la normal Teoria de probabilidades

Business Statistics, A First Course (4e) © 2006 Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1
Capítulo 6
La Distribución Normal
Estadística para Administración
4a
Edición

Business Statistics, A First
Course (4e) © 2006 Prentice-
Hall, Inc. Chap 6-2
Objetivos de Aprendizaje
En este capítulo, usted aprenderá:
 A calcular probabilidades de la distribución
normal
 A interpretar los gráficos de probabilidad normal
para determinar si un grupo de datos se
distribuye aproximadamente normal

Hall, Inc. Chap 6-3
Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones de
Probabilidad
continua
Binomial
Poisson
Distribuciones
de Probablidad
Distribuciones de
probabilidad
discreta
Normal
C. 5 C. 6
Exponencial

Hall, Inc. Chap 6-4
Distribuciones de Probabilidad Continua
 Una variable aleatoria continua es una variable
que puede tomar cualquier valor en un intervalo
continuo (puede tomar un número incontable de
valores), por ejemplo:
 Espesor de un elemento
 Tiempo requerido para completar una tarea
 Temperatura de una solución
 Altura, medida en centímetros
 Estas variables pueden tomar cualquier valor,
dependiendo solo de la habilidad de medir
exactamente.

Hall, Inc. Chap 6-5
Distribuciones de
Probabilidad
Normal
Distribuciones de
probabilidad
continuas

Hall, Inc. Chap 6-6
 ‘Forma Acampanada’
 Simétrica
 Media, Mediana y Moda
son Iguales
La ubicación se determina por
la media, μ
El ancho se determina por la
desviación estándar, σ
La variable aleatoria tiene un
rango teórico infinito:
- ∞ a + ∞
Media
= Mediana
= Moda
X
f(X)
μ
σ

Hall, Inc. Chap 6-7
Variando los parámetros μ y σ, podemos obtener
diferentes distribuciones de probabilidad Normal
Familias de Distribución Normal

Hall, Inc. Chap 6-8
Forma de la Distribución
Normal
X
f(X)
μ
σ
Variando μ cambia la
distribución a la izquierda o a
la derecha.
Variando σ se amplía o
se angosta el ancho.

Hall, Inc. Chap 6-9
Función de Densidad de
Probabilidad de la Normal
 La fórmula de la función de densidad para la
distribución Normal es:
Donde e = la constante matemática 2.71828
π = la constante matemática 3.14159
μ = la media poblacional
σ = la desviación estándar poblacional
X = cualquier valor de la variable aleatoria continua
2
μ)/σ](1/2)[(X
e
2π
1
f(X) −−
=
σ

Hall, Inc. Chap 6-10
La Normal Estándar
 Cualquier distribución normal (con cualquier
combinación de media y desviación estándar)
puede ser transformada en una distribución
normal estándar (Z)
 Para ello se necesita transformar las unidades
de X en unidades de Z

Transformación a la
Distribución Normal Estándar
 Para Transformar X a la normal estándar (la
distribución “Z”) se resta la media de X y se
divide por su desviación estándar:
σ
μX
Z
−
=
La distribución Z siempre tendrá media = 0 y
desviación estándar = 1

La función de densidad de
probabilidad de la Normal estándar
 La fórmula para la función de densidad de
probabilidad de la normal estándar es:
Donde e = la constante matemática aproximada por 2.71828
π = la constante matemática aproximada por 3.14159
Z = cualquier valor de la distribución normal estándar
2
(1/2)Z
e
2π
1
f(Z) −
=

La Distribución Normal Estándar
 También conocida como distribución “Z”
 Su media es 0
 Su desviación estándar es 1
Z
f(Z)
0
1
Por encima de la media los valores de Z son positivos.
Por debajo de la media los valores de Z son negativos.

Ejemplo
 Si X está distribuida normalmente con media
100 y desviación estándar 50, el valor de Z
para X = 200 es
 Esto significa que X = 200 está a 2
desviaciones estándar por encima de la
media 100 (2 incrementos de 50 unidades).
2.0
50
100200
σ
μX
Z =
−
=
−
=

Comparación de las unidades de
X y Z
Z
100
2.00
200 X
Note que la distribución es la misma, solo la escala
ha cambiado. Se puede expresar el problema en
las unidades originales (X) o en unidades
estandarizadas de (Z)
(μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)

Probabilidades de la Normal
Probability is the
area under the
curve!
a b X
f(X)
P a X b( )≤
La Probabilidad es medida por el área
bajo la curva
≤
P a X b( )<<=
(Note que la
probabilidad de
cualquier valor
individual es cero

f(X)
Xμ
Probabilidades como áreas bajo
la curva
0.50.5
El area total bajo la curva es 1.0, y por ser simétrica,
la mitad está por encima de la media y la otra mitad
por debajo.
1.0)XP( =∞<<−∞
0.5)XP(μ =∞<<0.5μ)XP( =<<−∞

Regla empírica
μ ± 1σ contiene alrededor
del 68% de los datos
f(X)
X
μ μ+1σμ-1σ
¿Qué se puede decir acerca de la distribución de
los valores alrededor de la media? Hay algunas
reglas generales:
σσ
68.26%

La regla empírica
 μ ± 2σ contiene el 95% de las X’s
 μ ± 3σ contiene el 99.7% de las X’s
xμ
2σ 2σ
xμ
3σ 3σ
95.44% 99.73%

La tabla de la Normal Estándar
 La tabla de la Normal estándar acumulada
en el texto guía (Tabla apéndice E.2) da la
probabilidad de los menores que para un
valor deseado de Z (es decir, desde menos
infinito hasta Z)
Z0 2.00
0.9772
Ejemplo:
P(Z < 2.00) = 0.9772

La tabla Normal Estándar
El valor dentro de la
tabla da la probabilidad
de Z = − ∞ hasta el
valor deseado de Z
.9772
2.0P(Z < 2.00) = 0.9772
La fila da el
valor de Z con
su primer
punto decimal
La columna da el valor del
segundo punto decimal para Z
2.0
.
.
.
Z 0.00 0.01 0.02 …
0.0
0.1

Procedimiento general para
encontrar probabilidades
Dibuje la curva normal para el problema en
términos de X
Transforme los valores de X a valores de Z
Use la tabla de la Normal Estándar
Para encontrar P(a < X < b) donde X está
distribuida normalmente:

Ejemplo
 Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0
 Encuentre P(X < 8.6)
X
8.6
8.0

 Entonces:
Z0.120X8.68
μ = 8
σ = 10
μ = 0
σ = 1
Ejemplo
0.12
5.0
8.08.6
σ
μX
Z =
−
=
−
=
P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

Z
0.12
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
Ejemplo
.5478.02
0.1 .5478
Una porción de la tabla Normal
Estándar
0.00
= P(Z < 0.12)
P(X < 8.6)

Cálculo de probabilidades
de cola superior
 Suponga que X es normal con media 8.0
y desviación estándar 5.0.
 Encuentre P(X > 8.6)
X
8.6
8.0

 P(X > 8.6)…
Z
0.12
0
Z
0.12
0.5478
0
1.000 1.0 - 0.5478
= 0.4522
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Probabilidades cola superior

Probabilidades entre dos
valores
 Si X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0. Encuentre P(8 < X < 8.6)
P(8 < X < 8.6)
= P(0 < Z < 0.12)
Z0.120
X8.68
0
5
88
σ
μX
Z =
−
=
−
=
0.12
5
88.6
σ
μX
Z =
−
=
−
=
Calcule los valores Z:

Z
0.12
Probabilidades entre 2 valores
0.0478
0.00
= P(0 < Z < 0.12)
P(8 < X < 8.6)
= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)
= 0.5478 - .5000 = 0.0478
0.5000
Z .00 .01
0.0 .5000 .5040 .5080
.5398 .5438
0.2 .5793 .5832 .5871
0.3 .6179 .6217 .6255
.02
0.1 .5478
Porción de la Tabla Normal
Estándar

 Si X es normal con media 8.0 y
desviación estándar 5.0.
 Encuentre P(7.4 < X < 8)
X
7.4
8.0
Probabilidades de cola inferior

Probabilidades de cola inferior
P(7.4 < X < 8)…
X7.4 8.0
P(7.4 < X < 8)
= P(-0.12 < Z < 0)
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)
= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478
0.0478
0.4522
Z-0.12 0
La Normal es simétrica, luego
la probabilidad es la misma
que para P(0 < Z < 0.12)

 Pasos para encontrar el valor de X para
una probabilidad conocida:
1. Encuentre el valor de Z para la probabilidad
conocida
2. Convierta a unidades de X usando la
fórmula:
Cálculo del valor de X para una
probabilidad conocida
ZσμX +=

Ejemplo
 Si X es normal con media 8.0 y desviación
estándar 5.0.
 Encuentre el valor de X tal que solo el 20% de
todos los valores estan por debajo de él
X? 8.0
0.2000
Z? 0

Ejemplo - continuación
 El 20% es el área en la
cola inferior que le
corresponde un valor de Z
de -0.84Z .03
-0.9 .1762 .1736
.2033
-0.7 .2327 .2296
.04
-0.8 .2005
Porción de la tabla Normal
Estándar
.05
.1711
.1977
.2266
…
…
…
…
X? 8.0
0.2000
Z-0.84 0
1. Encuentre el valor Z para la probabilidad conocida

2. Convierta a unidades de X usando la fórmula:
Ejemplo - continuación
80.3
0.5)84.0(0.8
ZσμX
=
−+=
+=
Luego el 20% de los valores de la
distribución con media 8.0 y desviación
estándar 5.0 son menores que 3.80
X3.80 8.0
0.2000
Z-0.84 0

Evaluación de Normalidad
 No todas las variables aleatorias continuas se
distribuyen normal
 Por lo cual es importante evaluar para un grupo
de datos que tanto se aproximan a una
distribución normal

Evaluación de Normalidad
 Construya gráficas o diagramas
 Para tamaños pequeños o moderados de grupos de
datos, haga diagramas de tallos y hojas o construya
gráficas de caja y bigotes y mire si muestran simetría
 Para tamaños grandes de grupos de datos, haga
histogramas de frecuencias y observe si lucen con
forma acampanada
 Calcule medidas descriptivas resumidas
 La media, mediana y moda tienen valores similares?
 El rango intercuartil es aproximadamente 1.33 σ?
 El rango de los datos es aproximadamente 6 σ?

Evaluando Normalidad en datos
 Observe la distribución de los datos
 Aproximadamente 2/3 de los datos “caen” dentro
del intervalo de?
 Aproximadamente el 80% de los datos “caen”
dentro del intervalo de?
 Aproximadamente el 95% de los datos “caen”
dentro del intervalo de?
 Evalúe un gráfico de probabilidad normal
 Luce el gráfico aproximadamente como una línea
recta con pendiente positiva?
σµ 1±
σµ 28.1±
σµ 2±

Gráfico de Probabilidad Normal
 Gráfico de probabilidad normal
 Organice los datos en un arreglo ordenado
 Encuentre sus valores correspondientes a los
cuantiles de la normal estándar
 Grafique los pares de puntos en el eje de
coordenadas así: el valor observado en el eje vertical
y el cuantil de la normal estándar correspondiente en
el eje horizontal
 Evalúe si el gráfico presenta evidencia de linealidad

Un gráfico de probabilidad normal
para unos datos que provienen de
una distribución normal debería ser
approximadamente una línea recta:
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Gráfico de probabilidad normal

Gráficos de probabilidad normal
Sesgada a la izq. Sesgada a la der.
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Gráficos que no sean
aproximadamente una línea
recta, indican desviaciones de
la distribución normal

Resumen del capítulo
 Se presentó la distribución normal como una distribución
importante dentro de las distribuciones de variables
aleatorias continuas
 Se mostró como encontrar probabilidades para
distribuciones normales usando fórmulas y tablas
 Se examinó como reconocer cuando una distribución es
aproximadamente normal

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