Trabajo y energia

1. Capítulo 8C – Conservación de energíaCapítulo 8C – Conservación de energía
Presentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University
© 2007

2. Una cascada en el
Parque Yellowstone
proporciona un
ejemplo de energía
en la naturaleza. La
energía potencial
del agua en la cima
se convierte en
energía cinética en
el fondo.

3. Objetivos: Después de completarObjetivos: Después de completar
este módulo, deberá:este módulo, deberá:
• Definir y dar ejemplos de fuerzasDefinir y dar ejemplos de fuerzas
conservativasconservativas yy no conservativasno conservativas..
• Definir y aplicar el concepto deDefinir y aplicar el concepto de
conservación de energía mecánicaconservación de energía mecánica parapara
fuerzas conservativas.fuerzas conservativas.
• Definir y aplicar el concepto deDefinir y aplicar el concepto de
conservación de energía mecánica queconservación de energía mecánica que
explique lasexplique las pérdidas por fricciónpérdidas por fricción..

4. Energía potencialEnergía potencial
LaLa energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar
trabajo en virtud de la posición o condición.
LaLa energía potencialenergía potencial es la habilidad para realizar
trabajo en virtud de la posición o condición.
Tierra
mg
h
m
Ejemplo:Ejemplo: Una masa que se
mantiene a una distancia h sobre
la Tierra.
Si se libera, la Tierra puede
realizar trabajo sobre la masa:
Trabajo = mghTrabajo = mgh
¿Este trabajo es + o - ?¿Este trabajo es + o - ?¡Positivo!

5. Energía potencial gravitacionalEnergía potencial gravitacional
LaLa energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual ales igual al
trabajo que se puede realizartrabajo que se puede realizar PORPOR la gravedadla gravedad
debido a la altura sobre un punto específico.debido a la altura sobre un punto específico.
LaLa energía potencial gravitacional Uenergía potencial gravitacional U es igual ales igual al
trabajo que se puede realizartrabajo que se puede realizar PORPOR la gravedadla gravedad
debido a la altura sobre un punto específico.debido a la altura sobre un punto específico.
U = mghU = mgh E.P. gravitacionalE.P. gravitacional
Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial cuando un¿Cuál es la energía potencial cuando un
bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?
U = mgh =U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s(10 kg)(9.8 m/s22
)(20 m))(20 m)
U = 1960 JU = 1960 J

6. El origen de la energía potencialEl origen de la energía potencial
LaLa energía potencialenergía potencial es una propiedad deles una propiedad del
sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tienesistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene
energía potencial sin el otro.energía potencial sin el otro.
LaLa energía potencialenergía potencial es una propiedad deles una propiedad del
sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tienesistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene
energía potencial sin el otro.energía potencial sin el otro.
El trabajo realizadoEl trabajo realizado
por la fuerza depor la fuerza de
elevaciónelevación FF
proporciona energíaproporciona energía
potencial positivapotencial positiva,,
mghmgh,, al sistemaal sistema
Tierra-cuerpo.Tierra-cuerpo.
Sólo fuerzasSólo fuerzas externasexternas pueden agregar o quitar energíapueden agregar o quitar energía.
mg
h
F

7. Fuerzas conservativasFuerzas conservativas
UnaUna fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que hacees aquella que hace
trabajo cero durante un viaje redondo.trabajo cero durante un viaje redondo.
UnaUna fuerza conservativafuerza conservativa es aquella que hacees aquella que hace
trabajo cero durante un viaje redondo.trabajo cero durante un viaje redondo.
mg
h
F
El peso es conservativo.El peso es conservativo.
El trabajo realizado por laEl trabajo realizado por la
Tierra en el viaje haciaTierra en el viaje hacia
arriba es negativo,arriba es negativo, - mgh- mgh
El trabajo de regresoEl trabajo de regreso
es positivo,es positivo, +mgh+mgh
Trabajo neto = - mgh + mgh = 0Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

8. La fuerza de resorteLa fuerza de resorte
La fuerza ejercida por unLa fuerza ejercida por un resorteresorte
también estambién es conservativa.conservativa.
Cuando se estira, el resorteCuando se estira, el resorte
realiza trabajo negativo,realiza trabajo negativo, - ½kx- ½kx22
..
Al liberarse, el resorte realizaAl liberarse, el resorte realiza
trabajo positivo,trabajo positivo, + ½kx+ ½kx22
Fx
m
F
x
m
Trabajo neto = 0 (conservativa)Trabajo neto = 0 (conservativa)

9. Independencia de la trayectoriaIndependencia de la trayectoria
El trabajo realizado por lasEl trabajo realizado por las fuerzasfuerzas
conservativasconservativas es independiente de la trayectoria.es independiente de la trayectoria.
El trabajo realizado por lasEl trabajo realizado por las fuerzasfuerzas
conservativasconservativas es independiente de la trayectoria.es independiente de la trayectoria.
A
C
B
C
A B
Fuerza
debida a la
gravedad
mg
Trabajo (A C) = Trabajo (A B C) ¿Por qué?Porque sólo el componente vertical del
peso realiza trabajo contra la gravedad.

10. Fuerzas no conservativasFuerzas no conservativas
El trabajo realizado porEl trabajo realizado por fuerzas no conservativasfuerzas no conservativas nono
se puede restaurar. La energía se pierde y no sese puede restaurar. La energía se pierde y no se
puede recuperar.puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!
El trabajo realizado porEl trabajo realizado por fuerzas no conservativasfuerzas no conservativas nono
se puede restaurar. La energía se pierde y no sese puede restaurar. La energía se pierde y no se
puede recuperar.puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!¡Es dependiente de la trayectoria!
LasLas fuerzas de fricciónfuerzas de fricción son fuerzas no conservativas.son fuerzas no conservativas.
B
A
f f
m
A B

11. El trabajo de las fuerzasEl trabajo de las fuerzas
conservativas es independiente de lconservativas es independiente de l
trayectoria:trayectoria:
A
B
C
Para fuerza gravitacional:Para fuerza gravitacional:
(Trabajo)(Trabajo)ABAB= -(Trabajo)= -(Trabajo)BCABCA
Trabajo neto ceroTrabajo neto cero
Para fuerza de fricción:Para fuerza de fricción:
(Trabajo)(Trabajo)ABAB ≠≠ -(Trabajo)-(Trabajo)BCABCA
El trabajo realizado contra la fricción esEl trabajo realizado contra la fricción es
mayor para la trayectoria más larga (BCD).mayor para la trayectoria más larga (BCD).
El trabajo realizado contra la fricción esEl trabajo realizado contra la fricción es
mayor para la trayectoria más larga (BCD).mayor para la trayectoria más larga (BCD).

12. Energía potencialEnergía potencial
almacenadaalmacenadaEl trabajo realizado por una fuerza conservativaEl trabajo realizado por una fuerza conservativa
sese almacenaalmacena en el sistema como energíaen el sistema como energía
potencial.potencial.
m
xox
F(x) = kx para comprimir El desplazamiento es
x
La energía potencial es
igual al trabajo realizado
para comprimir el resorte:
La energía potencial es
igual al trabajo realizado
para comprimir el resorte:
Energía potencial de
resorte comprimido:
2
2
1
kxTrabajoU ==

13. Conservación de energíaConservación de energía
(Fuerzas conservativas)(Fuerzas conservativas)
En ausencia de fricción, la suma de las energías
potencial y cinética es una constante, siempre
que no se agregue energía al sistema.
En ausencia de fricción, la suma de las energías
potencial y cinética es una constante, siempre
que no se agregue energía al sistema.
vf
v
y mg
v = 0h
0
En lo alto: Uo = mgh; Ko = 0
En y: Uo = mgy; Ko = ½mv2
En y=0: Uo = 0; Ko = ½mvf
2
E = U + K = ConstanteE = U + K = Constante

14. Energía total constanteEnergía total constante
para un cuerpo que caepara un cuerpo que cae
vf
v
y
K = 0h
0
ARRIBA: E = U + K = mghARRIBA: E = U + K = mgh
En cualquier y:En cualquier y:
E = mgh + ½mvE = mgh + ½mv22
mgh =mgh = mgy + ½mvmgy + ½mv22
= ½mv= ½mvff
22
La E total es la misma enLa E total es la misma en
cualquier punto.cualquier punto.
U = 0
Fondo: E = ½mvFondo: E = ½mv22
(Desprecie la fricción del aire)

15. Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una bola deUna bola de 2 kg2 kg se libera desdese libera desde
una altura deuna altura de 20 m20 m. ¿Cuál es su velocidad. ¿Cuál es su velocidad
cuando su altura disminuye acuando su altura disminuye a 5 m5 m??
vv
5m5m
v = 0v = 020m20m
00
mgh = mgy + ½mvmgh = mgy + ½mv22
2gh = 2gy + v2gh = 2gy + v22
vv22
= 2g(h - y) == 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 5)2(9.8)(20 - 5)
v =v = (2)(9.8)(15)(2)(9.8)(15) v = 17.1 m/sv = 17.1 m/s
Earriba total = E total a 5 mEarriba total = E total a 5 m

16. Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de unaUna montaña rusa cae de una
altura máxima dealtura máxima de 100 ft100 ft. ¿Cuál es la. ¿Cuál es la
rapidez cuando llega a su punto másrapidez cuando llega a su punto más
bajo?bajo?
Suponga fricción cero:Suponga fricción cero:
Arriba:Arriba: U + K = mgh + 0U + K = mgh + 0
Abajo:Abajo: U + K = 0 + ½mvU + K = 0 + ½mv22
La energía total seLa energía total se
conservaconserva
v =v = (2)(32 ft/s(2)(32 ft/s22
)(100 ft))(100 ft)
mgh = ½mvmgh = ½mv22
v = 80 ft/sv = 80 ft/s
v = 2ghv = 2gh

17. Conservación de energía enConservación de energía en
ausencia de fuerzas de fricciónausencia de fuerzas de fricción
Comienzo:Comienzo: (U + K)(U + K)oo = Fin:= Fin: (U + K)(U + K)f
mghmghoo
½kx½kxoo
22
½mv½mvoo
22
==
mghmghff
½kx½kxff
22
½mv½mvff
22
¿Altura?¿Altura?
¿Resorte¿Resorte
??
¿Velocidad¿Velocidad
??
¿Altura?¿Altura?
¿Resorte?¿Resorte?
¿Velocidad¿Velocidad
??
La energía total es constante para un sistemaLa energía total es constante para un sistema
conservativo, como la gravedad o un resorte.conservativo, como la gravedad o un resorte.
La energía total es constante para un sistemaLa energía total es constante para un sistema
conservativo, como la gravedad o un resorte.conservativo, como la gravedad o un resorte.

18. Ejemplo 3.Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tieEl agua en el fondo de una cascada tie
una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft.una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft.
hhoo = 35 m; v= 35 m; vff = 30 m/s= 30 m/s22
¿Cuál es la rapidez del¿Cuál es la rapidez del
agua en lo alto de laagua en lo alto de la
cascada?cascada?
mghmghoo
½kx½kxoo
22
½mv½mvoo
22
¿Altura?¿Altura?
¿Resorte?¿Resorte?
¿Velocidad?¿Velocidad?
Sí (35 m)
No
Sí (vo)
Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada.
Suponga y = 0 en el fondo para punto de referencia.

19. Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascaEl agua en el fondo de la cascad
tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35
hhoo = 35 m; v= 35 m; vff = 30 m/s= 30 m/s22
¿Cuál es la rapidez del¿Cuál es la rapidez del
agua en lo alto de laagua en lo alto de la
cascada?cascada?
mghmghff
½kx½kxff
22
½mv½mvff
22
¿Altura?¿Altura?
¿Resorte?¿Resorte?
¿Velocidad¿Velocidad
??
No (0 m)
No
Sí (vf)
Luego elija el punto FINAL en el fondo de la
cascada:

20. Ejemplo 3 (Cont.)Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascaEl agua en el fondo de la cascad
tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35
hhoo = 35 m; v= 35 m; vff = 30 m/s= 30 m/s22
¿Cuál es la rapidez del¿Cuál es la rapidez del
agua en lo alto de laagua en lo alto de la
cascada?cascada?
Energía total arriba = Energía total abajoEnergía total arriba = Energía total abajo
2 2 2 2
0 2 (25.8 m/s) 2(9.8 m/s )(33.2 m)fv v gh= − = −
2 2
0 14.9 m /sv = vo = 3.86 m/svo = 3.86 m/s
2 2
02 fgh v v+ =
2 21 1
02 20 fmgh mv mv+ = +

21. Ejemplo 4.Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicialUna bicicleta con velocidad inicial 1010
m/sm/s sube hasta una altura neta desube hasta una altura neta de 4 m4 m. ¿Cuál es. ¿Cuál es
la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción?la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción?
4 m
vf = ?
vo = 10 m/s
E(arriba) = E(abajo)E(arriba) = E(abajo)
EEarribaarriba = mgh + ½mv= mgh + ½mv22
EEabajoabajo = 0 + ½mv= 0 + ½mvoo
22
2 21 1
02 2fmv mgh mv+ = 2 21 1
02 2fv v gh= −
2 2 2 2
0 2 (10 m/s) 2(9.8 m/s )(4 m)fv v gh= − = −
2 2
21.6 m /sfv = vf = 4.65 m/svf = 4.65 m/s

22. Ejemplo 5:Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el¿Cuánto subirá, sobre el planoplano
inclinado de 30inclinado de 30oo
, el bloque de 2 kg después de, el bloque de 2 kg después de
liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m yliberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y
se comprime 8 cm.se comprime 8 cm.
ss
hh
3030oo
InicioInicio
FinFin
mghmghoo
½kx½kxoo
22
½mv½mvoo
22
==
mghmghff
½kx½kxff
22
½mv½mvff
22
½kx½kxoo
22
= mgh= mghffConservación de energía:Conservación de energía:
2 2
0
2
(2000 N/m)(0.08m)
2 2(2 kg)(9.8 m/s )
kx
h
mg
= = h = 0.327 mh = 0.327 m

23. Ejemplo (Cont.):Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plan¿Cuánto subirá, sobre el plan
inclinado de 30inclinado de 30oo
, el bloque de 2 kg después de, el bloque de 2 kg después de
liberarse? La constante de resorte es 2000 N/mliberarse? La constante de resorte es 2000 N/m
y se comprime 8 cm.y se comprime 8 cm.
ss
hh
3030oo
InicioInicio
FinFinContinúa:Continúa:
hh = 0.327 m = 32.7 cm= 0.327 m = 32.7 cm
sensen 3030oo
==
hh
ss
ss = == =
hh
sensen 3030oo
32.7 cm32.7 cm
sen 30sen 30oo
s = 65.3 cms = 65.3 cm

24. Conservación de energía yConservación de energía y
fuerzas no conservativas.fuerzas no conservativas.
Se deben explicar lasSe deben explicar las
fuerzas defuerzas de fricciónfricción. La. La
energía todavía seenergía todavía se
conserva, peroconserva, pero nono eses
reversible.reversible.
Se deben explicar lasSe deben explicar las
fuerzas defuerzas de fricciónfricción. La. La
energía todavía seenergía todavía se
conserva, peroconserva, pero nono eses
reversible.reversible.
f
Conservación de energía mecánicaConservación de energía mecánica
(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

25. Estrategias para resolución deEstrategias para resolución de
problemasproblemas
1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo.1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo.
2. Determine los puntos de referencia para2. Determine los puntos de referencia para
energía potencial gravitacional y/o resorte.energía potencial gravitacional y/o resorte.
3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y
plantee tres preguntas en cada punto:plantee tres preguntas en cada punto:
a. ¿Hay altura?a. ¿Hay altura? U = mghU = mgh
b. ¿Hay velocidad?b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2K = ½mv2
c. ¿Hay un resorte?c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2U = ½kx2

26. Resolución de problemas (continuaciónResolución de problemas (continuación
4. Aplique la regla para conservación de energía.4. Aplique la regla para conservación de energía.
mghmghoo
½kx½kxoo
22
½mv½mvoo
22
==
mghmghff
½kx½kxff
22
½mv½mvff
22
+
TrabajoTrabajo
contracontra
fricción:fricción:
ffkk xx
5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del
trabajo de fricción. (Pérdida de energía)trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

27. Ejemplo 6Ejemplo 6:: Una masaUna masa mm se conecta a una cuerdase conecta a una cuerda
longitudlongitud LL y se mantiene horizontalmente como sey se mantiene horizontalmente como se
muestra. ¿Cuál será la velocidad en el puntomuestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto BB? (? (d
12 m, L = 20 m)12 m, L = 20 m)
B
L vc
r
d
1. Dibuje y etiquete.
2. Comience en A y
termine en B.
3. Referencia U = 0.
U = 0
(U + K)o =(U + K)f + pérdida
0
mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc
2 (Multiplique por 2, simplifique)
2gL - 4gr = vc
2
Luego encuentre r de la figura.
A

28. Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.):: Una masaUna masa mm se conecta a una cuerdse conecta a una cuerd
de longitudde longitud LL y se mantiene horizontalmente como sey se mantiene horizontalmente como se
muestra. ¿Cuál será la velocidad en el puntomuestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto BB? (d =? (d =
m, L = 20 m)m, L = 20 m)
2gL - 4gr = v2gL - 4gr = vcc
22
r = L - dr = L - d
r = 20 m - 12 m = 8 mr = 20 m - 12 m = 8 m
B
L vc
r
d
U = 0
A
vvcc
22
= 2(9.8 m/s= 2(9.8 m/s22
)[20 m - (2)(8 m)])[20 m - (2)(8 m)]
vvcc
22
=2gL - 4gr = 2g(L - 2r)=2gL - 4gr = 2g(L - 2r)
vvcc == 2(9.8 m/s2(9.8 m/s22
)(4 m))(4 m) vvcc = 8.85 m/s= 8.85 m/svvcc = 8.85 m/s= 8.85 m/s

29. Ejemplo 7Ejemplo 7:: Una masaUna masa mm dede 2 kg2 kg ubicadaubicada 10 m10 m
sobre el suelo comprime un resortesobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm. La. La
constante de resorte esconstante de resorte es 40,000 N/m40,000 N/m yy µµkk = 0.4= 0.4..
¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?
hh
2 kg2 kg
ss
3030oo
mgmg
ff nn
mg sen 30mg sen 30oo
mg cos 30mg cos 30oo
3030oo
InicioInicio
FinFin
Conservación:Conservación: mgh + ½kxmgh + ½kx22
= ½mv= ½mv22
+ f+ fkkxx
(trabajo)(trabajo)ff = (= (µµkknn) x =) x = µµκκ((mg cos 30mg cos 30oo
)) xx
continúa . . .continúa . . .

30. Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.):: Una masaUna masa mm dede 2 kg2 kg ubicadaubicada
10 m10 m sobre el suelo comprime un resortesobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm
La constante del resorte esLa constante del resorte es 40,000 N/m40,000 N/m yy µµkk ==
0.40.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?
hh
2 kg2 kg
xx
3030oo
10 m10 m
ffkkx =x = µµκκ((mg cos 30mg cos 30oo
)) xx
mgh + ½kxmgh + ½kx22
= ½mv= ½mv22
+ f+ fkkxx
ffkkxx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2
)(0.866)(20 m) = 136 J
x = = 20 m
10 m
sin 30o
mgh = (2 kg)(9.8 m/s2
)(10 m) = 196 J
½kx½kx22
= ½= ½(40,000 N/m)(0.06 m)(40,000 N/m)(0.06 m)22
== 72.0 J72.0 J

31. Ejemplo (Cont.)Ejemplo (Cont.):: Una masaUna masa mm dede 2 kg2 kg ubicadaubicada
10 m10 m sobre el suelo comprime un resortesobre el suelo comprime un resorte 6 cm6 cm
La constante de resorte esLa constante de resorte es 40,000 N/m40,000 N/m yy µµkk ==
0.40.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?
h
2 kg
x
30o
10 m
mgh + ½kxmgh + ½kx22
= ½mv= ½mv22
+ f+ fkkxx
ffkkxx = 136 J= 136 J
mghmgh = 196 J= 196 J ½kx½kx22
= 72.0 J= 72.0 J
½mv½mv22
= mgh + ½kx= mgh + ½kx22
- f- fkkxx
½½(2 kg)(2 kg) vv22
== 196 J + 72 J - 136 J = 132 J196 J + 72 J - 136 J = 132 J
v =11.4 m/sv =11.4 m/s

32. Resumen:Resumen:
Ganancias o pérdidas de energíaGanancias o pérdidas de energía
U = mghU = mgh
21
2U kx=
Energía potencial gravitacionalEnergía potencial gravitacional
Energía potencial de resorteEnergía potencial de resorte
Fricción contra trabajoFricción contra trabajo Trabajo = fxTrabajo = fx
Energía cinéticaEnergía cinética 21
2K mv=

33. Resumen:Resumen:
Conservación de energíaConservación de energía
Regla básica para conservación de energía:
mghmghoo
½kx½kxoo
22
½mv½mvoo
22
==
mghmghff
½kx½kxff
22
½mv½mvff
22
+
TrabajoTrabajo
contracontra
fricción:fricción:
ffkk xx
Recuerde usar el valor absoluto (+) del
trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

34. CONCLUSIÓN: Capítulo 8CCONCLUSIÓN: Capítulo 8C
Conservación de energíaConservación de energía