2. Introducción
El proceso estocástico más conocido de los cuales
cálculo estocástico se aplica es el proceso de Wiener
(nombrado en honor de Norbert Wiener), que se utiliza
para modelar el movimiento browniano como se describe
por Louis Bachelier en 1900 y por Albert Einstein en
1905 y otros procesos de difusión física en el espacio de
partículas sujetas a fuerzas aleatorias.
Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha
aplicado ampliamente en las matemáticas financieras y
la economía para modelar la evolución en el tiempo de
los precios de las acciones y las tasas de interés de
bonos
3. Introducción
Los principales sabores de cálculo estocástico son el
cálculo de Itô y su pariente el cálculo variacional de
Malliavin. Por razones técnicas la integral de Itō es el más
útil para las clases generales de los procesos, pero la
integral de Stratonovich relacionado es con frecuencia útil
en la formulación del problema (en particular en las
disciplinas de ingeniería.)
La integral Stratonovich fácilmente se puede expresar en
términos de la integral de Itō. El principal beneficio de la
integral Stratonovich es que obedece a la regla de la
cadena de costumbre y por lo tanto no requiere el lema de
Itō.
4. Cálculo estocástico
El cálculo estocástico es una rama de
las matemáticas que opera en los procesos
estocásticos y las ecuaciones diferenciales
estocásticas.
El cálculo estocástico constituye una teoría
coherente de integración, que generaliza
la integración de Stieljes-Lebesgue, y permite definir
de manera rigurosa integrales de los procesos
estocásticos con respecto a otros procesos
estocásticos.
Se utiliza para modelar sistemas que se comportan
de forma aleatoria
5. Esto permite a los problemas que se expresan en una
forma invariante sistema de coordenadas, que tiene un
valor incalculable en el desarrollo de cálculo
estocástico en variedades distintas de Rn.
El teorema de la convergencia dominada no se
mantiene para la integral Stratonovich, en
consecuencia, es muy difícil de probar los resultados
sin re-expresión de las integrales en forma de Itō.
Integral estocástico
6. Integral del Itō
La integral del Itō es central para el estudio de cálculo
estocástico. La integral: se define para un semimartingala
Wt y limitada localmente proceso predecible H. Es decir,
Wt será un proceso estocástico (una colección de
variables aleatorias indexadas con respecto a t) de valor
esperado cero.
El cálculo de Itô, extiende los métodos del cálculo a
procesos estocásticos. Tiene aplicaciones muy
importantes en matemáticas financieras y en ecuaciones
diferenciales estocásticas.
7. Integral del Itō
El concepto central es la integral estocástica de Itō
que es una generalización estocástica de la integral
de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y
los integradores son ahora procesos estocásticos:
8. Integral del Itō
Donde H es un proceso cuadrado-integrable adaptado a
la filtración generada por X, que es un movimiento
browniano o más generalmente, una semimartingala.
El resultado de la integral es otro proceso estocástico.
Concretamente, la integral desde 0 hasta algún valor
particular t es una variable aleatoria, definida como el
límite de una secuencia de variables aleatorias.
El camino de un movimiento Browniano no satisface los
requisitos necesarios del cálculo infinitesimal tradicional,
ya que como el integrando es un proceso estocástico, la
integral de Itô se define para lograr integrar una función
que es no diferenciable en ningún punto y además tiene
una variación infinita en cada intervalo de tiempo.
10. Notación
El proceso Y definido anteriormente como:
es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de
tiempo t, también suele escribirse como X (Rogers y
Williams, 2000). Alternativamente, la integral en ocasiones
es escrita en forma diferencial dY=Hd.X, que es
equivalente a Y-Y0=H.X, Como el cálculo de Itô se ocupa
de los procesos estocásticos a tiempo continuo, se supone
que un espacio de probabilidad filtrado se da
11. Integración por partes
Como en cálculo ordinario, la integración por partes es un
resultado importante en cálculo estocástico. La fórmula de
integración por partes para la integral de Itô difiere del
resultado estándar por la inclusión del término variación
cuadrática.
Este término viene del hecho de que el cálculo de Itô trata
con procesos con variación cuadrática no nula, que sólo
ocurre con procesos con variación infinita (tal como el
movimiento browniano).
Si X y Y son semimartingalas entonces:
donde [X,Y] es la variación cuadrática del proceso
12. Lema de Itô
El lema de Itô es una versión de la regla de la cadena o
la fórmula del cambio de variables que aplica para la
integral de Itô. Es uno de los teoremas más usados en
cálculo estocástico.
lo anterior difiere de la regla de la cadena usual del
cálculo debido a la inclusión del término que incluye la
variación cuadrática
13. Introducción
El primer trabajo relacionado con las ecuaciones
diferenciales estocásticas fue la descripción del
movimiento browniano hecha por Albert Einstein (1905).
Simultáneamente Marian Smoluchowski trabajó sobre el
mismo tema. Sin embargo, otro de los primeros trabajos
relacionados es el trabajo del Louis Bachelier (1900) en
su tesis doctoral Teoría de la Especulación, dedicada a
las fluctuaciones de títulos bursátiles.
Este trabajo fue secundado por Paul Langevin y
posteriormente Kiyoshi Itō y Ruslan L. Stratonovich
formularon de manera rigurosa la noción de ecuación
diferencial estocástica (EDS).
Diferencial estocástico
14. Diferencial estocástico
Una ecuación diferencial estocástica (EDE) es una
ecuación diferencial en la cual uno o más de sus
términos es un proceso estocástico y cuya solución es
también un proceso estocástico. Las ecuaciones
diferenciales estocásticas se utilizan para modelar
diversos fenómenos como los precios de las acciones.
Usualmente, las ecuaciones diferenciales estocásticas
tienen ruido blanco que puede ser interpretado como la
derivada del movimiento browniano o del proceso de
Wiener. Sin embargo, debe mencionarse que otro tipo de
fluctuaciones aleatorias son posibles como el proceso de
salto.
15. Ecuación diferencial de Itō
Uno de los primeros ejemplos históricos de ecuación
diferencial es la ecuación diferencial de Itō propuesta en
los años 1940. La ecuación involucra una variable
aleatoria. Xt cuyos incrementos con el tiempo vienen
dados por una parte determinista más una parte aleatoria
dada por un proceso de Wiener
16. Diferencial de Itō
donde Wt es el proceso de Wiener (o movimiento
browniano estandarizado). Esta ecuación debe ser
interpretada como una expresión informal, que es
rigurosamente interpretable en forma de ecuación
integral
donde la última de las integrales es una integral de
Itō, mientras que la primera es simplemente una
integral de Riemann.
17. Diferencial de Itō
Dos instancias de caminos brownianos geométricos, con diferentes parámetros
que son soluciones de la ecuación diferencial escocástica lineal de Itō. La línea
azul presenta un arrastre mayor, mientras que la línea verde presenta una
mayor varianza.
18. Existencia y unicidad de soluciones
Como en una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas
parciales, es importante conocer si una determinada EDE
tiene solución, y si es o no única.
A continuación se presenta un teorema típico de existencia
y unicidad para la EDE de Itō que toma valores en el
espacio euclídeo de n dimenciones (R) y conducido por un
movimiento browniano m-dimensional B; la demostración
puede encontrarse en ksendal(2003).
20. Soluciones numéricas
Las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales,
especialmente en el caso de ecuaciones diferenciales
estocásticas en derivadas parciales es un área
relativamente nueva. Casi todos los algoritmos que se
usan para la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias funcionan inadecuadamente para las
ecuaciones diferenciales estocásticas, presentando
frecuentemente una convergencia muy mala. Un libro de
texto estándar que ilustra varios de los algoritmos
existentes es Kloeden & Platen (1995).
Entre los métodos numéricos usados están el método de
Euler-Maruyama y el método de Runge-Kutta para EDE.
21. Terminología
En física, las ecuaciones diferenciales
estocásticas (EDS) se escriben como ecuaciones
de Langevin. Por eso a veces se denominan de
manera algo confusa "ecuaciones de Langevin"
aunque existen muchas formas alternativas.
Estas formas incluyen ecuaciones diferenciales
ordinarias que contienen una parte determinista
junto a un término adicional aleatorio que es un
ruido blanco.
22. Terminología
Una segunda forma es la ecuación de Smoluchowski
o más en general ecuación de Fokker-Planck, estas
últimas son ecuaciones en derivadas parciales que
describen la evolución de la función de densidad de
probabilidad asociada a la solución de la ecuación
estocástica.
La tercera forma es la que se usa con mayor
frecuencia en matemática general y finanzas
cuantiativas (ver más abajo). Esta forma es similar a
la forma de Langevin, pero se escribe usualmente en
forma diferencial. Las ecuaciones diferenciales
estocásticas aparecen en dos variedades,
correspondiéndose con las dos tipos de cálculo
estocástico.
23. TRABAJO GRUPAL
LABORAR UNA MAPA CONCEPTUAL DE
INTEGRALES ESTOCASTICOS Y DIFERENCIALES
ESTOCASTICOS DIFERENCIANDO CON UN
EJEMPLO
