El documento presenta los conceptos básicos de los predicados y cuantificadores en lógica. Explica que una función proposicional está constituida por una proposición abierta P(x) y un dominio A. Introduce los cuantificadores universal y existencial, y cómo estos cuantifican funciones proposicionales. También cubre reglas de negación de cuantificadores y proposiciones con dos variables.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD¨ FERMIN TORO¨
DECANATO DE INGENERIA
SEDE CABUDARE-EDO. LARA
Calculo de
Predicados
Alexandra Escalona
C.I 26.561.685

2. 1 .Funciones Proposicionales
Función Proposicional
Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto
A. Al reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A
obtenemos proposiciones verdaderas o falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos
elementos de A, P(x) es verdadera?
Para todos los elementos de A.
Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son
llamados cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como
caso particular de este último, un único.
Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los
siguientes elementos:
P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.
A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.
Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta
P(x) como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el
conjunto llamado dominio de verdad de la función proposicional.
2 .Cuantificador Universal
Cuantificador Universal
Se le denota con el símbolo ", que es una A invertida (de "all" palabra inglesa
para "todos").
Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal
obtenemos la proposición:
Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:
( xA) ( P(x) )
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones
universales
Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes:
a. Para cada x en A, P(x)
b. Cualquiera que sea x en A, p(x)

3. Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la
proposición (1) la escribimos simplemente así: ("x) ( p(x) )
La proposición ( xA) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para
todo elemento x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con
A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Cada número natural es menor que.
Se escribe simbólicamente así:
( n  N) (n > 1)
Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que
1>1.
3 .Cuantificador Existencial
Cuantificador Existencial
Al cuantificador existencial se le denota con el símbolo, que es un E al revés.
A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)
La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones
existenciales
Otras maneras de leer la proposición son:
a. Para algún x en A, P(x)
b. Existe un x en A tal que p(x)
c. P(x), para algún x en A
Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición
la escribiremos simplemente así:

4. La proposición es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al
menos para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no
vacío.
4 .Cuantificador Existencial de Unicidad
Cuantificador Existencial de unicidad
Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno"
tenemos el cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos
cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos por  !. Así la expresión:
( ! x  A) ( P(x))
Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:
a. Existe un único x en A tal que P(x)
b. Existe un sólo x en A tal que P(x)
c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)
d. P(x), para un único x en A
La proposición es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un
conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.
5 .Reglas de negación de Cuantificadores
Negación de Cuantificadores
Estas dicen lo siguiente:
1.
2. Estas reglas nos dicen que para
negar una proposición con cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal
a existencial o viceversa, y se niega la proposición cuantificada.

5. Proposiciones con dos Cuantificadores
Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la
forma (A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones
proposicionales de dos variables, las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con
dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así podemos obtener las
siguientes proposiciones:
(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))
5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de
dos variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el
dominio de sus variables y los cuantificadores que contiene.
Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores
~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))
~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))