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Este documento describe las relaciones entre las curvas de energía específica, pendiente de fricción y las zonas de flujo libre en canales. Explica la curva de profundidad contra energía específica (y-E) y la curva de profundidad contra pendiente de fricción (y-sf). Relaciona estas curvas para ilustrar los conceptos de flujo subcrítico, crítico y supercrítico, así como flujo subnormal, normal y supernormal. Propone usar estas comparaciones gráficas para explicar el comportamiento de los doce posibles per

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RELACIÓN DE LAS CURVAS DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y PENDIENTE DE FRICCIÓN CON LAS ZONAS DE FLUJO LIBRE EN CANALES Francisco Jaime Mejía* RESUMEN Uno de los objetivos de un curso básico de hidráulica del flujo libre en canales es el análisis de perfiles del flujo gradualmente variado. Este trabajo proporciona una estrategia de enseñanza-aprendizaje que puede mejorar la práctica universitaria docente de la hidráulica. Es bien conocida la gráfica profundidad contra energía específica (y-E) para describir e interpretar la hidráulica del flujo libre. Se propone complementarla con la gráfica profundidad contra pendiente de energía (y-sf ). A partir de las comparaciones gráficas se ilustran los conceptos de flujo subcrítico (y>ycrítica , v<vcrítica ), crítico y supercrítico de un lado, y de otro, los conceptos de flujo subnormal (y>ynormal , v<vnormal ), normal y supernormal, y se explica por este camino el comportamiento de los doce posibles perfiles de flujo gradualmente variado. PALABRAS CLAVE: Flujo normal; flujo crítico; perfiles de flujo; energía específica; pendiente de fricción. ABSTRACT One objective of an introductory course of open-channel flow is the analysis of gradually varied flow profiles. This paper shows a teaching-learning strategy that might improve the university practices for teaching hydraulics. It is well known the depth-specific energy curve (y-E) for describing and interpreting open-channel flow hydraulics. It is proposed to complement that curve with the depth-energy slope curve (y-sf ). By using a graphic comparison, it aims to illustrate the concepts of the subcritical (y>ycritical , v<vcritical ), critical and supercritical flow concepts and, on the other hand, the subnormal (y>ynormal , v<vnormal ), normal y supernormal flow concepts. This way, it is proposed to explain the behavior of the twelve possible gradually varied flow profiles. KEY WORDS: Normal flow; critical flow; flow profiles; specific energy; friction slope. Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 9, p. 69-75. Julio 2008 Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia) * Ingeniero Civil, Univeridad Nacional de Colombia. Profesor de Hidráulica, Escuela de Ingeniería de Antioquia, Colombia. Grupo de Investigación Espiral.pffmejia@eia.edu.co Artículo recibido 19-V-2008. Aprobado 21-VII-2008 Discusión abierta hasta diciembre de 2008
70 Revista EIA Relación de las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales INTRODUCCIÓN Se presentan las relaciones analíticas y, espe- cialmente, la gráfica de la profundidad y la energía específica por una parte y, por otra, la gráfica de profundidad contra pendiente de fricción. En cada caso se muestran las ramas de flujo subcrítico y supercrítico en la primera y, en la segunda, de flujo subnormal y supernormal, después se relacionan entre sí y se pasa a mostrar la ubicación de los di- ferentes perfiles de flujo gradualmente variado en cada gráfica. El propósito que se busca es facilitar la comprensión de estas relaciones entre quienes se inician en el estudio de la hidráulica. ENERGÍA ESPECÍFICA EN CANALES La expresión para la energía en una sección respecto a un nivel de referencia que pasa por el fondo del canal se conoce como energía específica (Bakhmeteff, 1912, citado por Chow, 1959) y se escribe así: [1] La curva y-E se muestra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad críti- ca asociada con la energía mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (Sb C) y supercrítico (Sp C) a partir del punto C sobre la curva. En esta grá- fica no interviene la pendiente del fondo del canal. PENDIENTE DE FRICCIÓN EN CANALES La expresión para la pendiente de fricción en canales se obtiene con la ecuación de Manning (ec. 2a) (Chow, 1959) o con la ecuación de Darcy-Weis- bach (ec. 2b) (French, 1985). El factor de fricción de Darcy se calcula con la ecuación de Colebrook-White (ec. 3), cuando el flujo es turbulento (Dyhouse et al., 2003), o con la ecuación de Poiseuille (ec. 4) cuando es laminar. El número de Reynolds se calcula con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ones analíticas y, especialmente, la gráfica de la profundidad y la energía e y, por otra, la gráfica de profundidad contra pendiente de fricción. En cada mas de flujo subcrítico y supercrítico en la primera y, en la segunda, de flujo mal, después se relacionan entre sí y se pasa a mostrar la ubicación de los ujo gradualmente variado en cada gráfica. El propósito que se busca es facilitar relaciones entre quienes se inician en el estudio de la hidráulica. CA EN CANALES ergía en una sección respecto a un nivel de referencia que pasa por el fondo del nergía específica (Bakhmeteff, 1912, citado por Chow, 1959) y se escribe así: ‫ܧ‬ ൌ ‫ݕ‬ ൅ ߙ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [1] ra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad crítica mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (SbC) y supercrítico C sobre la curva. En esta gráfica no interviene la pendiente del fondo del canal. SP C SbC y yc C Figura 1. Energía específica en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que representan flujo subcrítico y flujo supercrítico a partir del punto C sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad crítica 2 ‫ܧ‬ ൌ ‫ݕ‬ ൅ ߙ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [1] La curva y-E se muestra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad crít asociada con la energía mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (SbC) y supercrít (Sp C) a partir del punto C sobre la curva. En esta gráfica no interviene la pendiente del fondo del can Figura 1.- Energía específica en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que represen flujo subcrítico y flujo supercrítico a partir del punto C sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir muy diversas profundidades, distintas de la profundidad crítica. PENDIENTE DE FRICCIÓN EN CANALES La expresión para la pendiente de fricción en canales se obtiene con la ecuación de Manning (ec. 2 (Chow, 1959) o con la ecuación de Darcy-Weisbach (ec. 2b) (French, 1985). El factor de fricción Darcy se calcula con la ecuación de Colebrook-White (ec. 3), cuando el flujo es turbulento (Dyhouse al., 2003), o con la ecuación de Poiseuille (ec. 4) cuando es laminar. El número de Reynolds se calc SP C SbC E y yc Ec C con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular l partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. A profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que rep subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empie con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcula partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que r subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde em con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular l partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. A profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que rep subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empie con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcula partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde em
71 Escuela de Ingeniería de Antioquia La figura 2 muestra la variación de la pen- diente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (Sb N) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. Figura 2. Pendiente de la línea de energía en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que representan flujo subnormal y flujo supernormal a partir del punto N sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad normal 3 Ͷܴ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] igura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la undidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo ormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. ura 2.- Pendiente de la línea de energía en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que presentan flujo subnormal y flujo supernormal a partir del punto N sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad normal. SbN Sp N N So y Sf yn RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Cuando la profundidad crítica se usa para calcular la pendiente de fricción (ec. 2), se obtiene la pendiente crítica del canal, que siempre es positiva (Sc>0). Gráficamente esta relación se ilustra en la figura 3, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Con la ecuación 6 se puede obtener la profun- didad normal a partir de la pendiente del fondo del canal en aquellos canales con pendiente de fondo positiva (So>0). Esta profundidad puede resultar mayor o menor que la profundidad crítica. En el pri- mer caso se obtiene un flujo normal subcrítico, y en el segundo se está ante un flujo normal supercrítico. Gráficamente esta relación se ilustra con la figura 4, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. Figura 3. Relación entre la curva de energía específica y la curva de pendiente de fricción. El punto C puede resultar por encima o por debajo del punto N. En este caso se ilustra un flujo crítico subnormal RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Cuando la profundidad crítica se usa para calcular la pendiente de fricción (ec. 2), se obtiene la pendiente crítica del canal, que siempre es positiva (Sc>0). Gráficamente esta relación se ilustra en la figura 3, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. Figura 3.- Relación entre la curva de energía específica y la curva de pendiente de fricción. El punto C puede resultar por encima o por debajo del punto N. En este caso se ilustra un flujo crítico subnormal. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Con la ecuación 6 se puede obtener la profundidad normal a partir de la pendiente del fondo del canal en aquellos canales con pendiente de fondo positiva (So>0). Esta profundidad puede resultar mayor o y yc Sc Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N
72 Revista EIA Relación de las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales Figura 4. Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N puede resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico 5 Figura 4.- Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N puede resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico. LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmentos. La curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades. En cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores que las dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento que representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde a la zona 2 de flujo. Por último, el segmento que representa las profundidades de flujo inferiores a las dos profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente estas zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la curva de energía específica. Figura 5.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico. SbN-SbC Profundidad mayor de referencia y Sf Zona 1 Profundidad menor de referencia Zona 2 Zona 3 y yn So Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N N Sp N-Sp C LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmentos. La curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades. En cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores que las dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento que representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde a la zona 2 de flujo. Por último, el segmento que repre- senta las profundidades de flujo inferiores a las dos profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente estas zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la curva de energía específica. Figura 5. Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico 5 Figura 4.- Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N p resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico. LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmento curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores qu dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde zona 2 de flujo. Por último, el segmento que representa las profundidades de flujo inferiores a la profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la c de energía específica. Figura 5.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto d referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zo el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercríti SbN-SbC Profundidad mayor de referencia y Sf Zona 1 Profundidad menor de referencia Zona 2 Zona 3 y yn So Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N N Sp N-Sp C
73 Escuela de Ingeniería de Antioquia Figura 6. Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de energía específica. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica (izquierda) o la profundidad normal (derecha). Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico 6 Figura 6.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de energía específica. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica (izquierda) o la profundidad normal (derecha). Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico. LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CLASIFICACIÓN DE LOS CANALES SEGÚN LA PENDIENTE Desde el punto de vista de la pendiente, los canales se clasifican como canales de pendiente adversa (A, So<0), de pendiente horizontal (H, So=0) o de pendiente sostenida (So>0). En los canales tipo A y H se considera que la profundidad normal, que se calcula con la ecuación 6, es o tiende a un valor infinito. Así que en estos canales no existe la zona 1 de flujo. Los canales de pendiente sostenida, a su vez, se clasifican como canales de pendiente moderada (M, 0<So<Sc, figura 7), canales de pendiente crítica (C, 0<So=Sc, figura 8) y canales de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So, figura 9). y E E y SbC-SbN Sp C-Sp N C N N SbC-SbN Sp C-Sp N C Zona 1 Zona 1 Zona 2 Zona 2 Zona 3 Zona 3 LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CLASIFICACIÓN DE LOS CANALES SEGÚN LA PENDIENTE Desde el punto de vista de la pendiente, los ca- nales se clasifican como canales de pendiente adversa (A, So<0), de pendiente horizontal (H, So=0) o de pendiente sostenida (So>0). En los canales tipo A y H seconsidera quela profundidad normal, quesecalcula con la ecuación 6, es un valor infinito o tiende a él. Así que en estos canales no existe la zona 1 de flujo. Los canales de pendiente sostenida, a su vez, se clasifican como canales de pendiente moderada (M, 0<So<Sc, figura 7), canales de pendiente crí- tica (C, 0<So=Sc, figura 8) y canales de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So, figura 9). Figura 7. Canal de pendiente moderada (M, 0<So <Sc ). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico Figura 7.- Canal de pendiente moderada (M, 0<So<Sc). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico. Figura 8.- Canal de pendiente crítica (C, 0<So=Sc). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn=yc, So=Sc) y no corresponde a un SbN-SbC y Sf PFGV C1 C Flujo uniforme crítico N-C PFGV C3 So=Sc N=C SbN-SbC N y Sf So PFGV M1 C PFGV M2 Sp N-SbC PFGV M3 Sc C Sp N-Sp C Sp N-Sp C
74 Revista EIA Relación de las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales Figura 8. Canal de pendiente crítica (C, 0<So =Sc ). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn =yc , So =Sc ) y no corresponde a un flujo gradualmente variado Figura 9. Canal de pendiente escarpada (S, 0<Sc <So ). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad crítica. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina S2, subnormal y supercrítico 7 Figura 7.- Canal de pendiente moderada (M, 0<So<Sc). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico. Figura 8.- Canal de pendiente crítica (C, 0<So=Sc). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn=yc, So=Sc) y no corresponde a un flujo gradualmente variado. SbN-SbC y Sf PFGV C1 C Flujo uniforme crítico N-C PFGV C3 So=Sc N=C Sf So Sc C Sp N-Sp C Sp N-Sp C 8 Figura 9.- Canal de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad crítica. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina S subnormal y supercrítico. CONCLUSIONES La representación de los valores relativos de las profundidades normal y crítica sobre la curv pendiente de fricción es un elemento de análisis e interpretación del flujo variado que permite a qu se inician en el estudio de la hidráulica la comprensión de las características del flujo que puede o a diversas profundidades de flujo en diferentes tipos de canal. Las profundidades normal y críti pueden llevar a la curva de energía específica. Las dos curvas quedan divididas en tres segmento segmento superior de ambas curvas representa flujo subnormal y subcrítico, el segmento in representa flujo supernormal y supercrítico, el segmento intermedio representa flujo superno subcrítico (canal M) o subnormal-supercrítico (canal S). Tanto en la curva de energía como en pendiente de fricción se pueden representar las tres zonas de flujo en canales de pendiente soste Estas zonas se corresponden mutuamente en las dos gráficas. En cualquier tipo de canal aparecerá representados los tres perfiles de flujo que aparecen en los canales de pendiente positiva. Tam aparecen representadas las dos zonas de flujo en los canales de pendientes adversa y horizontal. medida que se comprende mejor este comportamiento, el análisis de otras situaciones relacion puede ser más inmediato, más profundo y más útil. NOMENCLATURA La nomenclatura usada en este documento es la siguiente: A área de la sección. c subíndice que denota una variable en estado crítico. D profundidad hidráulica E energía específica. f factor de fricción de la ecuación de Darcy-Weisbach. g aceleración gravitacional. SbN-SbC C y Sf Sc PFGV S1 PFGV S2 SbN-Sp C PFGV S3 So N Sp N-Sp C CONCLUSIONES La representación de los valores relativos de las profundidades normal y crítica sobre la curva de pendiente de fricción es un elemento de aná- lisis e interpretación del flujo variado que permite a quienes se inician en el estudio de la hidráulica la comprensión de las características del flujo que puede ocurrir a diversas profundidades de flujo en diferentes tipos de canal. Las profundidades nor- mal y crítica se pueden llevar a la curva de energía específica. Las dos curvas quedan divididas en tres segmentos. El segmento superior de ambas curvas representa flujo subnormal y subcrítico, el segmento inferior representa flujo supernormal y supercrítico, el segmento intermedio representa flujo supernor- mal-subcrítico (canal M) o subnormal-supercrítico (canal S). Tanto en la curva de energía como en la de pendiente de fricción se pueden representar las tres zonas de flujo en canales de pendiente sostenida. Estas zonas se corresponden mutuamente en las dos gráficas. En cualquier tipo de canal aparecerán allí re- presentados los tres perfiles de flujo que aparecen en los canales de pendiente positiva. También aparecen representadas las dos zonas de flujo en los canales de pendientes adversa y horizontal. En la medida que se comprende mejor este comportamiento, el análisis de otras situaciones relacionadas puede ser más inmediato, más profundo y más útil. NOMENCLATURA La nomenclatura usada en este documento es la siguiente: A área de la sección c subíndice que denota una variable en estado crítico D profundidad hidráulica E energía específica f factor de fricción de la ecuación de Darcy- Weisbach g aceleración gravitacional ks rugosidad equivalente de arena
75 Escuela de Ingeniería de Antioquia n coeficiente de rugosidad de Manning n subíndice que denota una variable en flujo normal R radio hidráulico Re número de Reynolds Sb C flujo subcrítico Sb N flujo subnormal Sc pendiente crítica Sf pendiente de la línea de energía So pendiente del fondo del canal Sp C flujo supercrítico Sp N flujo supernormal y profundidad de flujo α coeficiente de corrección de Coriolis µ viscosidad absoluta ρ densidad BIBLIOGRAFÍA Chow, Ven Te (1959). Open Channel Hydraulics. McGraw- Hill. New York, New York. Dyhouse, Gary R.; Hatchett, Jennifer; and Benn, Jeremy (2003). Floodplain modeling using HEC-RAS. 1st ed. Haested Press, Waterbury, CT. http://www.haestad. com/library/books/FMRAS/floodplainonlinebook/javas- cript/wwhelp/wwhimpl/java/html/wwhelp.htm French, Richard, H. (1985). Open-channel hydraulics. McGraw-Hill. New York, New York. Mejía Garcés, Francisco Jaime (2008). Mecánica de flui- dos y recursos hidráulicos. Escuela de Ingeniería de Antioquia, http://fluidos.eia.edu.co, consultado el 31 de marzo de 2008, 325 Mb.

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  • 1.
    RELACIÓN DE LASCURVAS DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y PENDIENTE DE FRICCIÓN CON LAS ZONAS DE FLUJO LIBRE EN CANALES Francisco Jaime Mejía* RESUMEN Uno de los objetivos de un curso básico de hidráulica del flujo libre en canales es el análisis de perfiles del flujo gradualmente variado. Este trabajo proporciona una estrategia de enseñanza-aprendizaje que puede mejorar la práctica universitaria docente de la hidráulica. Es bien conocida la gráfica profundidad contra energía específica (y-E) para describir e interpretar la hidráulica del flujo libre. Se propone complementarla con la gráfica profundidad contra pendiente de energía (y-sf ). A partir de las comparaciones gráficas se ilustran los conceptos de flujo subcrítico (y>ycrítica , v<vcrítica ), crítico y supercrítico de un lado, y de otro, los conceptos de flujo subnormal (y>ynormal , v<vnormal ), normal y supernormal, y se explica por este camino el comportamiento de los doce posibles perfiles de flujo gradualmente variado. PALABRAS CLAVE: Flujo normal; flujo crítico; perfiles de flujo; energía específica; pendiente de fricción. ABSTRACT One objective of an introductory course of open-channel flow is the analysis of gradually varied flow profiles. This paper shows a teaching-learning strategy that might improve the university practices for teaching hydraulics. It is well known the depth-specific energy curve (y-E) for describing and interpreting open-channel flow hydraulics. It is proposed to complement that curve with the depth-energy slope curve (y-sf ). By using a graphic comparison, it aims to illustrate the concepts of the subcritical (y>ycritical , v<vcritical ), critical and supercritical flow concepts and, on the other hand, the subnormal (y>ynormal , v<vnormal ), normal y supernormal flow concepts. This way, it is proposed to explain the behavior of the twelve possible gradually varied flow profiles. KEY WORDS: Normal flow; critical flow; flow profiles; specific energy; friction slope. Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 9, p. 69-75. Julio 2008 Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia) * Ingeniero Civil, Univeridad Nacional de Colombia. Profesor de Hidráulica, Escuela de Ingeniería de Antioquia, Colombia. Grupo de Investigación Espiral.pffmejia@eia.edu.co Artículo recibido 19-V-2008. Aprobado 21-VII-2008 Discusión abierta hasta diciembre de 2008
  • 2.
    70 Revista EIA Relaciónde las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales INTRODUCCIÓN Se presentan las relaciones analíticas y, espe- cialmente, la gráfica de la profundidad y la energía específica por una parte y, por otra, la gráfica de profundidad contra pendiente de fricción. En cada caso se muestran las ramas de flujo subcrítico y supercrítico en la primera y, en la segunda, de flujo subnormal y supernormal, después se relacionan entre sí y se pasa a mostrar la ubicación de los di- ferentes perfiles de flujo gradualmente variado en cada gráfica. El propósito que se busca es facilitar la comprensión de estas relaciones entre quienes se inician en el estudio de la hidráulica. ENERGÍA ESPECÍFICA EN CANALES La expresión para la energía en una sección respecto a un nivel de referencia que pasa por el fondo del canal se conoce como energía específica (Bakhmeteff, 1912, citado por Chow, 1959) y se escribe así: [1] La curva y-E se muestra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad críti- ca asociada con la energía mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (Sb C) y supercrítico (Sp C) a partir del punto C sobre la curva. En esta grá- fica no interviene la pendiente del fondo del canal. PENDIENTE DE FRICCIÓN EN CANALES La expresión para la pendiente de fricción en canales se obtiene con la ecuación de Manning (ec. 2a) (Chow, 1959) o con la ecuación de Darcy-Weis- bach (ec. 2b) (French, 1985). El factor de fricción de Darcy se calcula con la ecuación de Colebrook-White (ec. 3), cuando el flujo es turbulento (Dyhouse et al., 2003), o con la ecuación de Poiseuille (ec. 4) cuando es laminar. El número de Reynolds se calcula con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ones analíticas y, especialmente, la gráfica de la profundidad y la energía e y, por otra, la gráfica de profundidad contra pendiente de fricción. En cada mas de flujo subcrítico y supercrítico en la primera y, en la segunda, de flujo mal, después se relacionan entre sí y se pasa a mostrar la ubicación de los ujo gradualmente variado en cada gráfica. El propósito que se busca es facilitar relaciones entre quienes se inician en el estudio de la hidráulica. CA EN CANALES ergía en una sección respecto a un nivel de referencia que pasa por el fondo del nergía específica (Bakhmeteff, 1912, citado por Chow, 1959) y se escribe así: ‫ܧ‬ ൌ ‫ݕ‬ ൅ ߙ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [1] ra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad crítica mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (SbC) y supercrítico C sobre la curva. En esta gráfica no interviene la pendiente del fondo del canal. SP C SbC y yc C Figura 1. Energía específica en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que representan flujo subcrítico y flujo supercrítico a partir del punto C sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad crítica 2 ‫ܧ‬ ൌ ‫ݕ‬ ൅ ߙ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [1] La curva y-E se muestra en la figura 1, donde también aparecen destacadas la profundidad crít asociada con la energía mínima y las ramas que representan los flujos subcrítico (SbC) y supercrít (Sp C) a partir del punto C sobre la curva. En esta gráfica no interviene la pendiente del fondo del can Figura 1.- Energía específica en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que represen flujo subcrítico y flujo supercrítico a partir del punto C sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir muy diversas profundidades, distintas de la profundidad crítica. PENDIENTE DE FRICCIÓN EN CANALES La expresión para la pendiente de fricción en canales se obtiene con la ecuación de Manning (ec. 2 (Chow, 1959) o con la ecuación de Darcy-Weisbach (ec. 2b) (French, 1985). El factor de fricción Darcy se calcula con la ecuación de Colebrook-White (ec. 3), cuando el flujo es turbulento (Dyhouse al., 2003), o con la ecuación de Poiseuille (ec. 4) cuando es laminar. El número de Reynolds se calc SP C SbC E y yc Ec C con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular l partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. A profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que rep subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empie con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcula partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que r subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde em con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular la profundidad a partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ [2a] ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ [2b] ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcular l partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. A profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que rep subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empie con la ecuación 5. La ecuación 2 se puede transformar (Mejía, 2008) para calcula partir de la pendiente del fondo del canal (ec. 6) y obtener la profundidad normal. ܵ௙ ൌ ቆ ݊ܳ ‫ܴܣ‬ ଶ ଷ ൗ ቇ ଶ ܵ௙ ൌ ݂ ͳ Ͷܴ ܳଶ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ La figura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que subnormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde em
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    71 Escuela de Ingenieríade Antioquia La figura 2 muestra la variación de la pen- diente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la profundidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo subnormal (Sb N) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. Figura 2. Pendiente de la línea de energía en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que representan flujo subnormal y flujo supernormal a partir del punto N sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad normal 3 Ͷܴ ʹ݃‫ܣ‬ଶ ͳ ඥ݂ ൌ െʹ݈‫݃݋‬ ቆ ݇௦ ͵ǡ͹ͳሺͶܴሻ ൅ ʹǡͷͳ ܴ௘ඥ݂ ቇ [3] ݂ ൌ ͸Ͷ ܴ௘ [4] ܴ௘ ൌ ܳሺͶܴሻ ሺߤ ߩ Τ ሻ‫ܣ‬ [5] ‫ܣ‬௡ܴ௡ ଶ ଷ Τ ൌ ݊ܳ ඥܵ௢ [6a] ‫ܣ‬௡ ଶ ܴ௡ ݂௡ ൌ ͳ Ͷܵ௢ ܳଶ ʹ݃ [6b] igura 2 muestra la variación de la pendiente de fricción con la profundidad. Allí se destaca la undidad normal asociada con la pendiente del fondo del canal y las ramas que representan el flujo ormal (SbN) y el supernormal (Sp N). El punto N sobre la curva indica dónde empiezan las ramas. ura 2.- Pendiente de la línea de energía en un canal para diferentes profundidades. Se indican las ramas que presentan flujo subnormal y flujo supernormal a partir del punto N sobre la curva. Obsérvese que el flujo puede ocurrir a muy diversas profundidades, distintas de la profundidad normal. SbN Sp N N So y Sf yn RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Cuando la profundidad crítica se usa para calcular la pendiente de fricción (ec. 2), se obtiene la pendiente crítica del canal, que siempre es positiva (Sc>0). Gráficamente esta relación se ilustra en la figura 3, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Con la ecuación 6 se puede obtener la profun- didad normal a partir de la pendiente del fondo del canal en aquellos canales con pendiente de fondo positiva (So>0). Esta profundidad puede resultar mayor o menor que la profundidad crítica. En el pri- mer caso se obtiene un flujo normal subcrítico, y en el segundo se está ante un flujo normal supercrítico. Gráficamente esta relación se ilustra con la figura 4, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. Figura 3. Relación entre la curva de energía específica y la curva de pendiente de fricción. El punto C puede resultar por encima o por debajo del punto N. En este caso se ilustra un flujo crítico subnormal RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Y LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Cuando la profundidad crítica se usa para calcular la pendiente de fricción (ec. 2), se obtiene la pendiente crítica del canal, que siempre es positiva (Sc>0). Gráficamente esta relación se ilustra en la figura 3, donde se han acoplado las dos gráficas de interés para poner de manifiesto tal relación. Figura 3.- Relación entre la curva de energía específica y la curva de pendiente de fricción. El punto C puede resultar por encima o por debajo del punto N. En este caso se ilustra un flujo crítico subnormal. RELACIÓN ENTRE LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CURVA DE ENERGÍA ESPECÍFICA Con la ecuación 6 se puede obtener la profundidad normal a partir de la pendiente del fondo del canal en aquellos canales con pendiente de fondo positiva (So>0). Esta profundidad puede resultar mayor o y yc Sc Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N
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    72 Revista EIA Relaciónde las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales Figura 4. Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N puede resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico 5 Figura 4.- Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N puede resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico. LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmentos. La curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades. En cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores que las dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento que representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde a la zona 2 de flujo. Por último, el segmento que representa las profundidades de flujo inferiores a las dos profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente estas zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la curva de energía específica. Figura 5.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico. SbN-SbC Profundidad mayor de referencia y Sf Zona 1 Profundidad menor de referencia Zona 2 Zona 3 y yn So Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N N Sp N-Sp C LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmentos. La curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades. En cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores que las dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento que representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde a la zona 2 de flujo. Por último, el segmento que repre- senta las profundidades de flujo inferiores a las dos profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente estas zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la curva de energía específica. Figura 5. Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico 5 Figura 4.- Relación entre la curva de pendiente de fricción y la curva de energía específica. El punto N p resultar por encima o por debajo del punto C. En este caso se ilustra un flujo normal supercrítico. LAS ZONAS DE FLUJO EN LA SECCIÓN DE UN CANAL Las profundidades normal y crítica dividen la curva de pendiente de fricción en tres segmento curva de energía específica se divide también en tres segmentos con esas dos profundidades cualquiera de las dos curvas, el segmento que representa las profundidades de flujo mayores qu dos profundidades de referencia corresponde a la zona 1 de flujo en la sección. El segmento representa las profundidades comprendidas entre las dos profundidades de interés corresponde zona 2 de flujo. Por último, el segmento que representa las profundidades de flujo inferiores a la profundidades tratadas corresponde a la zona 3 de flujo. La figura 5 representa gráficamente zonas de flujo en la curva de pendiente de fricción y la figura 6 representa las zonas de flujo en la c de energía específica. Figura 5.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de pendiente de fricción. El punto d referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica o la profundidad normal. Obsérvese que en la zo el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercríti SbN-SbC Profundidad mayor de referencia y Sf Zona 1 Profundidad menor de referencia Zona 2 Zona 3 y yn So Sf E y SbN SbC Sp C Sp N C N N Sp N-Sp C
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    73 Escuela de Ingenieríade Antioquia Figura 6. Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de energía específica. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica (izquierda) o la profundidad normal (derecha). Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico 6 Figura 6.- Las zonas de flujo en la sección del canal en la curva de energía específica. El punto de referencia de mayor valor puede ser la profundidad crítica (izquierda) o la profundidad normal (derecha). Obsérvese que en la zona 1 el flujo siempre es subnormal y subcrítico y que en la zona 3 el flujo siempre es supernormal y supercrítico. LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CLASIFICACIÓN DE LOS CANALES SEGÚN LA PENDIENTE Desde el punto de vista de la pendiente, los canales se clasifican como canales de pendiente adversa (A, So<0), de pendiente horizontal (H, So=0) o de pendiente sostenida (So>0). En los canales tipo A y H se considera que la profundidad normal, que se calcula con la ecuación 6, es o tiende a un valor infinito. Así que en estos canales no existe la zona 1 de flujo. Los canales de pendiente sostenida, a su vez, se clasifican como canales de pendiente moderada (M, 0<So<Sc, figura 7), canales de pendiente crítica (C, 0<So=Sc, figura 8) y canales de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So, figura 9). y E E y SbC-SbN Sp C-Sp N C N N SbC-SbN Sp C-Sp N C Zona 1 Zona 1 Zona 2 Zona 2 Zona 3 Zona 3 LA CURVA DE PENDIENTE DE FRICCIÓN Y LA CLASIFICACIÓN DE LOS CANALES SEGÚN LA PENDIENTE Desde el punto de vista de la pendiente, los ca- nales se clasifican como canales de pendiente adversa (A, So<0), de pendiente horizontal (H, So=0) o de pendiente sostenida (So>0). En los canales tipo A y H seconsidera quela profundidad normal, quesecalcula con la ecuación 6, es un valor infinito o tiende a él. Así que en estos canales no existe la zona 1 de flujo. Los canales de pendiente sostenida, a su vez, se clasifican como canales de pendiente moderada (M, 0<So<Sc, figura 7), canales de pendiente crí- tica (C, 0<So=Sc, figura 8) y canales de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So, figura 9). Figura 7. Canal de pendiente moderada (M, 0<So <Sc ). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico Figura 7.- Canal de pendiente moderada (M, 0<So<Sc). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico. Figura 8.- Canal de pendiente crítica (C, 0<So=Sc). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn=yc, So=Sc) y no corresponde a un SbN-SbC y Sf PFGV C1 C Flujo uniforme crítico N-C PFGV C3 So=Sc N=C SbN-SbC N y Sf So PFGV M1 C PFGV M2 Sp N-SbC PFGV M3 Sc C Sp N-Sp C Sp N-Sp C
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    74 Revista EIA Relaciónde las curvas de energía específica y pendiente de fricción con las zonas de flujo libre en canales Figura 8. Canal de pendiente crítica (C, 0<So =Sc ). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn =yc , So =Sc ) y no corresponde a un flujo gradualmente variado Figura 9. Canal de pendiente escarpada (S, 0<Sc <So ). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad crítica. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina S2, subnormal y supercrítico 7 Figura 7.- Canal de pendiente moderada (M, 0<So<Sc). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad normal. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina M2, supernormal y subcrítico. Figura 8.- Canal de pendiente crítica (C, 0<So=Sc). Los puntos de referencia normal y crítico coinciden. La zona de flujo 2 es un valor constante, por tanto, es un flujo uniforme crítico (yn=yc, So=Sc) y no corresponde a un flujo gradualmente variado. SbN-SbC y Sf PFGV C1 C Flujo uniforme crítico N-C PFGV C3 So=Sc N=C Sf So Sc C Sp N-Sp C Sp N-Sp C 8 Figura 9.- Canal de pendiente escarpada (S, 0<Sc<So). El punto de referencia de mayor valor es la profundidad crítica. En la zona 2 se desarrolla un perfil de flujo gradualmente variado que se denomina S subnormal y supercrítico. CONCLUSIONES La representación de los valores relativos de las profundidades normal y crítica sobre la curv pendiente de fricción es un elemento de análisis e interpretación del flujo variado que permite a qu se inician en el estudio de la hidráulica la comprensión de las características del flujo que puede o a diversas profundidades de flujo en diferentes tipos de canal. Las profundidades normal y críti pueden llevar a la curva de energía específica. Las dos curvas quedan divididas en tres segmento segmento superior de ambas curvas representa flujo subnormal y subcrítico, el segmento in representa flujo supernormal y supercrítico, el segmento intermedio representa flujo superno subcrítico (canal M) o subnormal-supercrítico (canal S). Tanto en la curva de energía como en pendiente de fricción se pueden representar las tres zonas de flujo en canales de pendiente soste Estas zonas se corresponden mutuamente en las dos gráficas. En cualquier tipo de canal aparecerá representados los tres perfiles de flujo que aparecen en los canales de pendiente positiva. Tam aparecen representadas las dos zonas de flujo en los canales de pendientes adversa y horizontal. medida que se comprende mejor este comportamiento, el análisis de otras situaciones relacion puede ser más inmediato, más profundo y más útil. NOMENCLATURA La nomenclatura usada en este documento es la siguiente: A área de la sección. c subíndice que denota una variable en estado crítico. D profundidad hidráulica E energía específica. f factor de fricción de la ecuación de Darcy-Weisbach. g aceleración gravitacional. SbN-SbC C y Sf Sc PFGV S1 PFGV S2 SbN-Sp C PFGV S3 So N Sp N-Sp C CONCLUSIONES La representación de los valores relativos de las profundidades normal y crítica sobre la curva de pendiente de fricción es un elemento de aná- lisis e interpretación del flujo variado que permite a quienes se inician en el estudio de la hidráulica la comprensión de las características del flujo que puede ocurrir a diversas profundidades de flujo en diferentes tipos de canal. Las profundidades nor- mal y crítica se pueden llevar a la curva de energía específica. Las dos curvas quedan divididas en tres segmentos. El segmento superior de ambas curvas representa flujo subnormal y subcrítico, el segmento inferior representa flujo supernormal y supercrítico, el segmento intermedio representa flujo supernor- mal-subcrítico (canal M) o subnormal-supercrítico (canal S). Tanto en la curva de energía como en la de pendiente de fricción se pueden representar las tres zonas de flujo en canales de pendiente sostenida. Estas zonas se corresponden mutuamente en las dos gráficas. En cualquier tipo de canal aparecerán allí re- presentados los tres perfiles de flujo que aparecen en los canales de pendiente positiva. También aparecen representadas las dos zonas de flujo en los canales de pendientes adversa y horizontal. En la medida que se comprende mejor este comportamiento, el análisis de otras situaciones relacionadas puede ser más inmediato, más profundo y más útil. NOMENCLATURA La nomenclatura usada en este documento es la siguiente: A área de la sección c subíndice que denota una variable en estado crítico D profundidad hidráulica E energía específica f factor de fricción de la ecuación de Darcy- Weisbach g aceleración gravitacional ks rugosidad equivalente de arena
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    75 Escuela de Ingenieríade Antioquia n coeficiente de rugosidad de Manning n subíndice que denota una variable en flujo normal R radio hidráulico Re número de Reynolds Sb C flujo subcrítico Sb N flujo subnormal Sc pendiente crítica Sf pendiente de la línea de energía So pendiente del fondo del canal Sp C flujo supercrítico Sp N flujo supernormal y profundidad de flujo α coeficiente de corrección de Coriolis µ viscosidad absoluta ρ densidad BIBLIOGRAFÍA Chow, Ven Te (1959). Open Channel Hydraulics. McGraw- Hill. New York, New York. Dyhouse, Gary R.; Hatchett, Jennifer; and Benn, Jeremy (2003). Floodplain modeling using HEC-RAS. 1st ed. Haested Press, Waterbury, CT. http://www.haestad. com/library/books/FMRAS/floodplainonlinebook/javas- cript/wwhelp/wwhimpl/java/html/wwhelp.htm French, Richard, H. (1985). Open-channel hydraulics. McGraw-Hill. New York, New York. Mejía Garcés, Francisco Jaime (2008). Mecánica de flui- dos y recursos hidráulicos. Escuela de Ingeniería de Antioquia, http://fluidos.eia.edu.co, consultado el 31 de marzo de 2008, 325 Mb.