Este documento presenta un ejercicio sobre valores y vectores característicos de matrices. Explica el concepto de vector propio y valor propio de una matriz. Muestra un ejemplo numérico para determinar si dos vectores dados son vectores propios de una matriz mediante la comprobación de que la matriz multiplicada por cada vector es igual al vector multiplicado por su valor propio correspondiente. Finalmente, resume cómo determinar si un vector es propio de una matriz y si unos valores dados son valores propios.

1. Instituto Tecnológico de
Estudios Superiores de la
Región Carbonífera
Valores y Vectores
Caraterísticos
o Cinthia Edurne Sánchez Nieto

2. Hoja de Trabajo No. 6
Objetivo:
 Comprender que una transformación X Ax
puede mover vectores en diversas direcciones.
 Determinar si un vector dado es un vector propio
de una matriz.
 Deducir si un escalar específico es un vector propio.

3. Preparación
 Selección del material: investigar el concepto de valores y
vectores característicos en el libro algebra lineal y sus
aplicaciones del autor David C. Lay pag.295 vectorial,
axiomas de espacios vectoriales, ecuaciones de la recta y
del plano, graficar en R2 y R3.
Sea A una matriz de nxn con elementos reales, el
número (real o complejo) recibe el nombre de valor
característico de A. Si existe un vector diferente de cero v en
Cn tal que Av = λv se dice que el vector v ≠ 0 es un vector
característico de A correspondiente al valor característico λ.
 Interpretar: Reconocer gráficamente los vectores propios.
 Síntesis: Identificar la acción de una matriz A ala ser
multiplicada por un vector.

4. Acciones en el aula
I. Sean A = 3 -2 u = -1 v= 2
1 0 1 1
i. Graficar los vectores u y v.
u (-1,1) v (2,1)

5. Continuación…
ii. Multiplicar Au y Av y graficar los vectores resultantes.
3 -2 -1 (-3 -2) -5
Au = = =
1 0 1 (-1+0) -1
Av = 3 -2 2 (6 -2) 4
= =
1 0 1 (2+0) 2
Av (4,2)
Au (-5,-1)

6. Continuación…
iii. Conteste las siguientes preguntas
1. Describe las acciones en la matriz A al ser multiplicada por el
vector u.
Desvía su dirección con respecto al vector u. Que quiere
decir que no pertenece a la matríz A.
2. Describe las acciones de la matriz A al ser multiplicada por el
vector v.
El vector se duplica, y sigue la trayectoria del vector v.
Pertenece a la matriz A.

7. Continuación…
II. Conteste y resulva los siguientes ejercicios
1. ¿A qué se le llama vector propio de una matriz (nx)?
Vector característico de A.
2. Sean A = 1 6 6 3
u= v =
5 2 -5 -2
i. Son los vectores u y v vectores propios de A partiendo de
que Ax = λx.

8. Continuación…
Comprobación del punto anterior.
P(λ) = det(A – λI)
1 6 λ 0 =
(1- λ) 6
-
5 2 0 λ 5 (2-λ)
det = (1-λ) (2-λ) = 2 – λ – 2λ + λ2 – 30
= λ2 – λ – 28 = 0
(λ – 7) (λ + 4) = 0 λ1 = 7
λ2 = - 4

9. Continuación…
1 6 6 6 – 30 - 24
Au = = =
5 2 -5 30 – 10 20
6 - 24

λu = -4 =
-5 20
1 6 3 3 – 12 -9
Av = = =
5 2 -2 15 – 4 11
3 21 х
λv 7 =
=
-2 - 14

10. Continuación…
ii. Grafique los vectores u y v y los vectores Au y Av.
Au (-24, 20)
Av (-9, 11)
v (3, -2)
u (6, -5)

11. Continuación…
iii. Interprete los resultados con relación a la acción que
genera la matriz A al ser multiplicada por u y v.
La matriz A difiere en dirección con respecto al
vector original v. Por lo tanto v no es vector
caracteristico de A.
Al multiplicar la matriz A por el vector u esta se
mantiene den su rango lineal pero opuesto,
comprobando que u es un vector caracteristico de A.

12. Conclusiones
1. ¿Cómo determinas si un vector es propio de una
matriz?
Si al multiplicarlo por la matriz el
resultado es igual a multiplicarlo por su
valor propio.
2. ¿Cómo determinas si los valores son propios?
Si al multiplicarlo por su vector propio
es igual a multiplicar la matriz por su vector
propio.