Generadores de corriente alterna

Cuaderno de Actividades: Física II

11) CORRIENTE ALTERNA

205
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo


11.1) Generadores

 6θ 8 
 7 
ε ≡ ε ( t ) ≡ ε m sen ωt + ϕ 

 

⇒ CORRIENTES
ALTERNAS

Se pueden producir con un sistema de bobinas en la región de B debido a
inducción Faraday.
**La f.e.m. alterna la circulación de las corrientes.

11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e
inductivos
i) Circuito Resistivo
i = i( t) = ?
ε ( t ) ≡ ε M sen { ωt}
ε( t) 2ªLey de Kirchhoff :
ε - Ri ≡ 0

ε εM
i( t) ≡ ≡ sen { ωt} ≡ I M sen { ωt}
R R
ε
i ( t ) ≡ I M sen { ωt} → I M = M
R

206


ε ( t ) ≡ ε M sen { ωt} ⇒ i ( t ) ≡ I M sen { ωt}

→ FASE :
ε (≡ v) − i

USANDO FASORES ( =“VECTORES”), para describir las
relaciones v-i

ω
v( t)
VM
t
i( t)
IM

θ

Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valores
máximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando con
frecuencia angular ω en un plano, de tal manera que los valores instantáneos
de las CF se obtienen mediante su proyección en el eje vertical.

Para el circuito resistivo:

ε ( t ) ≡ v (t ) = ε M sen { θ } = ε M sen { ω t} i ( t ) ≡ I M sen { θ } ≡ I M sen { ω t}

207


Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)

ii) Circuito Capacitivo

De 2ªLey de Kirchhoff :
ε( t) q
ε - ≡0
C

ε ( t ) ≡ VM sen { ωt} ⇒ q ≡ CVM sen { ωt}
dq
⇒i ≡ ≡ ωCVM cos { ωt}
dt

→ i ( t ) ≡ ωCVM cos { ωt}
 π
 π i ( t ) ≡ I M sen ω t + 
i ( t ) ≡ ωCVM sen ωt +   2
 2

 1 
I M ≡ { ω C} VM → VM ≡   IM ⇒ VM ≡ X C I M
 ωC 

208


1
XC ≡ , X C : Re acatrancia
ωC
Capacitiva

Con lo que las ecuaciones para V e i, resultan,

 π
ε ( t ) ≡ v (t ) = VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t + 
 2

Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor
adelanta en (π/2) al voltaje, en el “lenguaje” de fasores tendríamos la siguiente
representación,

VM
IM

De igual forma en el “lenguaje” grafico, las curvas v-i muestran el mismo
adelanto de la corriente frente al voltaje,

209


iii) Circuito Inductivo
i ≡ i( t) = ?
De la 2ªLey de Kirchhoff :
di
ε( t) ε - L ≡0
dt

 π
ε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ωt} i ( t ) ≡ I M sen ωt − 
 2

En la ecuación de corrientes,

VM
IM ≡ → VM ≡ { ω L} I M
ωL

VM ≡ X L I M ⇒ X L ≡ ω L

X L : Re ac tan cia inductiva

Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de (π/2) de la
corriente frente al voltaje,

 π
ε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t − 
 2

Este retraso es claramente descrito por los fasores,

VM

IM

210


La información contenida en la gráfica V-t muestra claramente este retraso de
la corriente,

iv)

Observaciones

j) Grafico de reactancias
La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias χc y χL, en
función de la ω,

R ≠ R (ω )

1
XC ≡
ωC

X L ≡ ωL

jj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, Vef

Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, se
determinan usando criterios energéticos, como por ejemplo, a un circuito
resistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potencia
disipada por R sea la misma,
211


PI
Pi
i(t)
R

I

 π  π
i ( t ) ≡ I M sen ω t +  ≡ I P sen ω t + 
 2  2
I P ≡ I " pico " o max ima

Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia del
circuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)
genera la mitad de potencia que Im ( o Ip),

1 I
Pi( t ) ≡ PI P ≡ PIe f → I e f ≡ P
2 2

VP
Razonamiento análogo conduce a, Vef ≡
2

R
i( t) 11.3) Circuitos RLC en
ε(t)
ε( t)
serie
i
i ≡ i( t) = ?
C
De la 2da de Kirchhoff,

L 212


q di
ε ( t ) − Ri −
−L ≡0
C dt
R 1
→q+ q+
&& & q ≡ ε ( t)
L LC
→ resolviendola E C Diferencial...

Resolviendo usando Fasores…
El diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,

Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en el
circuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con la
corriente. Los fasores VL, VC y VR se componen para obtener el fasor V0=VM,
de tal forma que,
( VL − VC )
2
+ VR2 ≡ VM , ← VM = V0
2

y con las E CS ,
VL = χ L I M , VC = χ C I M y VR = RI M

213


→ {( χ L
2 2
}
− χ C ) + R 2 I M = VM F
2

1

Definiendo : Z = {( χ L − χC ) + R
2 2
} 2

Z :Im pedancia del circuito deCA

→ VM = ZI M → Vef = ZI ef

VM
→ IM =
Z

Con lo que si,

v ( t ) ≡ VM sen { ω t} → i (t ) ≡ I M sen { ω t − φ }

Donde φ ,
χ L − χC
tan(φ ) =
R

Depende de la intensidad de los χs,

X L Xc X L = Xc X L Xc

R R R
R

X L X* L X *C

X C
X*
La tensión total La tensión total
Tensión total y
estará adelantado estará retrasado
corriente
menos de 90 grados menos de 90 grados
en fase
respecto a la respecto a la
corriente corriente
X L X C R
X L Φ
Z X* L
R X *c
Φ Z
R X C
X C X L

214


Observaciones:
i) Usando el plano complejo

Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando
complejamente R y las χ s,

Z = R + χC + χ L
transformando a impedancias complejas,
→ Z R ≡ R, Z C ≡ − χ C i y Z L ≡ χ L i

→ Z = Z R + ZC + Z C ≡ R + ( χ L − χ C )i

Esto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo,

1

{ }
n
( χ L − χC ) + R 2 → Z = ∑ Zi ?
2
→Z = Z = 2

i =1

ii) Circuitos RLC en paralelo

215


La Z del circuito se obtendrá usando fasores de corriente, puesto que ahora se
aplica el mismo voltaje a todos los Zs,

IC IM VM

IR

IL
1

VM  VM   VM VM  
2 2 2
 
=   + −  
Z  R   χ C χ L  
 
1

1  1   1 
2 2 2
 1  
→ =   +  −  
Z  R   χ C χ L  
 

También podríamos asumir impedancias en paralelo, usando

1 1 1 1 1 1 ( χ L − χC ) i
= + + → = +
Z R − χC i χ Li Z R χC χ L
1 χC χ L + R ( χ L − χC ) i RχC χ L
→ = →Z =
Z RχC χ L ( χC χ L + R ( χ L − χC ) i )
R χC χ L ( χC χ L − R ( χ L − χC ) i )
→Z =
( χC χ L ) +  R ( χ L − χC ) 
2 2
 
1

1  1   1 1  
2 2 2
  1 n
1
→ =   +  −   → =∑ ?
Z  R   χ C χ L   Z i =1 Zi
 

216


11.4) Potencia de un circuito de CA
i) P instantanea,P(t)

P ≡ v ( t ) i (t )
P ≡ VM sen { ω t}   I M sen { ω t − φ }  ...
  
→ P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ}

ii) P Media, PM

Pm ≡ P(t ) T

1
P ≡ VM I M sen 2 { ω t} cos { φ } − sen { 2ω t} sen { φ}
2
→ P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ}
1
→ sen 2 { ω t} ≡ ∧ sen { 2ω t} ≡0
T 2 T

T T
1
→ sen { ω t}
2
≡ ∫ sen { ω t} dt ≡
2
∧ sen { 2 ω t} ≡ ∫ sen { 2 ω t} dt ≡ 0
T
0
2 T
0

1
→ P ≡ VM I M cos { φ } ≡ Vef I ef cos { φ }
2
→ Pm ≡ I ef R ?
2

Al factor cos(φ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia de
las impedancias (reactancias) sobre la Pm.

217


11.5) Resonancia
Es un fenómeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor máximo
(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condición,

1
ωres ≡
LC

En general:

Vef
I ef ≡ ≡ I ef (ω )
2
 1 
R2 +  ω L −
 ωC 

Pm ≡ I ef R
2

2
 
   
 Vef   Vef2 Rω 2 
Pm ( ω ) ≡   R → Pm ( ω ) ≡  2
 R ω + L ( ω − ωres ) 
2 2 2 2 2 2
 2  1    
R + ωL −

  ωC 




La grafica Pm-ω muestra la dependencia con ωres. A dicha frecuencia el
circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e
inductivos se anulan mutuamente.

∆ω

218


En las curvas de Pm se define el factor de calidad, Q0, el cual se vincula a R,

ωres
Q0 ≡
∆ω

Donde ∆w se mide a
media altura,
Pm = (Pm,max /2)

¿Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?

219


11.6) Transformadores

Son dispositivos (maquinas eléctricas) que permiten controlar voltajes alternos,
así como impedancias, usando inducción Faraday. Están constituidos
básicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura,

Primario Secundario
εp − Np ε s − Ns
Rp Rs

Aplicando inducción Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria,

d φB , p
ε p ≡ Np ...1
dt

d φB , s
ε s ≡ Ns ...2
dt

De las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B
(ferromagnético),

dφB , p dφB , s
≡
dt dt

220


Entonces, en la aproximación de transmisión de flujo ideal,

εp Np
≡
ε s Ns

Esta expresión puede, por supuesto, extenderse a los V p (voltaje pico) o Vef ,
debido a que la señal en el secundario tiene la misma frecuencia que la del
primario,

ε p N p V pp Vefp
≡ ≡ ≡
ε s N s V ps Vefs

Ahora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la Pp ≡ Ps ,

Pp ≡ V p I p ≡ Ps ≡ Vs I s → V p I p ≡ Vs I s

En los casos reales se introduce un factor de potencia,ε,

Ps ≡ ε Pp ← ε : %

¿? Que importancia tecnológica tienen los transformadores.

¿? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.

¿? Podría construir un transformador no convencional y darle aplicación.

221


11.7) Circuitos Filtro

Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar señales eléctricas en
función de la frecuencia, es decir, pueden filtrar señales de baja frecuencia, alta
frecuencia o una banda determinada de frecuencias.

i) CF pasa bajas

La ganancia, g, es notable para señales de baja frecuencia.

La g se define de la siguiente manera,

Vs
g≡ , Vs : V en la salida yVe : V de entrada
Ve

Tenemos el siguiente circuito,

R1

1 2
V1 1.0kohm
1.0uF
1V 1000Hz
C1

0

El voltaje de salida se toma en el condensador, de tal forma que la ganancia
es,

1
Vs χ c I M wC 1
g≡ ≡ ≡ ≡
Ve ZI M ( RwC )
2 2
 1  +1
R +
2

 wC 

donde la g es casi 1 para
bajas ws, como se muestra
g
en la grafica,
1

222
0 w Title: C


ii) CF pasa altas

La ganancia, g, es notable para señales de alta frecuencia.

Usando el mismo circuito,

R1

1 2
V1 1.0kohm
1.0uF
1V 1000Hz
C1

0

El voltaje de salida se toma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es,

Vs RI M R 1
g≡ ≡ ≡ ≡
Ve ZI M  1 
2
 1 
2

R +
2
 1+  
 wC   RwC 

observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica,

g
1

223
0 w Title: C


¿? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.

¿? Como se construiría un circuito pasa banda, (w1, w2).

¿? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.

¿? Aplicaciones tecnológicas del los CF.

Aplicaciones:

S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito
LCR serie con R = 1 kΩ, L = 50 mH y C = 2,5 µF.
a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?

224


b) ¿Cuál es el valor de Q?
c) ¿A qué frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el
generador es la mitad de su valor máximo?

SOLUCION:

a) CA, RCL ene serie: R ≡ 103 , C ≡ 2,5 × 10−6 y L ≡ 50 ×10−3

1 1
w0 ≡ wres ≡ ≡ ≡?
LC ( 50 ×10−3 ) ( 2,5 ×10−6 )

1
b) y c) Q ≡ ? y ws ≡ ? / Pm ( w) ≡ Pm ,max
2

El factor de calidad Q, se obtiene por,

wres χ L ( wres ) Lwres
Q≡ ≡ ≡ ≡?
∆w R R

donde, ∆w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la
figura, ∆w ≡ w2 − w1 ,

Pm

Pm,max

(1/2)Pm,max

0 w
w1 wres w2

1
∆w ≡ ?, w1 ∧ w2 ≡ ? / Pm ( w1 ) ≡ Pm ( w2 ) ≡ Pm ,max
2

yendo a la ecuacion de Pm − w , e imponiendo la condición de ws,

225


 Vef2 Rω 2 
 
Pm ( ω ) ≡  2
 R ω + L ( ω − ωres ) 
2 2 2 2 2
 

 Vef2 Rω 2  2
  1 Vef
Pm ( ω ) ≡  2
≡
 R ω + L ( ω − ωres )  2 R
2 2 2 2 2
 

R
L2 ( ω 2 − ωres ) ≡ R 2ω 2 → w2 − wres ≡ ±
2 2 2
w
L

R R
w2 − wres ≡ ±
2
w → w2 + w − wres ≡ 0...I
2

L L

R
→ w2 − w − wres ≡ 0...II
2

L

2 2
R R R R
− +   + 4wres
2
− −   + 4 wres
2

L  L L  L
De I : w1 ≡ ∧ w3 ≡
2 2

2 2
R R R R
+ +   + 4 wres
2
+ −   + 4 wres
2

L L L L
De II : w2 ≡ ∧ w4 ≡
2 2

Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,

R w L
∆w ≡ → Q ≡ res ≡ ?
L R

w1 ≡ ?

w2 ≡ ?

S6P37)
i

R
+
226 C
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo ∼
-
-
L


En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8 Ω, L = 40 mH, C = 20
µF, la diferencia de potencial pico de la fuente, v0 = 100 V y ν =( 200/π)
Hz.
a) Deduzca la impedancia del circuito
b) ¿Cuál es el valor de la corriente?
Halle la diferencia de potencial rms a través de
c) R, C y L individualmente
d) R y C combinados
e) C y L combinadas

SOLUCION:

−6
De los datos R ≡ 8, L ≡ 0, 04, C ≡ 20 ×10 , V p ≡ Vmax ≡ 100 y w ≡ 400 ,

1
a)… Z ≡ {( χ L − χC ) + R
2
}
2 2
≡ ...?

VM 1
b) De las ecuaciones, I M ≡ , χC ≡ y χ L ≡ w L,
Z wC

1 1
χC ≡ ≡ ≡ 125
wC ( 400 ) ( 20 × 10−6 )
y χ L ≡ wL ≡ ( 400 ) ( 0, 04 ) ≡ 16

Calculando Z ≡ 109,3 y con Vmax ≡ 100 y R ≡ 8,

I M ≡ 0,92

c) Hallando los Vrms ≡ Vef ,

Vp
c1) VM , R ≡ I M R ≡ 0,92 × 8 ≡ 7, 4 → Vef ≡ ≡ 5,3
2
Vp
c2) VM ,C ≡ I M χ C ≡ 0,92 ×125 ≡ 115 → Vef ≡ ≡ 81, 6
2
Vp
c3) VM , L ≡ I M χ L ≡ 0,92 × 16 ≡ 14, 7 → Vef ≡ ≡ 10, 4
2

d) Ahora para la combinación RC,

227


χ RC ≡ R 2 + χ C ≡ 82 + 1252 ≡ 125,3
2

Vp
VM , RC ≡ I M χ RC ≡ 0,92 × 125,3 ≡ 115, 3 → Vef ≡ ≡ 81, 8
2

e) Combinación CL,

χ LC ≡ 109

Vp
VM , LC ≡ I M χ LC ≡ 0,92 ×109 ≡ 100, 3 → Vef ≡ ≡ 71,1
2

228


S6P25)
10 Ω
En relación al circuito mostrado,
a) Halle la resistencia equivalente. 150 V
b) Halle corriente por la resistencia. 20 µF
5mH
c) Halle la corriente por la inductancia. 60Hz
d) Si se toma una señal por la resistencia ¿Es un
filtro? Why.

SOLUCION:

Datos: ν ≡ 60, V p ≡ 150, R ≡ 10, L ≡ 5 × 10 , C ≡ 20 ×10 ,
−3 −6

a) La impedancia del sistema estaría dada por,

1

 2  χ L χC  

2 2
 
Z ≡ R +   

  ( χC − χ L )  
  

1
Calculando para, χ C ≡ y χ L ≡ wL,
wC

1 1
χC ≡ ≡ ≡132, 7 y
wC ( 2π × 60 ) ( 20 × 10−6 )

χ L ≡ wL ≡ ( 2π × 60 ) ( 5 ×10−3 ) ≡ 1,9

Reemplazando en Z,

Z ≡ 10, 2

VM
b) Usando I M ≡ , resulta,
Z

150
IM ≡ ≡ 14, 7
10, 2

c) Determinando el voltaje en el inductor,

V p2 ≡ VR2 + VLC → ( 150 ) ≡ ( 10 ×14, 7 ) + VLC
2 2 2 2

→ VLC ≡ 29,8 → VL ≡ χ L I L → 29,8 ≡ ( 1, 9 ) I L → I L ≡ 15, 7

229


d) De la ecuación para la g,

V RI R w0 − w2
2

g≡ s ≡ M ≡ ≡ ... ?
Ve ZI M
(w ) + ( w / RC )
2 2 2 2
 χ L χC 
 
2
−w
R2 +  
0

 ( χC − χ L ) 
 

230


S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste de
impedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador
estéreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante un
transformador. En la ecuación V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarse
las corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 = V2/
N2 ε
Z. Utilizando las ecuaciones V2 = V1 demostrar que I1 =
( N1 / N 2 ) Z
2
N1
y, por consiguiente, Zef = (N1/N2)2Z.

SOLUCION:…

231

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