Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática como funciones proposicionales, cuantificadores universales y existenciales, y cuasi-proposiciones. Explica que las funciones proposicionales no son proposiciones hasta que se les asignan valores a las variables, y que los cuantificadores permiten convertir cuasi-proposiciones en proposiciones completas. También cubre la negación de cuantificadores y cómo formalizar proposiciones que los contienen usando símbolos lógicos.

1. Matemáticas discretas
UNIDAD 1 LOGICA MATEMATICA
1.3 Cuantificadores
Logica de predicados
“Esta lógica nos permite hacer afirmaciones con respecto a relaciones entre objetos o sus propiedades que
satisfacen elementos de un determinado universo”.
Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos, tales relaciones o propiedades, se denominan
predicados, los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.
Anteriormente analizamos cuando las expresiones pueden ser aceptadas como proposiciones en base a una
serie de características que se deben cumplir, y dejemos en claro que es posible encontrarnos expresiones que a
pesar de que aseveran algo no pueden ser establecidas como verdaderas o falsas, expresiones que involucran
variables tales como:
· “x > 3”
· “x = y + 3”
Son expresiones que encontradas frecuentemente en declaraciones matemáticas y programas computacionales,
pero como los valores de sus variables no son especificados, no podemos catalogarlas como verdaderas o falsas.
De igual forma debemos tener en claro que una proposición atómica se compone de sujeto y predicado, tal y
como nos enseñaron en la primaria, por lo tanto al decir “x > 3” nos encontramos en un caso de ambigüedad ya
que “x” puede ser cualquier valor y por lo tanto no conocemos al sujeto del que se habla en la expresión.
A pesar de lo anterior el hecho es que para “x > 3” la expresión tiene 2 partes:
1. La variable x es el sujeto de la expresión.
2. El operador “>3” es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresión puede tener).
Por tal motivo a este tipo de expresiones se les llama “cuasi-proposiciones” cumplen con las partes de una
proposición pero sin llegar a serlo por no estar claramente definidas.
Función proposicional
“Una función proposicional es una expresión que contiene una o más de una variable que al ser sustituidas por
elementos del universo (U) dan origen a una proposición”.
La función proposicional no es una proposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de
verdad.
Para las expresiones del tipo “x > 3” el valor verdadero o falso está determinado por los valores de la variable,
en este ejemplo “x”, por lo tanto se dice que el valor del predicado está en función de la variable.
Una función proposicional se simboliza mediante letras mayúsculas P, Q, R, S…, etc.
Ejemplo:
P(x) =” x > 3” La expresión P(x) es el valor de la función proposicional P en x.
Para
P(4) = verdadero
P(2) = falso
Una vez que un valor le es asignado a la variable x, la expresión P(x) se convierte en una proposición y tiene su
valor de verdad.
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2. Matemáticas discretas
En general una expresión puede involucrar “n” variables x1, x2, ..... xn, puede ser denotado por P(x1, x2, ..... xn).
Una expresión de la forma P(x1, x2, .... xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1, x2, ..... xn) y
P es también llamado un predicado.
Ejemplo:
P(x)=”x = y + 3”
P(x,y)
La función proposicional P(4,6) es falsa.
Cuasi-proposición
“Es un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica que debe ejemplificarse o cuantificarse
para que sea una proposición”.
Cuantificarse se refiere a decir a cuántos individuos que integran el universo es aplicable, y ejemplificar, se
refiere a enunciar el sujeto de la expresión”.
Se cuantifica una cuasi-proposición para categorizar cualidades y generalizar o particularizarla, de tal manera
que hablamos de unos elementos que cumplen una cierta característica.
Ejemplo:
Tenemos la expresión P(x)=“Los x son seres vivos, que nacen, crecen, se reproducen y mueren”
Donde:
x “Son Hombres (Del universo humanos)”. Ejemplificamos
Ahora generalizamos (cuantificamos) y no puede quedar:
“Todos los hombres son seres vivos que nacen, crecen, se reproducen y mueren”.
“Algunos hombres son seres vivos que naces, crecen, se reproducen y mueren”.
Cuantificadores
A través de la cuantificación también se pueden crear proposiciones desde una función proposicional, este
procedimiento para convertir un predicado en una proposición recibe el nombre de “generalización”, puesto
que es un modo de hablar "en general", sin especificar el nombre propio de nuestro sujeto lógico, de las muchas
formas que puede revestir el procedimiento de generalización, dos son especialmente útiles: “cuantificador
universal” y “cuantificador existencial”.
Cuantificación universal
“Es la proposición que es verdadera para todos los valores de x en el universo de discurso”.
Se denota con el símbolo x y se lee “Para todo x”, o bien otra forma de leer esta expresión es: “Para cada x”,
aunque otras formas de interpretarlo es mediante las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" las cuales
denotan negación y que también podrían simbolizarse con un cuantificador existencial.
Ejemplos:
1. Formalizar la expresión: “Los estudiantes de mecatrónica ha estudiado programación” como una
cuantificación universal.
· Sea P(x) = “x ha estudiado programación”.
Donde x = “Alumnos del ITESCAM”.
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3. Matemáticas discretas
Entonces se puede expresar como: xP(x) que se lee “Todos los alumnos del ITESCAM han
estudiado programación”.
Otra respuesta (que de hecho es la más correcta) que podemos plantear es:
· Sean:
P(x)=”x ha estudiado programación”
Q(X)=”x es estudiante de mecatrónica”
Donde x = “Alumnos del ITESCAM”.
∴ x(Q(x) → P(x)) la cual podemos leer “Para cada alumno del ITESCAM, si es estudiante de
mecatrónica entonces ha estudiado programación”.
2. Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.
· Sean G(x) = “x es un gato”.
C(x) = “x tiene cola”.
Donde x = “Animales carnívoros”
∴ ∀x( G(x) → C(x) )
Nota:
El símbolo ∴ significa “Entonces…” o “En conclusión…”
Cuantificador Existencial
La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal
que P(x) es verdad”.
Se denota con el símbolo x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que...)”, “hay al menos un x tal
que…” o “para algún x…”.
Ejemplos:
1. Formalizar la expresión: “Algunos estudiantes de mecatrónica han estudiado programación” como
una cuantificación existencial.
· Sea P(x) = “x ha estudiado programación”.
Donde x = “Alumnos del ITESCAM”.
Entonces se puede expresar como: xP(x) que se lee “Existen algunos alumnos del
ITESCAM que han estudiado programación”.
2. Expresar “Algunos gatos no tienen cola” en cálculo de predicados.
· Sean C(x) = “x es un gato que no tiene cola”.
Donde x = “Animales carnívoros”
∴ x(C(x) )
Negación de los cuantificadores
“La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de cuantificador existencial, respecto de
la proposición negada; y viceversa”.
Tanto las proposiciones universales como las existenciales posee su negativa respectiva, y se simboliza negando
la segunda proposición (el consecuente en el caso del condicional).
Ejemplo:
1. Formalizar la expresión “No todos son alumnos".
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4. Matemáticas discretas
· Sea P(x)=”x es alumno”
Donde x= “personas del universo ITESCAM”.
∴ ¬ x(Px).
Si lo miramos desde otra perspectiva podemos afirmar que “No todas las personas del ITESCAM son
alumnos” es equivalente a afirmar que “Existe al menos una persona del ITESCAM que no es alumno” la
cual expresaríamos de la siguiente manera: x P(¬x)
Es decir que ¬ x(Px) Ξ x P(¬x)
2. Formalizar la expresión "Ninguno es alumno".
· Sea P(x)=”x es alumno”.
Donde x= “personas del universo ITESCAM”.
∴ ¬ x P(x)
Que al igual que el caso anterior, podemos verlo desde otra perspectiva y afirmar que
“Todos las personas del ITESCAM no son alumnos” expresándola de la siguiente manera:
x(¬P(x)).
Es decir que: ¬ x P(x) Ξ x(¬P(x))
Proposiciones que contienen cuantificadores
En la lógica de predicados, las proposiciones utilizan un conjunto de símbolos que aparecerán en distintas
formalizaciones siguiendo reglas sintácticas de construcción.
De esta manera podemos hacer combinaciones de variables, conectivos, cuantificadores, etc…
Ejemplo:
Dada la expresión “Cada estudiante del ITESCAM tiene una computadora o tiene al menos un
amigo que tiene una computadora”, formalizarla utilizando cuantificadores.
Donde:
C(x) es “x tiene una computadora”.
F(y) es “y son amigos que tienen una computadora” del universo estudiantes del
ITESCAM.
∴ x(C(x) y(F(y))
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5. Matemáticas discretas
Ejercicios 3
1. Escriba V si es verdadero o F si es falso cada uno de los enunciados:
a) a) Los predicados también sirven para asignar una cualidad abstracta a sus términos. ( )
b) b) La negación del cuantificador existencial e equivalente a la afirmación del universal. ( )
c) c) Las funciones proposicionales siempre son verdaderas. ( )
d) d) Se considera al silogismo como una forma de razonamiento inductivo. ( )
e) e) De dos premisas negativas, en el silogismo, la conclusión es afirmativa. ( )
f) f) No se puede concluir si ambas premisas del silogismo son particulares. ( )
g) g) Los postulados tienen concepto más amplio que los axiomas. ( )
h) h) Un teorema tiene forma de condicional o bicondicional. ( )
2. Simbolizar las siguientes expresiones e indicar si son funciones proposicionales o proposiciones:
a) Fulano es muy generoso.
b) x es par y 6 también.
c) x e y son impares.
d) 2 es un número par y primo.
3. Convertir cada una de las cuasi-proposiciones en proposiciones, utilizando cuantificadores, decir si son
verdaderas o falsas:
a) x es un senador Colombiano
b) x es un estudiante de la universidad Gran Colombia
c) y es un buen libro
d) x es un número mayor o igual a 4.
4. Utilizar los cuantificadores para simbolizar las siguientes proposiciones:
a) Para cada x, x tiene un nombre.
b) Existen climas absolutamente fríos y donde no se puede vivir.
c) Para cada y, y pertenece a un conjunto de países.
d) Nadie es eterno en el mundo
e) Ningún limón es dulce
f) Ningún gato es canino
g) Todos los caballos son cuadrúpedos.
h) Existen hombres sabios.
i) No existen jóvenes perezosos.
5. Formalizar las cuasi proposiciones como proposiciones, representar su negación simbólica, y para cada
caso escribirlas en lenguaje verbal.
a) Para Todos los x se cumple que si se puede escuchar, se puede cantar y tocar.
b) No es cierto para algunos x que, si les gusta cantar y les gusta bailar, se quedan sentados en las
fiestas.
c) Todos los y, o no son arrogantes o son congéniales.
d) No existen M tales que, son amigables y les gusta pelear.
e) Para todo x, si le quitan un órgano vital, entonces vive una vida normal o sufre toda la vida.
f) Para algunos y, no se van a vivir al polo norte, a menos que su promedio de vida disminuya.
g) No se cumple en ningún caso que los x, no sean mamíferos, ni sean cuadrúpedos.
h) No existen x que a la vez sean vegetarianos y, no se alimentan de: soya o cereales.
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