Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre espacios vectoriales. El primer ejercicio determina el valor de x para que un vector pertenezca a un subespacio. El segundo calcula bases de subespacios de R4. El tercero encuentra una base y dimensión de un subespacio de R4. El cuarto prueba que un conjunto de vectores es una base y calcula coordenadas de un vector respecto a esa base.
El documento define la función arcoseno hiperbólico, su gráfica e fórmula explícita. Explica que la función arcoseno hiperbólico es la inversa de la función seno hiperbólico y mapea de -infinito a +infinito. Deriva la fórmula arcsinh x = log x + x^2 + 1 que representa el arcoseno hiperbólico de x para cualquier número real x.
Este documento lista las reglas de derivación para una variedad de funciones, incluyendo sumas, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Proporciona las fórmulas para derivar cada función con respecto a la variable independiente así como la derivada de la función.
Solucionario fundamentos-de-electromagnetismo-para-ingenieria-david-k-chengAbril Bello
A empresa está enfrentando desafios financeiros devido à queda nas vendas e precisa cortar custos. O diretor financeiro recomenda demitir funcionários para economizar em folha de pagamento ou negociar reduções salariais para evitar demissões. Também sugere adiar investimentos não essenciais para preservar caixa.
El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.
Este documento presenta un resumen de los principales temas relacionados con el análisis de Fourier y las series de Fourier. Explica conceptos como funciones periódicas, componentes de directa, fundamental y armónicos, ortogonalidad de funciones seno y coseno, y cálculo de coeficientes de la serie de Fourier. El objetivo es aplicar estas herramientas al modelado y análisis de sistemas eléctricos bajo condiciones no senoidales.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de la matriz inversa, división izquierda de matriz, y los comandos solve y linsolve de MATLAB. Se explican conceptos como sistemas compatibles, determinados e indeterminados. También contiene un ejemplo resuelto de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la matriz inversa y división izquierda.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesMateoLeonidez
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde determinar si una ecuación diferencial es lineal o no lineal, hasta resolver ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos como separación de variables, sustituciones homogéneas y condiciones iniciales. El documento proporciona instrucciones sobre cómo resolver los ejercicios y dónde encontrar soluciones de referencia.
El documento define la función arcoseno hiperbólico, su gráfica e fórmula explícita. Explica que la función arcoseno hiperbólico es la inversa de la función seno hiperbólico y mapea de -infinito a +infinito. Deriva la fórmula arcsinh x = log x + x^2 + 1 que representa el arcoseno hiperbólico de x para cualquier número real x.
Este documento lista las reglas de derivación para una variedad de funciones, incluyendo sumas, productos, cocientes, funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas. Proporciona las fórmulas para derivar cada función con respecto a la variable independiente así como la derivada de la función.
Solucionario fundamentos-de-electromagnetismo-para-ingenieria-david-k-chengAbril Bello
A empresa está enfrentando desafios financeiros devido à queda nas vendas e precisa cortar custos. O diretor financeiro recomenda demitir funcionários para economizar em folha de pagamento ou negociar reduções salariais para evitar demissões. Também sugere adiar investimentos não essenciais para preservar caixa.
El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.
Este documento presenta un resumen de los principales temas relacionados con el análisis de Fourier y las series de Fourier. Explica conceptos como funciones periódicas, componentes de directa, fundamental y armónicos, ortogonalidad de funciones seno y coseno, y cálculo de coeficientes de la serie de Fourier. El objetivo es aplicar estas herramientas al modelado y análisis de sistemas eléctricos bajo condiciones no senoidales.
Soluciones de sistema de ecuaciones en MatlabHugo Piure
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de la matriz inversa, división izquierda de matriz, y los comandos solve y linsolve de MATLAB. Se explican conceptos como sistemas compatibles, determinados e indeterminados. También contiene un ejemplo resuelto de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas usando la matriz inversa y división izquierda.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesMateoLeonidez
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde determinar si una ecuación diferencial es lineal o no lineal, hasta resolver ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos como separación de variables, sustituciones homogéneas y condiciones iniciales. El documento proporciona instrucciones sobre cómo resolver los ejercicios y dónde encontrar soluciones de referencia.
Este documento trata sobre señales sinusoidales y series de Fourier. Explica que muchos fenómenos físicos generan señales sinusoidales y que muchas señales pueden aproximarse como combinaciones de señales sinusoidales. Luego describe las propiedades de las señales sinusoidales, incluyendo amplitud, frecuencia, fase y período. Finalmente, introduce las series de Fourier como una representación de señales periódicas como suma de señales sinusoidales.
Este documento explica el sistema de coordenadas polares, en el cual la posición de un punto se define por su distancia (r) al polo y el ángulo (θ) desde el eje polar hasta el punto. También compara las coordenadas polares con las coordenadas cartesianas y proporciona fórmulas y ejemplos para convertir entre los dos sistemas de coordenadas. Además, muestra cómo graficar ecuaciones dadas en coordenadas polares.
Ejercicos y problemas de interpolacion de lagrange.Sergio Riveros
El documento presenta 10 problemas de interpolación que involucran hallar polinomios de interpolación de Lagrange dados diferentes conjuntos de puntos, y evaluar dichos polinomios en diferentes valores. Los problemas implican datos de experimentos químicos y físicos.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento resume 8 casos comunes de pruebas de hipótesis estadísticas, incluyendo pruebas Z, T, F y Chi cuadrado. Para cada caso, se especifica la hipótesis nula Ho y alternativa Ha, la estadística de prueba utilizada, y el criterio para rechazar la hipótesis nula.
(1) El documento describe la serie de Fourier y las funciones periódicas.
(2) Euler descubrió en 1744 que la función (π-t)/2 puede aproximarse mediante una serie de senos.
(3) Daniel Bernoulli propuso en 1753 resolver el problema de ondas mediante la superposición de ondas senos y cosinos con nodos.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo graficar y analizar datos experimentales. Explica cómo representar tablas de valores mediante gráficos, ajustar puntos a una línea recta, y graficar datos con ejes lineales, semilogarítmicos y logarítmicos. También describe cómo aplicar el método de los mínimos cuadrados y expresar resultados con cifras significativas. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los conceptos.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
Este documento presenta varios ejercicios de dinámica que involucran conceptos como fuerzas, masas, aceleraciones y tensiones. Los ejercicios incluyen problemas sobre bloques en movimiento, ascensores y trineos deslizándose sobre nieve. Se calculan cantidades como aceleraciones, velocidades, tensiones de cuerdas y fuerzas de rozamiento para cada situación.
Una función es monótona si conserva el orden entre los elementos de los conjuntos ordenados sobre los que opera. Las funciones monótonas pueden ser crecientes, cuando una entrada menor implica un resultado menor, o decrecientes, cuando una entrada menor implica un resultado mayor. Para ser monótona, una función solo necesita conservar el orden y no invertirlo.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluidos isoclinas, campos de dirección y el método de Euler. Las isoclinas son curvas que muestran la pendiente de la solución en cada punto, lo que permite trazar un campo de dirección aproximado. El método de Euler aproxima la solución tomando la pendiente dada por la ecuación diferencial y trazando una recta tangente, cuya intersección con el siguiente punto da la siguiente aproximación. Se recomienda dividir el intervalo en pasos más pequeños para mejorar
Este documento presenta un extenso formulario de física para el segundo año de bachillerato que incluye fórmulas sobre cálculo vectorial, interacción gravitatoria, movimiento armónico simple, movimiento ondulatorio y óptica. El formulario está organizado por temas y proporciona las fórmulas fundamentales de cada uno con sus respectivas unidades y definiciones.
El documento presenta la solución a un problema de física cuántica. Se calcula el nivel de energía de un electrón confinado en una caja unidimensional de 0,200 nm de ancho, dibujando el diagrama de niveles hasta n=4. Luego se calculan las longitudes de onda de los fotones emitidos en las transiciones entre los diferentes niveles de energía al decaer el electrón del estado n=4 al n=1.
El sistema consta de un cilindro sólido uniforme, una polea y un bloque colgado de un hilo. Al liberarse del reposo, el cilindro rueda sin fricción sobre la mesa y la polea gira sin fricción sobre su eje, transmitiendo movimiento al bloque a través del hilo. El análisis del momento de inercia y torque en cada elemento muestra que la aceleración hacia abajo del bloque será igual a la gravedad dividida por 3.
Un objeto de 4 kg está sometido a dos fuerzas y se encuentra inicialmente en reposo. La aceleración del objeto es de 1.5 m/s2 en la dirección x e -3.5 m/s2 en la dirección y. A los 3 segundos, la velocidad es de 4.5 m/s en x y -10.5 m/s en y, y la posición es de 6.75 m en x y -15.8 m en y.
Este documento describe las transformaciones lineales. Explica que son funciones que preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalar. Define una transformación lineal como aquella que cumple T(u+v)=T(u)+T(v) y T(au)=aT(u) para todos los vectores u, v y escalares a. También introduce conceptos como el kernel, la imagen, los valores y vectores propios de una transformación lineal.
Este informe presenta los resultados de un experimento para determinar la constante elástica de un resorte utilizando un sistema masa-resorte vertical. Se midió el periodo de oscilación para diferentes amplitud y se graficó peso vs desplazamiento para calcular la constante. La constante del resorte individual fue de aproximadamente 5.08 N/m y la constante equivalente de dos resortes en paralelo fue de 10.2 N/m. El periodo promedio fue de 0.66 segundos e independiente de la amplitud.
1) El documento explica la continuidad de funciones de dos variables y cómo determinar si una función es continua en un punto. 2) También describe propiedades de funciones continuas como sumas, productos y cocientes. 3) Explica que las derivadas parciales indican cómo cambia una función respecto a cada variable independientemente.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento contiene 8 ejercicios de álgebra lineal que involucran conceptos como subespacios vectoriales, bases, rangos de matrices y dependencia lineal de vectores. En general, los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son subespacios, encontrar bases, expresar polinomios como combinaciones lineales y analizar la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
Este documento trata sobre señales sinusoidales y series de Fourier. Explica que muchos fenómenos físicos generan señales sinusoidales y que muchas señales pueden aproximarse como combinaciones de señales sinusoidales. Luego describe las propiedades de las señales sinusoidales, incluyendo amplitud, frecuencia, fase y período. Finalmente, introduce las series de Fourier como una representación de señales periódicas como suma de señales sinusoidales.
Este documento explica el sistema de coordenadas polares, en el cual la posición de un punto se define por su distancia (r) al polo y el ángulo (θ) desde el eje polar hasta el punto. También compara las coordenadas polares con las coordenadas cartesianas y proporciona fórmulas y ejemplos para convertir entre los dos sistemas de coordenadas. Además, muestra cómo graficar ecuaciones dadas en coordenadas polares.
Ejercicos y problemas de interpolacion de lagrange.Sergio Riveros
El documento presenta 10 problemas de interpolación que involucran hallar polinomios de interpolación de Lagrange dados diferentes conjuntos de puntos, y evaluar dichos polinomios en diferentes valores. Los problemas implican datos de experimentos químicos y físicos.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento resume 8 casos comunes de pruebas de hipótesis estadísticas, incluyendo pruebas Z, T, F y Chi cuadrado. Para cada caso, se especifica la hipótesis nula Ho y alternativa Ha, la estadística de prueba utilizada, y el criterio para rechazar la hipótesis nula.
(1) El documento describe la serie de Fourier y las funciones periódicas.
(2) Euler descubrió en 1744 que la función (π-t)/2 puede aproximarse mediante una serie de senos.
(3) Daniel Bernoulli propuso en 1753 resolver el problema de ondas mediante la superposición de ondas senos y cosinos con nodos.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo graficar y analizar datos experimentales. Explica cómo representar tablas de valores mediante gráficos, ajustar puntos a una línea recta, y graficar datos con ejes lineales, semilogarítmicos y logarítmicos. También describe cómo aplicar el método de los mínimos cuadrados y expresar resultados con cifras significativas. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los conceptos.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
Este documento presenta varios ejercicios de dinámica que involucran conceptos como fuerzas, masas, aceleraciones y tensiones. Los ejercicios incluyen problemas sobre bloques en movimiento, ascensores y trineos deslizándose sobre nieve. Se calculan cantidades como aceleraciones, velocidades, tensiones de cuerdas y fuerzas de rozamiento para cada situación.
Una función es monótona si conserva el orden entre los elementos de los conjuntos ordenados sobre los que opera. Las funciones monótonas pueden ser crecientes, cuando una entrada menor implica un resultado menor, o decrecientes, cuando una entrada menor implica un resultado mayor. Para ser monótona, una función solo necesita conservar el orden y no invertirlo.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones. En el primer ejercicio, se aplican los métodos de punto fijo y Newton-Raphson para encontrar raíces de dos ecuaciones. En el segundo ejercicio, se usan los métodos de bisección, Newton-Raphson y gráficas para aproximar raíces. Los siguientes ejercicios involucran aplicar métodos como secante, falsa posición y punto fijo para resolver ecuaciones.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluidos isoclinas, campos de dirección y el método de Euler. Las isoclinas son curvas que muestran la pendiente de la solución en cada punto, lo que permite trazar un campo de dirección aproximado. El método de Euler aproxima la solución tomando la pendiente dada por la ecuación diferencial y trazando una recta tangente, cuya intersección con el siguiente punto da la siguiente aproximación. Se recomienda dividir el intervalo en pasos más pequeños para mejorar
Este documento presenta un extenso formulario de física para el segundo año de bachillerato que incluye fórmulas sobre cálculo vectorial, interacción gravitatoria, movimiento armónico simple, movimiento ondulatorio y óptica. El formulario está organizado por temas y proporciona las fórmulas fundamentales de cada uno con sus respectivas unidades y definiciones.
El documento presenta la solución a un problema de física cuántica. Se calcula el nivel de energía de un electrón confinado en una caja unidimensional de 0,200 nm de ancho, dibujando el diagrama de niveles hasta n=4. Luego se calculan las longitudes de onda de los fotones emitidos en las transiciones entre los diferentes niveles de energía al decaer el electrón del estado n=4 al n=1.
El sistema consta de un cilindro sólido uniforme, una polea y un bloque colgado de un hilo. Al liberarse del reposo, el cilindro rueda sin fricción sobre la mesa y la polea gira sin fricción sobre su eje, transmitiendo movimiento al bloque a través del hilo. El análisis del momento de inercia y torque en cada elemento muestra que la aceleración hacia abajo del bloque será igual a la gravedad dividida por 3.
Un objeto de 4 kg está sometido a dos fuerzas y se encuentra inicialmente en reposo. La aceleración del objeto es de 1.5 m/s2 en la dirección x e -3.5 m/s2 en la dirección y. A los 3 segundos, la velocidad es de 4.5 m/s en x y -10.5 m/s en y, y la posición es de 6.75 m en x y -15.8 m en y.
Este documento describe las transformaciones lineales. Explica que son funciones que preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalar. Define una transformación lineal como aquella que cumple T(u+v)=T(u)+T(v) y T(au)=aT(u) para todos los vectores u, v y escalares a. También introduce conceptos como el kernel, la imagen, los valores y vectores propios de una transformación lineal.
Este informe presenta los resultados de un experimento para determinar la constante elástica de un resorte utilizando un sistema masa-resorte vertical. Se midió el periodo de oscilación para diferentes amplitud y se graficó peso vs desplazamiento para calcular la constante. La constante del resorte individual fue de aproximadamente 5.08 N/m y la constante equivalente de dos resortes en paralelo fue de 10.2 N/m. El periodo promedio fue de 0.66 segundos e independiente de la amplitud.
1) El documento explica la continuidad de funciones de dos variables y cómo determinar si una función es continua en un punto. 2) También describe propiedades de funciones continuas como sumas, productos y cocientes. 3) Explica que las derivadas parciales indican cómo cambia una función respecto a cada variable independientemente.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento contiene 8 ejercicios de álgebra lineal que involucran conceptos como subespacios vectoriales, bases, rangos de matrices y dependencia lineal de vectores. En general, los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son subespacios, encontrar bases, expresar polinomios como combinaciones lineales y analizar la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
Este documento contiene 10 problemas de álgebra lineal y vectores resueltos. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, vectores ortonormales, valores y vectores propios de una matriz, subespacios vectoriales y funciones lineales.
i. Un documento sobre álgebra lineal que describe propiedades de espacios vectoriales y subespacios vectoriales, incluyendo propiedades como la cerradura bajo suma y producto escalar, y teoremas como que la intersección de dos subespacios es también un subespacio.
Dimensión de un Espacio Y Subespacios Vectoriales algebragr4
Para hallar una base de un espacio vectorial, se deben cumplir dos pasos: 1) Encontrar un conjunto generador mediante vectores linealmente independientes. 2) Demostrar que dicho conjunto es linealmente independiente. Esto garantiza que el conjunto es una base del espacio vectorial.
Evaluación forma escalonada reducida por filas de una matrizalgebra
Este documento presenta 6 ejercicios de reducción de matrices a forma escalonada y escalonada reducida por filas, así como 5 preguntas de opción múltiple relacionadas con conceptos de álgebra lineal como pívot, elementos en cero y operaciones entre filas y columnas en este proceso.
Este documento describe las bases y dimensiones de los espacios vectoriales. Explica que una base está formada por vectores linealmente independientes que pueden generar todo el espacio vectorial. La dimensión de un espacio es igual al número de vectores en su base. Proporciona ejemplos de bases canónicas para Rn y cómo expresar vectores en términos de las coordenadas de una base dada.
Este documento describe cómo encontrar una base para un espacio vectorial (V, k, +, *). Explica que una base S de V debe ser linealmente independiente y generar todo el espacio V. Proporciona un ejemplo de que la dimensión de V es igual al número de vectores en una base S de V. A continuación, enumera los pasos para encontrar una base como hallar el conjunto generador y probar que el conjunto es linealmente independiente.
Este documento proporciona instrucciones paso a paso para realizar un análisis de varianza de un factor (ANOVA) en Excel. Explica cómo activar la herramienta de análisis de datos en Excel, ingresar los datos en una hoja de cálculo, seleccionar Análisis de varianza en un factor desde el menú de Análisis de datos, seleccionar el rango de datos de entrada, y obtener e interpretar los resultados del ANOVA.
1. El documento define el desarrollo por cofactores para calcular el determinante de una matriz.
2. Explica que los cofactores son números asociados a cada elemento de la matriz y que el determinante puede calcularse como la suma de los productos de cada elemento por su cofactor.
3. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de cofactores y determinante.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
Este documento explica los conceptos de matriz escalonada por filas, matriz escalonada reducida por filas y pivote de una matriz. Una matriz escalonada tiene ceros que aumentan de izquierda a derecha fila por fila, mientras que una matriz escalonada reducida tiene unos en las columnas con los únicos elementos no nulos. El pivote es el primer elemento no nulo de cada fila. El documento también incluye ejemplos y ejercicios resueltos de reducir matrices a estas formas.
Este documento introduce el tema de los espacios vectoriales. Define qué es un espacio vectorial y menciona algunos ejemplos como los números reales, los vectores en el plano y el espacio. Explica que un espacio vectorial es un conjunto que puede sumarse y multiplicarse por números reales siguiendo ciertas propiedades.
Este documento define los conceptos básicos de álgebra lineal, incluyendo escalares, vectores, espacios vectoriales y subespacios vectoriales. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple con las propiedades de suma de vectores y multiplicación por escalares. Un espacio vectorial debe cumplir con cuatro partes: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y dos operaciones definidas sobre ellos. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple con las propiedades de un espacio vectorial.
Este documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define sus propiedades y ofrece ejemplos de cada una. Un grupo es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento opuesto. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones que cumplen propiedades adicionales. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
El documento presenta el cálculo de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Se muestran los pasos para calcular los determinantes principales y cofactores para cada incógnita usando una hoja de cálculo. Luego, se resuelven 2 sistemas adicionales de la misma forma.
Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), incluyendo sus conceptos básicos, supuestos y cálculos. Explica que el ANOVA compara la variación total de un conjunto de muestras y la descompone en variaciones debidas a diferentes variables explicativas. También provee ejemplos para ilustrar cómo se aplica el ANOVA para comparar grupos en una variable cuantitativa y determinar si existen diferencias significativas entre ellos.
Este documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad en la era digital. Explica que debido al gran volumen de datos personales que se comparten en línea, es crucial que las empresas protejan esta información de manera responsable para mantener la confianza de los clientes. También señala que todos debemos ser conscientes de los riesgos potenciales y tomar medidas para salvaguardar nuestra privacidad en Internet.
Este documento resume los conceptos clave detrás del análisis de varianza (ANOVA) y las pruebas estadísticas F y t. Explica cómo ANOVA compara tres o más medias poblacionales para determinar si son iguales, mientras que las pruebas F y t se usan para comparar varianzas poblacionales y pares de medias, respectivamente. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estos métodos y realizar inferencias estadísticas.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales. Propone determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular el núcleo e imagen de transformaciones dadas, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones respecto a bases específicas. El documento contiene 8 ejercicios con múltiples partes cada uno sobre diversos temas de álgebra lineal aplicados a transformaciones lineales.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con subespacios vectoriales. El primer ejercicio determina el valor de x para que un vector pertenezca a un subespacio, resolviendo x = 3. Los ejercicios siguientes calculan bases de diferentes subespacios y comprueban si conjuntos de vectores son bases.
Para que los vectores (2,1,x) y (6,y,15) sean linealmente independientes se debe cumplir que x≠5 e y≠3. Para que sean linealmente dependientes se debe cumplir que x=5 e y=3.
El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo propiedades como la cerradura bajo adición y multiplicación escalar, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, y espacios generados por conjuntos de vectores.
Este documento presenta 5 ejemplos de conjuntos y calcula la cápsula lineal de cada uno. En cada caso, se identifica el espacio vectorial, se expresa la combinación lineal general, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante y se obtiene la restricción que define la cápsula lineal.
El documento resume conceptos de álgebra vectorial como norma de vectores, perpendicularidad y paralelismo entre vectores, y ecuaciones de rectas en R3. Incluye 10 ejercicios resueltos sobre estos temas, como determinar si vectores son perpendiculares, encontrar vectores paralelos o perpendiculares dados otros vectores, y hallar ecuaciones de rectas en R3 que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas.
El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias mediante series de potencias. Presenta ejemplos de aplicación del método a ecuaciones como y + y = 0 y y - 2xy + λy = 0, resolviéndolas como series de potencias y obteniendo soluciones en forma de funciones conocidas como seno, coseno y polinomios de Hermite.
El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.
primer parcial de algebra del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
Este documento contiene 9 páginas con ejercicios de álgebra para un primer parcial. Los ejercicios abarcan diferentes temas como sistemas de ecuaciones, subespacios, bases de vectores, planos y rectas en el espacio tridimensional. El documento proporciona los enunciados de los ejercicios pero no las respuestas resueltas. Al final, incluye información de contacto para aquellos estudiantes que necesiten clases de apoyo.
El documento presenta la solución a un conjunto de ejercicios de álgebra lineal. En la primera sección, se evalúan tres proposiciones como verdaderas o falsas. Luego, se analiza una matriz para determinar los posibles valores que una variable puede tomar para que la dimensión de la imagen sea 1, 2, 3 o 4. Finalmente, se estudian un subespacio vectorial y una aplicación lineal entre ellos.
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion linealMiguel Vasquez
Este documento presenta ejemplos resueltos y propuestos sobre determinar si un vector dado es combinación lineal de un conjunto de vectores dado. En los ejemplos resueltos, se escriben los vectores como una combinación lineal y se resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar si existe solución. En los ejemplos propuestos, se pide determinar si existe o no combinación lineal sin resolverlos.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre aplicaciones lineales, incluyendo determinar si aplicaciones son lineales, hallar aplicaciones lineales dados sus núcleos e imágenes, y calcular núcleos e imágenes de aplicaciones dadas sus matrices asociadas.
Ejercicios resueltos y explicados (conjuntos ortogonales)algebra
El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos sobre vectores ortogonales en espacios vectoriales. Explica que para que dos vectores sean ortogonales su producto interno debe ser cero. Muestra cómo calcular un vector perpendicular a otros dos dados y cómo demostrar la independencia lineal de un conjunto ortogonal aplicando la definición de producto interno. Finalmente, propone dos ejercicios sobre matrices y determinación de vectores ortogonales en R2.
Este documento presenta un trabajo de álgebra lineal realizado por un grupo de estudiantes de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia. El trabajo aborda conceptos clave como espacios vectoriales, combinaciones lineales, independencia lineal, rango de matrices y bases de espacios vectoriales. Incluye ejercicios resueltos para ilustrar estos conceptos y demuestra el entendimiento de los temas tratados en la unidad 3 de álgebra lineal.
1) El documento presenta definiciones y propiedades básicas de números reales, operaciones, desigualdades y valor absoluto.
2) También introduce conceptos como mínimo común múltiplo, máximo común divisor, funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y derivadas.
3) El documento proporciona esta información fundamental de manera concisa para servir de referencia en cálculo.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre puntos, rectas y planos en el espacio tridimensional. Los problemas incluyen determinar las coordenadas de puntos de intersección entre rectas y planos, encontrar ecuaciones de planos y rectas, y determinar si puntos dados pertenecen a rectas o planos específicos. Las soluciones proporcionan detalles algebraicos y gráficos.
Estructuras algebraicas, vectores y espacios vectoriales(4)Jorge Garcia
Este documento presenta un resumen de tres oraciones de los principales temas sobre estructuras algebraicas y sistemas de ecuaciones lineales tratados en el curso de Métodos Matemáticos I. Introduce conceptos como conjuntos de operaciones binarias, vectores, espacios vectoriales, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales, así como métodos para resolver sistemas como la eliminación y la forma escalonada.
1. El documento explica cómo resolver inecuaciones de una variable lineales y no lineales. Incluye 7 ejemplos resueltos que muestran cómo expresar la solución como un intervalo y gráficamente.
2. Los pasos para resolver una inecuación incluyen operar los términos, despejar la variable, determinar los valores críticos y aplicar el método del cementerio para obtener el intervalo de soluciones.
3. Las soluciones pueden involucrar intervalos simples o la unión de varios intervalos, dependiendo
Este documento introduce las propiedades de las desigualdades e inecuaciones. Explica que las inecuaciones son desigualdades que incluyen una o más incógnitas. Cubre cómo resolver inecuaciones de primer grado, fraccionarias y con valor absoluto. También presenta propiedades del valor absoluto como que es siempre no negativo y que la magnitud de una suma es menor o igual a la suma de las magnitudes individuales.
Este documento contiene 33 problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo ecuaciones de rectas y planos en coordenadas paramétricas y cartesianas. Los problemas cubren temas como determinar si puntos pertenecen a rectas o planos, hallar ecuaciones de rectas y planos, y analizar relaciones entre rectas y planos como paralelismo y perpendicularidad.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, vectores, espacios vectoriales, ecuaciones lineales y sus soluciones. Explica cómo representar ecuaciones lineales, determinar si una ecuación tiene solución única, múltiples soluciones o no tiene solución, y cómo encontrar la solución general de una ecuación lineal.
1. Problemas y Ejercicios Resueltos.
Tema 2: Espacios vectoriales.
Ejercicios
1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R3 pertenezca al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) >.
Soluci´n. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) > si y s´lo si (1, x, 5) es combinaci´n
o o o
lineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen α, β ∈ R tales que
(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),
Pero entonces,
1=α+β
x = 2α + β
5 = 3α + β
y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.
2.- Calcular bases de los subespacios de R4 S, T , S + T y S ∩ T , siendo S = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 − x2 = 0}
y T =< (1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1) >.
Soluci´n. Tenemos
o
S = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 − x2 = 0} = {(x1 , x1 , x3 , x4 )|x1 , x2 , x3 ∈ R} =< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) >,
luego un sistema generador de S es {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Ahora,
(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒ α = β = γ = 0,
o sea que es libre, resulta que BS = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} es una base de S.
Un sistema generador de T es (1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1). Pero es tambi´n libre, ya que
e
0 = λ + 2β
0 = λ + 3β
(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3, −1, 1) →
0 = 2λ − β
0=λ+β
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.
2. 2 Espacios vectoriales
y la unica soluci´n al sistema anterior es λ = β = 0. Por tanto, BT = {(1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1)} es una base
´ o
de T .
Por definici´n,
o
S + T = {s + t|s ∈ S y t ∈ T }
= {(x1 , x1 , x2 , x3 ) + (α + 2β, α + 3β, 2α − β, α + β)|x1 , x2 , x3 , α, β ∈ R} .
=< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1) >
Por tanto, un sistema generador de S + T es {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1), (2, 3, −1, 1)}. Pero
(1, 1, 2, 1) = (1, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0)+(0, 0, 0, 1), luego {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (2, 3, −1, 1)} es sistema
generador de S + T . Adem´s, este sistema es libre luego es una base de S + T .
a
Por ultimo, sabemos que S ∩ T es un subespacio vectorial de dimensi´n 1 porque
´ o
dim(S ∩ T ) = dim(S + T ) − dim(S) − dim(T )
Ahora, (1, 1, 2, 1) ∈ S ∪ T , luego como dim(S ∩ T ) es 1, se tiene que < (1, 1, 2, 1) >= S ∩ T y una base de
S ∩ T es BS∩T = {(1, 1, 2, 1)}.
3.- Encontrar una base y la dimensi´n del subespacio vectorial
o
S =< (1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2) > .
Soluci´n. Un sistema genereador de S es A = {(1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}. Pero A
o
no es libre ya que
(0, 0, 0, 0) = α1 (1, 2, −1, 3) + α2 (2, 1, 0, −2) + α3 (0, 1, 2, 1) + α4 (3, 4, 1, 2) ⇒
0 = α1 + 2α2 + 3α3 + 3α4
0 = 2α1 + α2 + α3 + 4α4
0 = −α1 + 2α3 + α4
0 = 3α2 − 2α2 + α3 + 2α4
y el sistema anterior tiene por soluci´n
o
α1 = α2 = α3 = −α4
Observamos que (3, 4, 1, 2) es combinaci´n lineal de los anteriores, luego A − {(3, 4, 1, 2)}
o =
{(1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2), (0, 1, 2, 1)} es tambi´n sistema generador de S. Pero
e
(0, 0, 0, 0) = β1 (1, 2, −1, 3) + β2 (2, 1, 0, −2) + β3 (0, 1, 2, 1) ⇒
0 = β1 + 2β2 + 3β3
0 = 2β1 + β2 + β3
0 = −β1 + 2β3
0 = 3β2 − 2β2 + β3
y el sistema anterior s´lo tiene por soluci´n a β1 = β2 = β3 = 0, es decir, {(1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2), (0, 1, 2, 1)}
o o
es libre. Por consiguiente una base de S es {(1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2), (0, 1, 2, 1)} y la dimensi´n de S es 3.
o
4.- Sea V un Q-espacio vectorial de dimensi´n 4 con base B = {u1 , u2 , u3 , u4 }. Se definen los vectores
o
v1 = 2u1 + u2 − u3 v2 = 2u1 + u3 + 2u4 v3 = u1 + u2 − u3 v4 = −u1 + 2u3 + 3u4
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.
3. Espacios vectoriales 3
Probar que B′ = {v1 , v2 , v3 , v4 } es una base de V y calcular las coordenadas en la base B′ de un vector
v que tiene por coordenadas en B a (1 2 0 1).
Soluci´n. Como B′ es de cardinal 4 y V es de dimensi´n 4, para demostrar que B′ es base de V , basta
o o
con probar que B′ es libre. Ahora,
∑
4
0V = αi vi = (2α1 + 2α2 + α3 − α4 )u1 + (α1 + α3 )u2 + (−α1 + α2 − α3 + 2α4 )u3 + (2α2 + 3α4 )u4 ,
i=1
y al ser {u1 , u2 , u3 , u4 } un conjunto libre, se tiene que
0 = 2α1 + 2α2 + α3 − α4
0 = α1 + α3
0 = −α1 + α2 − α3 + 2α4
0 = 2α2 + 3α4
y la unica soluci´n del sistema anterior es
´ o
α1 = α2 = α3 = α4 = 0,
luego B′ es libre.
Por otro lado, si v tiene por coordenadas a (1 2 0 1) (esto es utilizamos la notaci´n por filas) en la base
o
B, significa que v = u1 + 2u2 + u4 , asi que las coordenadas de v (β1 β2 β3 β4 ) en la base B′ deben cumplir
∑
4
v = u1 +2u2 +u4 = βi vi = (2β1 +2β2 +β3 −β4 )u1 +(β1 +β3 )u2 +(−β1 +β2 −β3 +2β4 )u3 +(2β2 +3β4 )u4 ,
i=1
o sea,
1 = 2β1 + 2β2 + β3 − β4
2 = β1 + β3
0 = −β1 + β2 − β3 + 2β4
1 = 2β2 + 3β4
y su soluci´n es
o
β1 = 10, β2 = −4, β3 = −8, β4 = 3.
Por consiguiente las coordenadas del vector v en la base B′ son (10 − 4 − 8 3).
Otra manera de calcular las coordenadas es mediante la matriz de cambio de base:
(β1 β2 β3 β4 ) = (1 2 0 1)MB,B′ ,
donde MB,B′ lleva las coordenadas de los vectores de la base B en la base B′ . Por tanto,
−1
2 1 −1 0 1 0 −1 0
−1 2 0 1 2 7 −3 −6 2
MB,B′ = M ′ = =
B ,B 1 1 −1 0 8 −3 −8 2
−1 0 2 3 −5 2 5 −1
.
5.- Sea v un vector de un K-espacio vectorial V de dimensi´n finita n ≥ 3 cuyas coordenadas en una base
o
de V son (x1 . . . xn ), siendo x2 ̸= x3 . ¿Existe alguna base de V en la cual las coordenadas de v sean
(1 0 . . . 0)? ¿Por qu´?
e
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.
4. 4 Espacios vectoriales
Soluci´n. Como x2 ̸= x3 , el vector v no es el vector nulo. Entonces, en cualquier base que se obtenga
o
al completar {v}, esto es, B = {v, u2 , · · · , un }, las coordenadas de v ser´n (1 0 . . . 0).
a
6.- Si V es un espacio vectorial de dimensi´n 1, ¿c´mo son sus bases?
o o
Soluci´n. Las bases de V constan de un unico vector no nulo.
o ´
7.- Si U, W ≤ V dos subespacios distintos de V y dim(V ) = n, dim(U ) = dim(W ) = n − 1, ¿cu´nto vale la
a
dimensi´n de U ∩ W ?
o
Soluci´n. Sabemos que
o
n − 1 = max{dim(U ), dim(W )} ≤ dim(U + W ) ≤ dim(V ) = n.
Por tanto, dim(U + W ) = n, n − 1. Pero si dim(U + W ) = n − 1, al ser U, W ⊆ U + W , y coincidir
las dimensiones, se deduce que U = U + W = W , lo cual es falso, por ser U ̸= W . Consecuentemente,
dim(U + W ) = n y llevandolo a
dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) − dim(U ∩ W ),
deducimos que
dim(U ∩ W ) = n − 1 + n − 1 − n = n − 2.
Problemas
1.- Determinar los valores de a y b, si es que existen, para que
< (a, 1, −1, 2), (1, b, 0, 3) >=< (1, −1, 1, −2), (−2, 0, 0, −6) > .
Soluci´n. Para que los dos subespacios coincidan, debemos pedir que (a, 1, −1, 2) y (1, b, 0, 3) se
o
escriban como combinaci´n lineal de (1, −1, 1, −2) y (−2, 0, 0, −6) y que ambos vectores sean linealmente
o
independientes. Por tanto,
}
(a, 1, −1, 2) = α1 (1, −1, 1, −2) + α2 (−2, 0, 0, −6)
⇒
(1, b, 0, 3) = β1 (1, −1, 1, −2) + β2 (−2, 0, 0, −6)
a = α1 − 2α2
1 = −α1
−1 = α1
2 = −2α1 − 6α2
1 = β1 − 2β2
b = −β1
0 = β1
3 = −2β1 − 6β2
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.
5. Espacios vectoriales 5
y la soluci´n al sistema anterior es: α1 = −1, α2 = 0, a = −1, β1 = 0, β2 = − 2 y b = 0. Por tanto,
o 1
(a, 1, −1, 2) = (−1, 1, −1, 2) y (1, b, 0, 3) = (1, 0, 0, 3) y ambos vectores son linelamente independientes.
2.- Sean U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x1 = x2 = x4 , x3 = 0}, V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x1 = x2 = x3 , x4 = 0}
y W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x2 = x1 + x3 , 3x1 = x2 + x4 }.
1. Demostrar que R4 = U ⊕ V ⊕ W .
2. Descomponer el vector (1, 2, 3, 4) en la forma u + v + w ∈ U + V + W .
Soluci´n. 1. Para ver que R4 = U ⊕ V ⊕ W , debemos comprobar que R4 = U + V + W y que
o
U ∩ (V + W ) = V ∩ (U + W ) = W ∩ (U + V ) = {(0, 0, 0, 0)}. Esto equivale a demostrar que BU ∪ BV ∪ BW
es una base de R4 . Ahora,BU = {(1, 1, 0, 1)}, BV = {(1, 1, 1, 0)} y BW = {(1, 0, 1, 3), (0, 1, −1, −1)} ya que
U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x1 = x2 = x4 , x3 = 0} = {(x1 , x1 , 0, x1 )|x1 ∈ R} =< (1, 1, 0, 1) >
V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x1 = x2 = x3 , x4 = 0} = {(x1 , x1 , x1 , 0)|x1 ∈ R} =< (1, 1, 1, 0) >
W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 |x2 = x1 + x3 , 3x1 = x2 + x4 } = {(x1 , x2 , x1 − x2 , 3x1 − x2 )|x1 , x2 ∈ R}
=< (1, 0, 1, 3), (0, 1, −1, −1) > .
Entonces,
BU ∪ BV ∪ BW = {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 3), (0, 1, −1, −1)}
y como el cardinal de BU ∪ BV ∪ BW es 4 y coincide con la dimensi´n de R4 , para ver que BU ∪ BV ∪ BW
o
es base de R4 es suficiente con demostrar que BU ∪ BV ∪ BW es libre. Ahora,
(0, 0, 0, 0) = α1 (1, 1, 0, 1) + α2 (1, 1, 1, 0) + α3 (1, 0, 1, 3) + α4 (0, 1, −1, −1)
implica
0 = α1 + α2 + α3
0 = α1 + α2 + α4
0 = α2 + α3 − α4
0 = α1 + 3α3 − α4
y la unica soluci´n al sistema anterior es αi = 0, para i = 1, 2, 3, 4, luego BU ∪ BV ∪ BW es libre.
´ o
2. El vector (1, 2, 3, 4) = β1 (1, 1, 0, 1) + β2 (1, 1, 1, 0) + β3 (1, 0, 1, 3) + β4 (0, 1, −1, −1) siendo β1 = −11,
β2 = 4, β3 = 8 y β4 = 9, luego u = β1 (1, 1, 0, 1) = (−11, −11, 0, −11), v = β2 (1, 1, 1, 0) = (4, 4, 4, 0) y
w = β3 (1, 0, 1, 3) + β4 (0, 1, −1, −1) = (8, 9, −1, 15).
3.- Sea U = {f : R → R|f (x) = f (−x), ∀x ∈ R} y W = {f : R → R|f (x) = −f (−x), ∀x ∈ R}. Probar que
F(R, R) = {f : R → R|f es aplicaci´n} es suma directa de U y W .
o
Soluci´n. Por definici´n, F(R, R) = U ⊕ W si y s´lo si F(R, R) = U + W y U ∩ W = {0F(R,R) }, donde
o o o
0F(R,R) denota la aplicaci´n nula.
o
Comprobemos que F(R, R) = U + W :
⊆ Sea f ∈ F(R, R) y definimos g : R → R tal que g(x) = f (x)+f (−x) y h : R → R tal que h(x) = f (x)−f (−x) .
2 2
Es claro que f = g + h. Adem´s, g ∈ U ya que g(−x) = f (−x)+f (x) = f (x)+f (−x) = g(x), para todo
a 2 2
x ∈ R y h ∈ W porque h(−x) = f (−x)−f (x) = − f (x)−f (−x) = −h(x),para todo x ∈ R.
2 2
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.
6. 6 Espacios vectoriales
⊇ Es inmediato porque U, W ⊆ F(R, R).
Por otro lado, si f ∈ U ∩ W , se tiene que f ∈ U y f ∈ W , luego para todo x ∈ R, f (x) = f (−x), por
ser f ∈ U y f (x) = −f (−x) por ser f ∈ W . Entonces,
f (x) = f (−x) = −f (x) ⇒ 2f (x) = 0 ⇒ f (x) = 0,
esto es f es la aplicaci´n nula.
o
´
Introducci´n al Algebra Lineal.
o M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´
ıa a ırez Alzola.
Proyecto OCW de la UPV/EHU.