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Distribución de probabilidad
          binomial
COMBINACIONES

En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de
maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n
objetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos
tomados de entre n objetos.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados
de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:



                 n           n!
                Cr   =
                       r !( n − r )!
El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir que se
    multiplican los valores del 1 hasta n:

ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados
de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:



Ejemplo.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
¿Cuántas maneras de escoger tiene?
¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?
a) Las 8 preguntas pueden tener


              10!
   10
  C8    =             = 45
          8!(10 − 8)!
 45 combinaciones posibles


 b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras
    5 de las 7 últimas preguntas, por lo que


              7!
   7
  C5    =            = 21
          5!(7 − 5)!

 tiene 21 maneras posibles todavía
Distribución Binomial

En los temas anteriores, hemos considerado que la variable puede tomar
   una infinidad de valores. Por ejemplo la talla de una población de
   estudiantes puede tomar casi cualquier valor entre 1.5 y 2 metros.
   Estos casos se tratan entonces de distribuciones de variables
   continuas y un caso general es la distribución normal.

Sin embargo, en ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar
   un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar
   ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable
   discreta.

Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que
   cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la
   probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma
   siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso tiene igual
   probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre
   igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún
   lado es 0.5.
Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de
   total posibilidades (2) y considerando cada uno de los casos (1).

Entonces
                   F 1
              P=    =
                   N 2

donde
P es la probabilidad de que algo suceda
F es el número de casos favorables (o éxitos)
N es el número total de posibilidades.


La manera más común en que se presentan las probabilidades de una
   variable discreta es la distribución conocida como binomial.
                                                      binomial
Para construir un proceso binomial se necesita lo siguiente:

1) En el experimento sólo hay dos posibles resultados
                                     EXITO
                                  FRACASO
Esto puede tomar la forma que queramos, por ejemplo que salga bien un
    producto de una máquina (éxito) o que salga defectuoso (fracaso).
2) A la probabilidad de éxito le llamamos “p ”
3) A la de fracaso le llamamos “q ”
4) Se cumple que p + q = 1 (por lo tanto q = 1 – p )
5) La probabilidad de éxito permanece constante
6) Los eventos son independientes.
Por ejemplo: Al tirar una moneda 15 veces, cada vez que tire la moneda
    no se va a ver afectada por lo que pasó en el evento anterior; cada vez
    que tire un dado y espero que salga un número en particular la
    probabilidad no va a depender del número que haya salido antes, etc.
7) El experimento se realiza “n ” veces
8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de “éxito” P(x), en los “n ”
    intentos (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo significa que
    ocurra el evento).
Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las posibles
 combinaciones de la variable, y multiplicarlas por las probabilidades de
 cada suceso:

                                                n− x
                       P( x) = C p q   n
                                       x
                                            x




 Donde

 P(x) = Probabilidad de éxito

 n          n!
Cx =                   es el total de posibles combinaciones
       x! ( n − x )!
 x        número de éxitos que se busca
 n        número de total de eventos
 p        probabilidad de éxito
 q        probabilidad de fracaso
Ejemplos:

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados?
Para este problema n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que:

               6!                        720
     P ( 4) =       ( 0 .5 ) ( 0 .5 ) =
                            4        2
                                               0.015625 = 0.2343
              4!⋅2!                     24 ⋅ 2

Respuesta: 23.43%

2. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente
potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor
visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:

a) Ninguno de los clientes haga una compra, o sea de que P(x=0)

  P ( 0 ) = C 0 ( 0 .2 ) 0 ( 0 .8 ) 6
               6

              6!
  P(0 ) =            ( 0 .8 ) 6
            0 !⋅ 6 !
                                                     Respuesta: 26.21%
  P ( 0 ) = ( 0 . 8 ) 6 = 0 . 262144
b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x=4)

            P ( 4 ) = C 4 ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2
                        6

                     6!
            P ( 4) =      ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2
                    4!⋅2!
            P (4) = 0.0154                             Respuesta: 1.54%

  c) A lo más, tres prospectos realicen una compra, esto es P(x≤3), o sea
      que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas.
  Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido:

P( x ) = P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 )
P ( x ) = C 0 ( 0.2 )0 ( 0.8 )6 + C1 ( 0.2 )1 ( 0.8 )5 + C 2 ( 0.2 )2 ( 0.8 )4 + C 3 ( 0.2 )3 ( 0.8 )3
            6                      6                       6                       6

P ( x ) = 0.983


                                                         Respuesta: 98.3%
El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de
    computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el
    período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es
    la probabilidad de que?

a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba
en este caso P(x=1)



    P (1) = C1 (0.02)1 (0.98)9
             10

    P (1) = 0.167                                Respuesta: 16.7%

b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba.            P( x≥2)
   P( x ) = 1 − P( 0 ) − P( 1 )
   P ( x ) = 1 − C 0 ( 0.02 )0 ( 0.98 )10 − C1 ( 0.02 )1 ( 0.98 )9
                   10                        10

   P ( x ) = 0.016
                                                    Respuesta: 1.6%
Actividad 1.
Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de
   estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3
   estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso?
en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2)
x ≠ 0 ,1 y 2 n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90
      P( x) = 1 − P(0) − P(1) − P(2)
      P( x) = 1 − C0 (0.1)0 (0.9)15 − C1 (0.1)1 (0.9)14 − C2 (0.1) 2 (0.9)13
                   15                  15                  15


      P( x) =
Media y Varianza de una distribución discreta de probabilidades.

Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la
siguiente manera:
              μ = E ( x ) = ∑ xi P( xi )
Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman

Por otro lado la varianza se calcula:
            σ = E [( x − μ ) ] = ∑ ( x i − μ )2 P ( x i )
                2                2



Siendo la desviación estándar como anteriormente:

                        σ = σ2
Ejemplo:
El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de
la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las
posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos
salgan águilas:

    P( 0 ) = C0 (.5 )0 (.5 )2 = 0.25
              2

    P( 1 ) = C1 (.5 )1(.5 )1 = 0.5
              2

    P( 2 ) = C2 (.5 )2(.5 )0 = 0.25
              2


sustituimos en las fórmulas:

     μ = E ( x ) = ∑ xi P ( xi )
    μ = 0( 0.25 ) + 1( 0.5 ) + 2( 0.25 ) = 1
    σ 2 = ∑ ( x i − μ )P ( x i )
    σ 2 = ( 0 − 1 )2 ( 0.25 ) + ( 1 − 1 )2 ( 0.5 ) + ( 2 − 1 )2 (.25 ) = 0.5

   σ = σ 2 = 0.707

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Distribucion de probabilidad binomal

  • 2. COMBINACIONES En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos. Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula: n n! Cr = r !( n − r )! El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir que se multiplican los valores del 1 hasta n: ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
  • 3. . Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula: Ejemplo. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene? ¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?
  • 4. a) Las 8 preguntas pueden tener 10! 10 C8 = = 45 8!(10 − 8)! 45 combinaciones posibles b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras 5 de las 7 últimas preguntas, por lo que 7! 7 C5 = = 21 5!(7 − 5)! tiene 21 maneras posibles todavía
  • 5. Distribución Binomial En los temas anteriores, hemos considerado que la variable puede tomar una infinidad de valores. Por ejemplo la talla de una población de estudiantes puede tomar casi cualquier valor entre 1.5 y 2 metros. Estos casos se tratan entonces de distribuciones de variables continuas y un caso general es la distribución normal. Sin embargo, en ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable discreta. Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5.
  • 6. Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de total posibilidades (2) y considerando cada uno de los casos (1). Entonces F 1 P= = N 2 donde P es la probabilidad de que algo suceda F es el número de casos favorables (o éxitos) N es el número total de posibilidades. La manera más común en que se presentan las probabilidades de una variable discreta es la distribución conocida como binomial. binomial
  • 7. Para construir un proceso binomial se necesita lo siguiente: 1) En el experimento sólo hay dos posibles resultados EXITO FRACASO Esto puede tomar la forma que queramos, por ejemplo que salga bien un producto de una máquina (éxito) o que salga defectuoso (fracaso). 2) A la probabilidad de éxito le llamamos “p ” 3) A la de fracaso le llamamos “q ” 4) Se cumple que p + q = 1 (por lo tanto q = 1 – p ) 5) La probabilidad de éxito permanece constante 6) Los eventos son independientes. Por ejemplo: Al tirar una moneda 15 veces, cada vez que tire la moneda no se va a ver afectada por lo que pasó en el evento anterior; cada vez que tire un dado y espero que salga un número en particular la probabilidad no va a depender del número que haya salido antes, etc. 7) El experimento se realiza “n ” veces 8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de “éxito” P(x), en los “n ” intentos (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo significa que ocurra el evento).
  • 8. Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las posibles combinaciones de la variable, y multiplicarlas por las probabilidades de cada suceso: n− x P( x) = C p q n x x Donde P(x) = Probabilidad de éxito n n! Cx = es el total de posibles combinaciones x! ( n − x )! x número de éxitos que se busca n número de total de eventos p probabilidad de éxito q probabilidad de fracaso
  • 9. Ejemplos: 1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados? Para este problema n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que: 6! 720 P ( 4) = ( 0 .5 ) ( 0 .5 ) = 4 2 0.015625 = 0.2343 4!⋅2! 24 ⋅ 2 Respuesta: 23.43% 2. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que: a) Ninguno de los clientes haga una compra, o sea de que P(x=0) P ( 0 ) = C 0 ( 0 .2 ) 0 ( 0 .8 ) 6 6 6! P(0 ) = ( 0 .8 ) 6 0 !⋅ 6 ! Respuesta: 26.21% P ( 0 ) = ( 0 . 8 ) 6 = 0 . 262144
  • 10. b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x=4) P ( 4 ) = C 4 ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2 6 6! P ( 4) = ( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2 4!⋅2! P (4) = 0.0154 Respuesta: 1.54% c) A lo más, tres prospectos realicen una compra, esto es P(x≤3), o sea que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas. Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido: P( x ) = P( 0 ) + P( 1 ) + P( 2 ) + P( 3 ) P ( x ) = C 0 ( 0.2 )0 ( 0.8 )6 + C1 ( 0.2 )1 ( 0.8 )5 + C 2 ( 0.2 )2 ( 0.8 )4 + C 3 ( 0.2 )3 ( 0.8 )3 6 6 6 6 P ( x ) = 0.983 Respuesta: 98.3%
  • 11. El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es la probabilidad de que? a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba en este caso P(x=1) P (1) = C1 (0.02)1 (0.98)9 10 P (1) = 0.167 Respuesta: 16.7% b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba. P( x≥2) P( x ) = 1 − P( 0 ) − P( 1 ) P ( x ) = 1 − C 0 ( 0.02 )0 ( 0.98 )10 − C1 ( 0.02 )1 ( 0.98 )9 10 10 P ( x ) = 0.016 Respuesta: 1.6%
  • 12. Actividad 1. Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso? en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2) x ≠ 0 ,1 y 2 n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90 P( x) = 1 − P(0) − P(1) − P(2) P( x) = 1 − C0 (0.1)0 (0.9)15 − C1 (0.1)1 (0.9)14 − C2 (0.1) 2 (0.9)13 15 15 15 P( x) =
  • 13. Media y Varianza de una distribución discreta de probabilidades. Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la siguiente manera: μ = E ( x ) = ∑ xi P( xi ) Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman Por otro lado la varianza se calcula: σ = E [( x − μ ) ] = ∑ ( x i − μ )2 P ( x i ) 2 2 Siendo la desviación estándar como anteriormente: σ = σ2
  • 14. Ejemplo: El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos salgan águilas: P( 0 ) = C0 (.5 )0 (.5 )2 = 0.25 2 P( 1 ) = C1 (.5 )1(.5 )1 = 0.5 2 P( 2 ) = C2 (.5 )2(.5 )0 = 0.25 2 sustituimos en las fórmulas: μ = E ( x ) = ∑ xi P ( xi ) μ = 0( 0.25 ) + 1( 0.5 ) + 2( 0.25 ) = 1 σ 2 = ∑ ( x i − μ )P ( x i ) σ 2 = ( 0 − 1 )2 ( 0.25 ) + ( 1 − 1 )2 ( 0.5 ) + ( 2 − 1 )2 (.25 ) = 0.5 σ = σ 2 = 0.707