Energía potencial y conservación de la energía. Diapo Tramón.

1. Capítulo 08
Energía Potencial
y Conservación de la Energía

2. Contenido
• Fuerzas conservativas y no conservativas
• Fuerzas conservativas y energía potencial
• Conservación de la energía mecánica
• Fuerzas no conservativas
• Fuerza y energía potencial
• Diagramas de energía y equilibrio
• Principio de conservación de la energía

3. Fuerzas Conservativas
Una fuerza es conservativa si el trabajo, realizado
sobre una partícula que se mueve entre dos puntos
cualesquiera, es independiente de la trayectoria.
Si Fc es una fuerza conservativa, entonces, existe
una magnitud física escalar U , tal que el trabajo
realizado por esta fuerza, al mover un cuerpo desde
un punto a del espacio a otro punto b, está dado
por:
W ( Fc ) = − ⎡U ( b ) − U ( a ) ⎤ = − ΔU
⎣ ⎦
Po lo tanto, sobre una trayectoria cerrada: W(Fc ) = 0

4. Fuerzas Conservativas
La magnitud física escalar U es lo que se conoce
como la energía potencial asociada al campo de
fuerza en cuestión
El trabajo hecho por una fuerza conservativa sólo
depende del valor de la energía potencial en los
puntos extremos de la trayectoria
Finalmente, el trabajo de una fuerza conservativa es
completamente recuperable

5. Fuerzas No Conservativas
Si el trabajo realizado por una fuerza F, al mover un cuerpo
desde un punto a a un punto b, depende de la trayectoria
elegida, entonces, la fuerza F es no conservativa.
En tal caso no existe una función escalar U tal que el trabajo
realizado por la fuerza F pueda ser escrito como esta función
evaluada en los extremos.
Para las Fuerzas No Conservativas:
No existe U tal que: W ( F ) = U ( a ) − U ( b)
Además, el trabajo realizado por una fuerza
no conservativa no es recuperable.

6. Ejemplos de Fuerzas Conservativas y no
Conservativas
Fuerzas Conservativas:
- Fuerza ejercida por un resorte ideal
- Gravedad
- Electrostática
- Magnética
Fuerzas no Conservativas:
- Fuerza de Fricción
- Fuerzas de Amortiguamiento
dependientes de la velocidad

7. Trabajo realizado por la gravedad
en un circuito cerrado
WABCDA = 0
La fuerza de
gravedad es
conservativa

8. Energía Potencial Gravitatoria
La Energía Potencial Gravitacional
está asociada a la fuerza peso y se
define como:
U g = U ( y ) = mgy
De esta definición se deduce
que Ug: es una M. F. Escalar;
que su unidad es 1 joule = 1 J
y que depende de la posición
vertical y, con respecto a un
nivel de referencia arbitrario.

9. Energía Potencial Gravitatoria
El trabajo hecho por la fuerza peso
sobre un cuerpo de masa m, que se
desplaza desde yi hasta yf , es igual a:
⎣ ( )
W (Fg ) = − ΔUg = − ⎡Ug y f − Ug ( yi ) ⎤
⎦
W ( Fg ) = mgyi − mgy f

10. Energía Potencial Elástica
l0
La fuerza elástica ejercida por
un resorte es conservativa
x Al estar un resorte estirado o comprimido
una distancia x, con respecto a su largo
natural, la energía se almacena como
energía potencial elástica.
La energía potencial elástica
se define como:
1
U k = U ( x ) = kx 2
2

11. Energía Potencial Elástica
De esta definición se deduce que Uk:
es una M. F. Escalar; que su unidad
es 1 joule = 1 J y que depende de la
deformación x, con respecto al largo
natural del resorte.
U
1 2
U k = kx
2
x

12. Energía Potencial Elástica
El trabajo hecho por la fuerza elástica
sobre un resorte de constante k, que se
desplaza desde xi hasta xf , es igual a:
⎣ ( )
W(Fk ) = − ΔUk = − ⎡Uk xf −Uk ( xi ) ⎤
⎦
1 2 1 2
W (Fk ) = k xi − k x f
2 2
¡ Depende solamente de su
deformación inicial y final !

13. Fuerzas No Conservativas
A B
La fuerza de roce es una fuerza no conservativa, ya que
disipa energía en forma de calor, por efecto de la fricción
entre el objeto y la superficie sobre la cual se mueve.
De esta manera es evidente que habrá mayor disipación si
movemos el objeto por la trayectoria circunferencial, que por
la trayectoria recta, al ir desde A hasta B.

14. Trabajo realizado por el Roce
W ABCDA ≠ 0
La fricción es
una fuerza no
conservativa

15. Fuerzas Conservativas y
Energía Potencial
Teníamos que para fuerzas conservativas el trabajo lo
podíamos escribir como:
( )
W ( Fc ) = ∫ Fc dx = − ΔU = U ( xi ) − U x f
W ( Fc ) = Ui − U f = −ΔU
Llamamos a la función U la energía potencial asociada a la
fuerza conservativa del sistema.
U f ( x ) = −∫ Fcdx +Ui

16. Conservación de la Energía Mecánica
Por el teorema del trabajo y la energía visto en el
capítulo anterior, se tiene que:
W ( FR ) = K f − K i
Pero, por otro lado, si la fuerza que realiza el trabajo
es conservativa, el trabajo lo podemos escribir como:
W ( Fc ) = U i − U f = − ΔU
Igualando ambas expresiones para el trabajo se tiene:
K i + U i = K f + U f = cte .
¡ Hay “algo” que se conserva !

17. Conservación de la Energía Mecánica
Si definimos: E ≡ K (v ) + U ( x )
Donde: E = Energía Mecánica del sistema
Ef = K f +Uf Ei = K i + U i
De la expresión de la diapositiva anterior se tiene:
E i = E f = cte .
¡Si sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas,
entonces, la energía mecánica se conserva en todo instante!

18. Principio de conservación: caso gravitacional
1 1
mv i + mgyi = mv 2 + mgy f
2
2 2 f
Principio de conservación: caso fuerza elástica
1 1 2 1 1 2
mvi + kxi = mv f + kx f
2 2
2 2 2 2
Conservación de la Energía Mecánica
Si más de una fuerza conservativa actúa sobre un cuerpo,
entonces, una energía potencial se asocia a cada fuerza y el
principio de conservación de la energía mecánica se generaliza a:
K i + ∑ Ui = K f + ∑ U f

19. Ejemplo
Un bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una
superficie inclinada sin roce.
Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una
rapidez v cuando llega a él.
Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo,
¿cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque?
A. 1h
B. 2h
C. 3h
D. 4h
E. 5h
F. 6h

20. Datos: μ=0
v1i = 0 m/s h1i = h v1f = v h1f = 0 m
v2i = 0 m/s h2i = ? v2f = 2v h2f = 0 m
m y
N
m
h2i m
h1i m 0
θ v1f x
θ
v 2f
P

21. Del DCL se deduce que la única fuerza que realiza trabajo,
en los dos casos, es el peso, que es una fuerza conservativa.
Luego: E1i = E1f y por definición de E:
K1i + U1i = K1f + U1f y por definición de K y Ug:
1 v2
m gh 1i = 2
m v 1f → h =
2 2g
Análogamente:
1 4 v2
m gh 2i = 2
m v 2f → h 2i =
2 2g
Luego: h2i = 4 h

22. Ejemplo
Un bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una
superficie inclinada sin roce.
Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una
rapidez v cuando llega a él.
Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo,
¿cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque?
A. 1h
B. 2h
C. 3h
D. 4h
E. 5h
F. 6h

23. Fuerzas No Conservativas
En sistemas físicos reales, en general, se presentan fuerzas
no conservativas, como la fricción. Dichas fuerzas cambian
la energía mecánica del sistema
Si hay fuerzas no
conservativas: ΔE = Δ K + ΔU ≠ 0
Esa diferencia corresponde al trabajo realizado por las
fuerzas no conservativas.
W ( Fnc ) = Δ E

24. Relación entre Fuerzas Conservativas
y Energía Potencial
Antes, teníamos que la relación entre el trabajo y la energía
potencial se podía escribir, en forma integral, de la siguiente
manera:
x
∫ F dx =
x − ΔU
En forma diferencial esta relación se puede escribir:
dU ( x)
F ( x) = −
dx
¡ Una fuerza es conservativa si es igual a menos la derivada
de la energía potencial U !

25. Fuerza del resorte:
1
U = kx 2
Si la energía potencial está dada por:
2
dU d ⎛1 2⎞
F =− =− ⎜ 2 kx ⎟ = − kx
dx dx ⎝ ⎠
Que corresponde a la fuerza restauradora en el resorte.
Fuerza gravitacional:
Si la energía potencial está dada por: U = mgy
dU d
F =− =− ( m gy ) = − m g
dy dy
Que corresponde a la fuerza peso.

26. Diagramas de energía
El gráfico de la energía potencial
para un resorte es:
U
xmin x=0 xmax
1 2
Uk = kx
2
E
x
0
xmin xmax
Las posiciones de equilibrio estable corresponden a aquellos
puntos para los cuales Uk(x) tiene un valor mínimo.

27. x=0
vi
v
x
− vi xmax

29. Ejemplo:
Un esquiador, que parte del reposo, se desliza bajando
por la nieve (sin roce), como muestra la figura. ¿Cuál es
la rapidez del esquiador en la meta?
Partida Como sólo hace trabajo el peso y es
una fuerza conservativa, entonces:
E = cte. ⇒ Ki + Ui = Kf + Uf
1
H=40 m mgH = mv 2
f ⇒ vf = 2 gH
2
y
Meta
0 L=250 m 28,0 m/s

30. Principio de Conservación de la
Energía
La energía total de un sistema aislado es
constante.
Luego, la energía no puede crearse, ni
destruirse.
La energía, sólo, puede transformarse de una
forma en otra y/o puede traspasarse de un
cuerpo a otro.
La energía total del Universo es constante.

31. Transfiriendo energía
Realizando trabajo
Aplicando una
fuerza se produce
un cambio en el
estado de
movimiento de un
cuerpo

32. Transfiriendo energía
Calor
El proceso de
transferencia de
calor se realiza por
medio de
colisiones entre
moléculas

33. Transfiriendo energía
Ondas mecánicas
Una perturbación
se propaga a través
de un medio.
Ejemplos: sonido,
ondas en el agua,
sismos.

34. Transfiriendo energía
Energía eléctrica
Transferida por la
corriente eléctrica
Se transforma en
energía calórica

35. Transfiriendo energía
Radiación
electromagnética
Cualquier tipo de onda
electromagnética
Luz, microondas, ondas
de radio, etc.