Este documento presenta los conceptos de valores y vectores propios de una matriz. Explica que un valor propio es un escalar λ tal que existe un vector v distinto de cero tal que Av = λv. Muestra ejemplos de cálculo de valores y vectores propios para matrices de diferentes tamaños, incluyendo el uso de la ecuación característica y la diagonalización de matrices cuando los valores propios son distintos.

1. Valores y vectores propios
Capítulo 5

2. 5. Valores y vectores propios
5.1 Definición y cálculo de valores propios
5.2 Diagonalización

3. 5.1 Definición y cálculo de valores y vectores
característicos
Definición:
Sea A una matriz de n × n. Se dice que un esca-
lar λ es un valor propio de A si existe un vector
v en Rn, distinto de cero, tal que
Av = λv
El vector v es el vector propio correspondiente
a λ.

4. Valores y vectores propios de una matriz de 2 × 2
10 −18
Sea A =    2 10 −18 2  2
 6 −11 A  =    =  
 1   6 −11 1   1 
 3 10 −18 3  −6  3
A  =    =   =−2 
 2  6 −11 2  −4  2
Entonces λ1 = 1 y λ2 = -2 son los valores propios y
v1 = (2, 1) y v2 = ( 3, 2) son los vectores propios
asociados.

5. Teorema
Sea A una matriz de n × n. Entonces λ es un
valor propio de A si y solo si
p (λ) = | A – λ I | = 0
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación ca-
racterística y p(λ) es el polinomio característico

6. Espacio característico
Sea λ un valor característico de A. El espacio Eλ
recibe el nombre de espacio característico de A
correspondiente al valor característico λ.
Eλ = {v: Av = λv}

7. Cálculo de valores y vectores propios
1. Encontrar p(λ) = | A - λI |
2. Encontrar las raíces 1, 2, ... , n de p(λ) = 0
3. Resolver el sistema homogéneo (A – λI) v = 0,
correspondiente a cada valor propio de λi.

8. Ejemplos
 4 2
A=  ; λ1 = 1, λ2 = 6;
 3 3
  −2    2  
    -  
E1 =  3 r , r ∈ R  = Gen  3 
 1    1  
     
v1 = (−2,3)
 1   1 
E6 =    s, s ∈ R  = Gen    
 1   1 
v 2 = (1,1)

9. Matriz de 3×3 con valores característicos distintos
 1 −1 4    −1    −1 
   

A =  3 2 −1
 E−2 =   1  s, s ∈ R  = Gen   1  
   
 2 1 −1  1    1  
       
1. A − λ I = −λ 3 + 2λ 2 + 5λ − 6 v 2 = ( −1,1,1)
2. p (λ ) = −(λ 3 − 2λ 2 − 5λ + 6) = 0  1   1  
   
(λ − 1)(λ + 2)(λ − 3) = 0 E3 =   2  t , t ∈ R  = Gen   2  
   
 1   1  
λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3      
  −1    −1  v 3 = (1, 2,1)
   
3. E1 =   4  r , r ∈ R  = Gen   4  
   
 1    1  
     
v1 = (−1, 4,1)

10. Matriz con un solo valor propio repetido y un vector propio
4 1
A= 
0 4
4−λ 1 
1. A − λI =   = (4 − λ ) 2
 0 4−λ
 0 1   x1   0 
2. p ( λ ) = (4 − λ ) 2 = 0 3. ( A − 4I ) v =   y  =  
0 0 1  0
λ1 = λ 2 = 4
 1    1  
E4 =    r , r ∈ R  = Gen    
 0    0  
v1 = (1, 0)

11. Matriz de 3×3 con un solo valor propio repetido y dos
vectores propios
 −1 −3 −9 
  2. p ( λ ) = − ( λ + 1) 3 = 0
A= 0 5 18 
 0 −2 −7  λ1 = λ 2 = λ3 = − 1
 
1. A − λ Ι = − ( λ + 1) 3
 0 −3 −9   x1   0 
    
3. ( A − λ1I ) v =  0 6 18   y1  =  0 
 0 −2 −6   z   0 
  1   
 1   0    1   0  
      
E−1 =  0  r +  −3  s; r , s ∈ R  = Gen   0  ,  −3 
   
 0   1   0  1  
         
v1 = (1, 0, 0); v 2 = (0, −3,1)

12. 5.2 Diagonalización
Sean A y D matrices n×n. Se dice que D es simi-
lar a A si existe una matriz invertible P tal que
D = P-1AP
 7 −10   2 5
A= , P =  
 3 −4   1 3
−1  2 0
D = P AP =  
0 1

13. Definición
Una matriz A de n×n es diagonalizable si existe
una matriz diagonal D tal que A sea similar a D.
Si la matriz A de n×n tiene n valores propios dis-
tintos, entonces A es diagonalizable.

14. Ejemplo
4 2
A =   ; λ 1 = 1, λ 2 = 6 ;
3 3
v 1 = ( − 2 , 3 ) , v 2 = (1, 1)
 −2 1
P = [ v1 v 2 ] =  
 3 1
−1 1 0
D = P AP =  
 0 6