: exponente, orden de magnitud del significando. El mínimo y máximo valor posible del exponente determinan el rango de valores representables.

28. RANGO DE REPRESENTACIÓN

29. Ejemplo de Operación en Coma Flotante

30. Formatos de representación en coma flotante IBM 360/370 (simple precisión) DEC PDP 11/Vax IEEE 754

31. DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES

32. Imaginemos necesitamos transmitir 8 símbolos (A,B,C,D,E,F,G,H) y se codifican sin redundancias, se necesitan n=3 bits. Ahora añadimos un bit de redundancia al inicio. De ésta forma si recibimos un código que empiece por 1 podremos afirmar que se ha producido error.

33. TIPOS DE CÓDIGOS DETECTORES 1.- Códigos de control de paridad 1.1.- Paridad par: número par de unos. 1.2.- Paridad impar: número impar de unos. 2.- Códigos de relación constante (cuenta fija de unos). 3.- Otros códigos especiales.

34. DISTANCIA HAMMING La distancia Hamming d H se define entre dos palabras de un código como el número de bits en que difieren dichas palabras. Palabra 1 : 110111 Palabra 2 : 001101 d H (palabra1,palabra2)=4 bits

35. DISTANCIA MÍNIMA HAMMING Se denomina distancia mínima de Hamming D m a la menor distancia Hamming encontrada, entre todas las palabras que forman un código. Si a un código de distancia mínima 1 se le añade un bit de control de paridad, (por ejemplo se añade un bit para que el número de unos de la palabra siempre sea par) se obtiene un código de distancia mínima 2, con el que puede detectarse error en un bit, aunque no corregirlo.

36. Código Hamming para la detección y corrección de errores El código Hamming se realiza sobre un código ya construido, el cual representa los símbolos del alfabeto fuente utilizando el número de bits ( k ) estrictamente necesarios para la información, y añadiendo a cada palabra-código los ( r ) bits de control de paridad. Cada bit control se genera con el valor adecuado (0 o 1) para que exista paridad par en un subconjunto determinado de bits de la palabra Hamming en el que dicho bit de control está incluido.

37. Lo primero que se calcula es el número de bits de control, que se establece a partir de la siguiente relación: 2 r ≥ k + r + 1 Una vez determinado el número de bits de control, hay que establecer la posición que ocuparán en la palabra Hamming y calcular el valor que toman para cada palabra código. VEAMOS UN EJEMPLO

38. Bibliografía - Introducción a los computadores ( Pedro Luis Aguilar Mateos e Isabel García Muñoz ) - Código de Hamming - Representación en Coma Fija - Representación en coma flotante VIDEOS - Código de Hamming en clase - Ejercicio de detección y corrección de errores (Hamming) - Odisea: Ordenadores cuánticos - Explicación de la Computación Cuántica - Redes: Ordenadores Cuánticos