1) El documento presenta los conceptos básicos de vectores en física, incluyendo su representación gráfica, formas de representarlos (coordenadas rectangulares, polares, geográficas), y transformación entre sistemas de coordenadas. 2) Explica operaciones con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares. 3) Introduce los vectores posición y desplazamiento, y cómo calcular la velocidad media a partir del desplazamiento y el tiempo.

1. FÍSICA
Bienvenidos

2. VECTORES
FÍSICA
2

3. Vector
𝑂: origen
Ԧ𝐴: vector
𝐴: módulo del vector
𝜃: dirección
↗: sentido
Es la representación gráfica de una magnitud vectorial
Ejemplo:
Posición, desplazamiento, velocidad, fuerza, aceleración, etc.
A
O
θ
3

4. Ejemplos
FUERZA VELOCIDAD
Vector
F
θ
vo
O
y
x
θ
4

5. FORMAS DE
REPRESENTAR
FÍSICA
5

6. Formas de representar
1. Coordenadas Rectangulares
Ԧ𝐴 = 𝐴 𝑥, 𝐴 𝑦
Donde:
𝐴 𝑥 y 𝐴 𝑦 son las componentes
rectangulares del vector Ԧ𝐴
A
O
Ay
Ax
y
x
6

7. 2. Vectores Base
Ԧ𝐴 = 𝐴 𝑥Ԧ𝑖 + 𝐴 𝑦 Ԧ𝑗
Donde:
Ԧ𝑖: vector unitario en la dirección
del eje 𝑥.
Ԧ𝑗: vector unitario en la dirección
del eje 𝑦.
Formas de representar
A
O
y
x
ȷ
ı
7

8. 3. Coordenadas polares
Ԧ𝐴 = 𝐴, 𝜃
Donde:
𝐴: módulo del vector.
𝜃: ángulo del vector medido
desde el eje horizontal.
Formas de representar
A
O
y
x
θ
8

9. Ejemplo:
• Coordenadas Rectangulares:
Ԧ𝐴 = 3,4
• Vectores Base:
Ԧ𝐴 = 3Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗
• Coordenadas Polares:
Ԧ𝐴 = 5 , 53.13°
Formas de representar
A
O
y
x
3
4
53.13°
5
9

10. 4. Coordenadas Geográficas
Ԧ𝐴 = 𝐴, 𝑁𝜃𝐸
Donde:
𝐴: módulo del vector
𝑁: norte
𝑆: sur
𝐸: este
𝑂: oeste
𝜃: ángulo del vector medido
desde el norte o sur, hasta el
vector
Formas de representar
A
N
E
S
O
θ
10

11. Ejemplo:
Ԧ𝐴 = 15 , 𝑁30°𝑂 𝐵 = 20 , 𝑆60°𝐸
Formas de representar
A
N
E
S
O
30°
15
N
E
S
O
60°
20
B
11

12. TRANSFORMACIÓN
DE COORDENADAS
FÍSICA
12

13. Transformación de coordenadas
1. De polares a rectangulares
Ԧ𝐴 = 𝐴, 𝜃 Ԧ𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 𝑥 = 𝐴 ∙ cos 𝜃
𝐴 𝑦 = 𝐴 ∙ sin 𝜃
A
O
y
x
Ax
Ay
θ
A
13

14. Transformación de coordenadas
2. De rectangulares a polares
Ԧ𝐴 = 𝐴, 𝜃Ԧ𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
𝐴 = 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
tan 𝜃 =
𝐴 𝑦
𝐴 𝑥
A
O
y
x
Ax
Ay
θ
A
14

15. Transformación de coordenadas
Ángulos Notables
La utilización de triángulos rectángulos en los que intervienen ángulos
notables (30°, 45°, 60°)permiten resolver ejercicios en menor tiempo.
Para el ángulo notable de 45°
sin 45° =
2
2
cos 45° =
2
2
tan 45° = 1
45°
45°
a
a
a 2
15

16. Transformación de coordenadas
Ángulos Notables
sin 30° =
1
2
cos 30° =
3
2
tan 30° =
3
3
sin 60° =
3
2
cos 60° =
1
2
tan 60° = 3
Para los ángulos notables de 30° y 60°, se tiene:
60°
30°
2a
a
a 3
16

17. Transformación de coordenadas
Ejemplo 1: Representar el vector A en coordenadas rectangulares.
Para lo cual, se usa las funciones trigonométricas.
𝐴 𝑥 = 𝐴 ∙ cos 𝜃
𝐴 𝑥 = 10 2 cos 45°
𝐴 𝑥 = 10 2 ∙
2
2
𝐴 𝑥 = 10
𝐴 𝑦 = 𝐴 ∙ sin 𝜃
𝐴 𝑦 = 10 2 cos 45°
𝐴 𝑦 = 10 2 ∙
2
2
𝐴 𝑦 = 10
Ԧ𝐴 = 10 , 10
A
O
y
x
Ax
Ay
45°
10 2
17

18. Transformación de coordenadas
Se puede resolver en menor tiempo identificando el triangulo
notable de 45°
Ԧ𝐴 = 10 , 10
45°
45°
a
a
a 2
A
O
y
x
Ax
Ay
45°
10 2
18

19. Transformación de coordenadas
Ejemplo 2: Representar el vector B en coordenadas polares.
Ԧ𝐴 = 20, 330°
B
y
xθ
10 3
-10
60°
30°
2a
a
a 3
19

20. OPERACIONES
CON VECTORES
FÍSICA
20

21. Suma y Resta de Vectores
Ԧ𝐴 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗
𝐵 = 𝑐Ԧ𝑖 + 𝑑Ԧ𝑗
Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑐 Ԧ𝑖 + 𝑏 + 𝑑 Ԧ𝑗
Se debe sumar o restar las respectivas componentes de los
vectores.
Ԧ𝐴 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗
−𝐵 = − 𝑐Ԧ𝑖 + 𝑑Ԧ𝑗
Ԧ𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑐 Ԧ𝑖 + 𝑏 − 𝑑 Ԧ𝑗
SUMA RESTA
21

22. Suma y Resta de Vectores
Ԧ𝐴 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗
𝐵 = 5Ԧ𝑖 + 7Ԧ𝑗
Ԧ𝐴 + 𝐵 = 7Ԧ𝑖 + 10Ԧ𝑗
Ejemplo:
Ԧ𝐴 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗
−𝐵 = − 5Ԧ𝑖 + 7Ԧ𝑗
Ԧ𝐴 − 𝐵 = −3Ԧ𝑖 − 4Ԧ𝑗
SUMA RESTA
22

23. Multiplicación
Ԧ𝐴 = 𝑎Ԧ𝑖 + 𝑏Ԧ𝑗
𝝀 Ԧ𝐴 = 𝝀𝑎Ԧ𝑖 + 𝝀𝑏Ԧ𝑗
Para multiplicar un escalar por un vector. El escalar multiplica a
cada una de las componentes del vector:
Ejemplo:
Ԧ𝐴 = 2Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 y 𝜆 = 5
5 Ԧ𝐴 = 10Ԧ𝑖 + 15Ԧ𝑗
23

24. Método gráfico - suma
Para sumar gráficamente dos o más vectores se debe colocar
un vector a continuación del otro.
Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + 𝐵
SUMAB
O
y
x
A
C
24

25. Método gráfico - resta
Para restar gráficamente dos vectores se debe dibujar ambos desde
un mismo punto y la unión de los puntos extremos da como
resultado el vector resta, que siempre será igual al vector final menos
el vector inicial.
𝐵 = Ԧ𝐶 − Ԧ𝐴
RESTAB
O
y
x
A
C
25

26. Método gráfico
Ejemplo:
𝐷 = Ԧ𝐴 − Ԧ𝐶
RESTA
Ԧ𝐴 = Ԧ𝐶 + 𝐷
SUMA
Los vectores C y D son
consecutivos.
El vector D une los
extremos de los otros dos
vectores.
D
A C
26

27. VECTOR POSICIÓN
FÍSICA
27

28. Vector posición
El vector posición permite ubicar un punto o una partícula con
respecto al origen de un sistema de coordenadas.
𝑟𝐴 = 𝑟𝑥Ԧ𝑖 − 𝑟𝑦 Ԧ𝑗
𝑟𝑥 = 𝑟𝐴 cos 𝜃
𝑟𝑦 = 𝑟𝐴 sin 𝜃
Donde:
𝑟𝐴: vector posición
𝑟𝑥: componente en x del vector
posición
𝑟𝑦: componente en y del vector
posición
𝜃: ángulo del vector posición
rA
O
y
x
A(x,y)
rx
ry
θ
Trayectoria
28

29. Vector posición
Ejemplo:
Determinar la posición final de una partícula que se desplaza desde
el origen hacia el punto A, luego al punto B y finalmente al punto C.
O
y
x
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4-1-2-3-4
A
B
C
-1
-2
-3
rf
29

30. Vector posición
Solución:
El vector posición siempre parte del
origen.
𝑟𝑓 = −3Ԧ𝑖 − 3Ԧ𝑗
O
y
x
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4-1-2-3-4
A
B
C
-1
-2
-3
rf
30

31. VECTOR
DESPLAZAMIENTO
FÍSICA
31

32. Vector Desplazamiento
El desplazamiento es el vector que representa el cambio de la
posición de una partícula.
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑜
Donde:
∆𝑟: vector desplazamiento
𝑟𝑜: vector posición inicial
𝑟𝑓: vector posición final
Δr
O
y
x
ro rf
A
B
32

33. Ejemplo:
Un ciclista se encuentra en el punto 𝑷 = −𝟑𝟎Ԧ𝒊 + 𝟕𝟎Ԧ𝒋 km y se mueve
hasta el punto 𝑸 = 𝟓𝟎Ԧ𝒊 + 𝟐𝟎Ԧ𝒋 km . Hallar el vector desplazamiento.
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑜
∆𝑟 = 𝑟𝑄 − 𝑟𝑃
∆𝑟 = 50Ԧ𝑖 + 20Ԧ𝑗 − −30Ԧ𝑖 + 70Ԧ𝑗
∆𝑟 = 80Ԧ𝑖 − 50Ԧ𝑗
Vector Desplazamiento
33

34. Vector velocidad media
Se define a la velocidad media de un cuerpo que se mueve entre
dos puntos (A y B), como el cociente entre el vector
desplazamiento y el tiempo que le toma llegar. Además, el vector
velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector
desplazamiento.
𝑣 𝑚 =
∆𝑟
𝑡
Donde:
𝑣 𝑚: vector velocidad media
𝑣 𝑚: rapidez media
∆𝑟: vector desplazamiento
𝑟𝑜: vector posición inicial
𝑟𝑓: vector posición final
Δr
O
y
x
ro rf
t2t1
A
B vm
34

35. Ejemplo:
Una partícula en movimiento sigue una trayectoria como se
muestra en la siguiente figura. El tiempo para moverse del punto
𝑷 𝟏 (𝟒, 𝟏𝟎) al punto 𝑷 𝟐 (𝟏𝟐, 𝟑) es de 20 segundos. Determine el vector
velocidad media.
∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 12Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 − 4Ԧ𝑖 + 10Ԧ𝑗
𝑣 𝑚 = 0,4Ԧ𝑖 − 0,35Ԧ𝑗 𝑚/𝑠
𝑣 𝑚 =
∆𝑟
𝑡
=
8Ԧ𝑖 − 7Ԧ𝑗
20
Vector velocidad media
y
x
P1
vm
r1
r2
Δr
P2
35

36. ¡ASEGURA TU INGRESO A LA U!
A NIVEL NACIONAL
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099 871 5726