Cap9 otazzi ejem flexion 2

Concreto Armado 1 - 171
Ejemplo 9-11- Diseño por flexión de una viga continua.
Diseñar la viga del eje B correspondiente a la planta mostrada a continuación. Se trata
de una viga que no forma pórtico con las columnas ya que se apoya sobre otras vigas
(las vigas principales de los ejes 1, 2, 3, 4).
• Metrado de la viga
CM: pp viga = 2,400x0.3x0.6 = 432 kg/m
pp alig. = 300x4.70 = 1,410
p.t. = 100x5.0 = 500
CV: s/c = 250x5.0 = 1,250 1,250x1.8 = 2,250
ω servicio = 3,590 kg/m
• Modelo estructural a ejes
El análisis estructural se realizó suponiendo comportamiento elástico de la viga bajo la
acción de las cargas amplificadas, sin considerar alternancia de sobrecarga, los
resultados son:
2,342x1.5 ≈ 3,510
ωu = 5,760 kg/m
ωu = 5,760 kg/m
6.0 m 6.0 m6.0 m
(1)
)
(3)(2) (4)
M+
u =16,590
13,825
M−
u-
= 20,735 kg-m
2.40
M+
u = 5,185
1.2 1.7
20,735 Vu =17,280 kg
Aligerado h=0.2 m
p.p. = 300 kg/m2
p.t. = 100 kg/m2
s/c = 250 kg/m2
6 66
5
5
5
A
1 2 3 4
B
C
(30x60)
(30x60)
(30x60) (30x60)
(30x60) (30x60)
(30x60)(30x60)(30x60)
(30x80)
(30x80)
(30x80)
(30x80)
f′c = 210 kg/cm2
fy = 4,200 kg/cm2

La Norma permite diseñar con los momentos negativos reducidos a la cara del apoyo. El
momento negativo reducido a la cara izquierda del apoyo interior es de 17,625 kg-m
aproximadamente, y a la derecha de 18,145. El momento flector negativo de diseño sería
el mayor de los dos valores, es decir 18,145 kg-m que representa una reducción del 12%
con respecto del momento flector calculado al eje.
El diseño se realizará con los momentos negativos sin reducir a la cara del apoyo para
así tomar en cuenta, indirectamente, el aumento en los momentos negativos por efecto
de la posible alternancia de la carga viva.
• Diseño de la Sección 0.30x0.60. Peralte efectivo estimado d = 0.54 m
f′c = 210 kg/cm2
As max = 0.75 Asb = 0.75 x 2.13% x 30 x 54 ≈ 26 cm2
2
min
0.7 210
0.242% 30 54 4 cm
4,200
sA = = × × ≈
a) M+
u = 16,590 As = 8.67 cm2
Colocar 1φ3/4” + 3φ5/8” As = 8.84 cm2
φ Mn = 16,885 kg-m εs = 8.0 εy
b) M+
u= 5,185 As = 2.59 cm2
Colocar 2φ5/8” As = 4 cm2
φ Mn = 7,930 kgm εs = 19.5 εy
c) M−
u= 20,735 As = 11.04 cm2
Colocar 4φ3/4” As = 11.36 cm2
φ Mn = 21,275 kgm εs = 5.9 εy
• Esquema en elevación de la armadura seleccionada
As negativo
Necesario 11.04
Colocado 11.36 (+2.9%)
As positivo
Necesario 8.67 2.59
Colocado 8.84 (+2%) 4.00 (+54%)
Resistencias negativas
Exigidas 20,735
Suministradas 21,275 (+2.6%)
Resistencias positivas
Exigidas 16,590 5,185
Suministradas 16,885 (+1.8%) 7,930 (+53%)
Para completar el diseño es necesario realizar el diseño por fuerza cortante (estribos),
verificar las deflexiones del tramo exterior, realizar el control de la fisuración y acotar las
longitudes de los bastones (corte de fierro).
Los aceros positivos y negativos colocados se aproximan bastante a los necesarios, por
lo tanto, no habrá sobreresistencia en flexión importante. En el segundo tramo hay un
1.1 1.3
1φ3/4” + 1φ5/8”
2φ3/4”
2φ3/4”2φ5/8”
2φ5/8”
2φ3/4”
2φ5/8”
CL

exceso de acero positivo producto de la exigencia de la Norma relativa al acero mínimo.
Es claro que la sección que gobierna la resistencia de la viga, si se aceptan los
resultados del análisis elástico, es la de momento positivo en los tramos extremos,
donde se ha proporcionado la menor sobreresistencia (+1.8%). Si imaginamos que la
carga se incrementa desde cero hasta la carga última, el momento positivo en los tramos
extremos será el primero que alcanzará su resistencia disponible. En consecuencia la
carga máxima que se podrá aplicar a la estructura y el factor de seguridad de la viga
frente a la falla por flexión, sobre la base de los resultados del análisis elástico, será
aproximadamente:
(16,885 / 16,590) x 5,760 ωu ≈ 5,860 kg/m
F.S. = 5,860 / 3,590 = 1.63 / 0.9 ≈ 1.81
El valor calculado del coeficiente de seguridad, es muy parecido al que se hubiera
logrado si se hubieran proporcionado áreas de acero exactamente iguales a las exigidas:
F.S. = 5,760 / 3,590 = 1.60 / 0.9 ≈ 1.78
• Verificación del factor de seguridad de la viga utilizando el diseño límite o diseño por
capacidad, es decir el asociado con la formación de un mecanismo plástico controlado
por flexión. Para ello haremos las siguientes suposiciones:
a) Los apoyos extremos son simples, es decir, no se desarrolla momento negativo.
b) Las secciones poseen una buena ductilidad de curvatura. Los diagramas Momento –
Curvatura son del tipo bilineal con una ductilidad de curvatura alta. No hay
endurecimiento del acero por deformación.
c) No existe posibilidad de una falla prematura por fuerza cortante ni por adherencia, en
consecuencia, el diseño por fuerza cortante deberá realizarse sobre la base de la
carga límite que resulte de este análisis.
Los posibles mecanismos plásticos, que son la base del análisis límite o por capacidad,
son los siguientes:
El mecanismo plástico que controla la resistencia de toda la viga es el segundo. Se trata
de un mecanismo parcial en el cual primero se formarán las rótulas en la zona de
momento positivo de los tramos extremos y poco después (casi con la misma carga) se
formarán las rotulas en los apoyos interiores. Para calcular la carga límite, analizaremos
los tramos extremos y el tramo central:
Mecanismos parciales
Mecanismo completo

• Análisis del tramo exterior
Del diagrama anterior se obtiene ωul ≈ 5,880 kg/m. Si se hubiera supuesto que el máximo
positivo se produce al centro de la luz tendríamos:
2
21,275 6
16,885 6,115 /
2 8
ul
ul kg mt
ω
ω
×
+ = ⇒ ≈
El error que se comete al suponer la rótula al centro de la luz, es en este caso, de tan
solo el 4%. El factor de seguridad, frente a la formación de un mecanismo, para los
tramos extremos será:
F.S. = 5,880 / 3,590 = 1.64 / 0.9 ≈ 1.82
• Análisis del tramo interior
La carga límite para el tramo central será ωul ≈ 6,490 kg/m mayor que la correspondiente
a los tramos extremos. En consecuencia el mecanismo plástico que controla la
resistencia de la estructura es:
l = 6.0
21,275nMφ −
=
21,275
16,885
φ Mn+
= 16,885
2.40
8,510
ωul
l = 6.0
21,275nMφ −
=
7,930nMφ +
=
21,275nMφ −
=
ωul

En resumen:
a) Con los resultados del análisis elástico controla el momento positivo de los tramos
extremos:
ωu ≈ 5,860 kg/m F.S. ≈ 1.8
b) Con los resultados del análisis limite controla el mecanismo parcial asociado a los
tramos extremos:
ωul ≈ 5,880 kg/m F.S. ≈ 1.8
Ambos resultados son muy similares ya que las áreas de acero colocadas, se han
ajustado bastante a los requerimientos provenientes del análisis elástico, es decir no hay
ni excesos ni defectos significativos en el acero. Además el análisis y diseño se ha
realizado sin considerar alternancia de la sobrecarga.
Es interesante comparar los resultados del análisis elástico que se ha realizado,
suponiendo sobrecarga plena en todos los tramos, con los que se obtendrían con
alternancia de sobrecarga. Los patrones de carga que sería necesario analizar son:
Los porcentajes entre paréntesis indican la comparación con los resultados considerando
todos los tramos con sobrecarga plena.
La envolvente de momentos flectores (resistencias requeridas) considerando alternancia
es como se muestra a continuación:
Mneg sin alternancia = 20,735
Mneg máximo al eje = 22,090 kg-m (+7%)
Resistencia de diseño = 21,275
Mpos sin alternancia = 5,185
Mmax positivo = 9,235 kg-m (+78%)
Mpos sin alternancia = 16,590
Mmax positivo = 18,250 kg-m (+10%)

El máximo negativo reducido a la cara del apoyo, en este caso a la derecha, es de 19,330
kg-m aproximadamente. La armadura negativa colocada suministra una resistencia de
diseño de 21,275 kg-m por lo tanto la armadura provista cubre la posibilidad de
alternancia en los negativos.
En los momentos positivos de los tramos extremos no hay mucha diferencia, tan solo un
10%. Donde se produce la máxima diferencia es en el momento positivo correspondiente
al tramo central (+78%). Esta diferencia importante se explicó en la sección 6.11 (ver
tabla 6-2). La resistencia proporcionada a esta sección, que obedece a las exigencias de
acero mínimo, es de 7,930 kg-m por lo tanto el exceso sobre la resistencia proporcionada
es, en este caso, tan sólo del 16%.
Por otro lado, la mayoría de los códigos permiten reducir la intensidad de la carga viva
de diseño en función del área soportada por el elemento. Por ejemplo, la Norma Peruana
de Cargas E-020, para este caso particular, permitiría una reducción cercana al 40%, es
decir la sobrecarga de diseño pudo reducirse a 250x0.6 = 150 kg/m2
.
La Norma ASCE-95 permitiría, para este caso, una reducción de un 15% en la
sobrecarga para el cálculo de los máximos positivos y de un 35% para los máximos
negativos. Estas reducciones pueden aplicarse perfectamente a los patrones de carga
que conduzcan a la determinación de los momentos máximos positivos y negativos. Sin
embargo, no debería proporcionarse una resistencia muy inferior a la exigida por el
íntegro de la sobrecarga actuando en todos los tramos simultáneamente.
La reducción de la sobrecarga se basa en que los patrones de carga que producen los
máximos positivos y negativos son distintos, y por lo tanto, los máximos no pueden
ocurrir simultáneamente. Si se provee una adecuada ductilidad a la viga será posible una
redistribución de los momentos máximos antes de que sobrevenga la falla. El diseño con
reducción en el valor de la sobrecarga, podría originar sobreesfuerzos en algunas
secciones en la eventualidad de que el 100% de la sobrecarga actúe en algunos de los
patrones que originan los máximos momentos. Sin embargo la capacidad última del
sistema, luego de la redistribución de momentos producto de los sobreesfuerzos, no será
menor que la requerida para soportar el íntegro de la sobrecarga actuando en todos los
tramos.
Para concluir con el ejemplo, veamos los resultados que se obtendrían si se aplicara el
Método de los Coeficientes de la Norma con ωu =5,760 kg/m y ln = 5.7 m:
M−
u negativo cara del apoyo = 1/10 ωu ln2
= 18,715 kgm vs. 19,330 (alternancia)
M+
u positivo tramos extremos = 1/11 = 17,010 kgm vs. 18,250 (alternancia)
M+
u positivo tramo interior = 1/16 = 11,700 kgm vs. 9,235 (alternancia)

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