Este documento presenta los conceptos de grupo matricial inversible y subgrupo matricial. Define un grupo matricial inversible como un subgrupo G de GLn(K) que también es cerrado en GLn(K). Luego presenta ejemplos notables como GLn(K) y SLn(K), así como subgrupos matriciales como UT3(R) y SUT3(R) formados por matrices triangulares superiores. Finalmente, discute la noción de matriz inversa para estos grupos matriciales.
Teoría Básica de las Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que son ecuaciones que relacionan funciones y sus derivadas. Presenta dos ejemplos sencillos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales: la desintegración radiactiva y el movimiento de un cuerpo en caída libre. Luego define formalmente las ecuaciones diferenciales y clasifica las ecuaciones según el orden y la linealidad.
Este documento presenta 27 ejercicios de álgebra para estudiantes de ingeniería civil. Los ejercicios abarcan temas como operaciones con polinomios, tablas de verdad, sucesiones numéricas, desarrollos binomiales y ecuaciones polinómicas. El objetivo es que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas básicas a través de la resolución de problemas. Se proveen algunas sugerencias metodológicas como identificar la información dada y requerida, y gestionar la información de man
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Este documento presenta una guía para resolver problemas de análisis dimensional. Explica que las fórmulas dimensionales surgen de fenómenos físicos y que es importante identificar las variables directas e indirectas. También describe las propiedades de las constantes numéricas y los exponentes en el análisis dimensional. A continuación, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de análisis dimensional, encontrando las dimensiones de constantes y variables en diferentes ecuaciones físicas.
El documento describe los arcos planos, que son estructuras curvas con una sección transversal despreciable. Explica que tienen una curvatura pequeña con un radio mucho mayor que el canto. Presenta ejemplos de arcos planos como puentes y velódromos. Luego analiza la teoría básica de los arcos planos, incluidas las hipótesis, ecuaciones de equilibrio y energía elástica. Finalmente, estudia casos específicos como arcos triarticulados y biarticulados, analizando su comportamiento bajo cargas un
Seminario I Análisis dimensional y vectoresjeffersson2031
Este documento describe el análisis dimensional y vectorial en física. Explica que las ecuaciones dimensionales expresan las relaciones entre magnitudes fundamentales como longitud, masa y tiempo. También describe los elementos básicos de un vector como módulo, dirección y sentido, y métodos para sumar vectores como el triángulo y el polígono.
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVILjosuep30
Este documento presenta tres problemas de ingeniería civil resueltos utilizando ecuaciones diferenciales. El primer problema calcula la línea elástica de una viga sometida a carga mediante la ecuación diferencial aplicable. El segundo problema determina la deflexión de una columna que puede adoptar una configuración distinta a la recta utilizando la ecuación de pandeo. El tercer problema encuentra la deflexión de una viga con carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. El documento demuestra aplicaciones prácticas de las
Este documento describe las sucesiones y la notación de sumatoria. Define una sucesión como un conjunto de números en un orden específico y explica que la notación sigma se usa para representar la suma de los términos de una sucesión. También describe las progresiones aritméticas, cuyos términos consecutivos difieren en una cantidad constante, y las progresiones geométricas, cuyos cocientes de términos consecutivos son constantes.
Teoría Básica de las Ecuaciones DiferencialesYerikson Huz
Este documento introduce las ecuaciones diferenciales. Explica que son ecuaciones que relacionan funciones y sus derivadas. Presenta dos ejemplos sencillos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales: la desintegración radiactiva y el movimiento de un cuerpo en caída libre. Luego define formalmente las ecuaciones diferenciales y clasifica las ecuaciones según el orden y la linealidad.
Este documento presenta 27 ejercicios de álgebra para estudiantes de ingeniería civil. Los ejercicios abarcan temas como operaciones con polinomios, tablas de verdad, sucesiones numéricas, desarrollos binomiales y ecuaciones polinómicas. El objetivo es que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas básicas a través de la resolución de problemas. Se proveen algunas sugerencias metodológicas como identificar la información dada y requerida, y gestionar la información de man
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Este documento presenta una guía para resolver problemas de análisis dimensional. Explica que las fórmulas dimensionales surgen de fenómenos físicos y que es importante identificar las variables directas e indirectas. También describe las propiedades de las constantes numéricas y los exponentes en el análisis dimensional. A continuación, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de análisis dimensional, encontrando las dimensiones de constantes y variables en diferentes ecuaciones físicas.
El documento describe los arcos planos, que son estructuras curvas con una sección transversal despreciable. Explica que tienen una curvatura pequeña con un radio mucho mayor que el canto. Presenta ejemplos de arcos planos como puentes y velódromos. Luego analiza la teoría básica de los arcos planos, incluidas las hipótesis, ecuaciones de equilibrio y energía elástica. Finalmente, estudia casos específicos como arcos triarticulados y biarticulados, analizando su comportamiento bajo cargas un
Seminario I Análisis dimensional y vectoresjeffersson2031
Este documento describe el análisis dimensional y vectorial en física. Explica que las ecuaciones dimensionales expresan las relaciones entre magnitudes fundamentales como longitud, masa y tiempo. También describe los elementos básicos de un vector como módulo, dirección y sentido, y métodos para sumar vectores como el triángulo y el polígono.
ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA INGENIERIA CIVILjosuep30
Este documento presenta tres problemas de ingeniería civil resueltos utilizando ecuaciones diferenciales. El primer problema calcula la línea elástica de una viga sometida a carga mediante la ecuación diferencial aplicable. El segundo problema determina la deflexión de una columna que puede adoptar una configuración distinta a la recta utilizando la ecuación de pandeo. El tercer problema encuentra la deflexión de una viga con carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. El documento demuestra aplicaciones prácticas de las
Este documento describe las sucesiones y la notación de sumatoria. Define una sucesión como un conjunto de números en un orden específico y explica que la notación sigma se usa para representar la suma de los términos de una sucesión. También describe las progresiones aritméticas, cuyos términos consecutivos difieren en una cantidad constante, y las progresiones geométricas, cuyos cocientes de términos consecutivos son constantes.
Este documento presenta la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión de problemas de valores iniciales en problemas algebraicos. Primero introduce el concepto de integral impropia y criterios de convergencia. Luego define la transformada de Laplace y sus propiedades. Finalmente, explica cómo aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la solución de una ecuación diferencial a partir de la solución algebraica del problema transformado. El documento contiene numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento describe el formalismo de Lagrange y Hamilton para sistemas mecánicos. Presenta la ecuación de Lagrange y cómo se obtiene a partir del principio de acción mínima. También explica los teoremas de conservación de momento lineal, momento angular y energía que surgen de la simetría de la lagrangiana bajo traslaciones y rotaciones infinitesimales. Finalmente, introduce brevemente las ecuaciones de Hamilton.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
- Una sucesión de números reales a1, a2, a3 ... es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de los números reales de la sucesión se denomina término.
- En algunas sucesiones se puede expresar el término general mediante una fórmula. El valor de un término de la sucesión se puede calcular al sustituir n por dicho valor.
- Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de ellos (menos el primero) es igual al anterior más un número fijo, llamado
Este documento introduce conceptos básicos de vectores, incluyendo definiciones geométricas y algebraicas de vectores, operaciones vectoriales como suma y multiplicación por escalar, y representaciones de vectores como matrices de una columna. También define vectores unitarios, paralelos, ortogonales y de base estándar, y describe interpretaciones geométricas de operaciones con vectores.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
Las ecuaciones de una recta permiten calcular las coordenadas de cualquier punto en la recta. Existen varios tipos de ecuaciones de recta, incluyendo la vectorial, paramétrica, continua, general, punto-pendiente y explícita. Cada tipo de ecuación puede derivarse de otro mediante transformaciones algebraicas.
Este documento presenta información sobre el análisis dimensional, que incluye:
1) Define el concepto de magnitud física y clasifica las magnitudes en fundamentales y derivadas según su origen, y en escalares y vectoriales según su naturaleza.
2) Explica el principio de homogeneidad dimensional y cómo se aplica a ecuaciones dimensionales para verificar la validez de fórmulas físicas.
3) Presenta ejercicios para que los estudiantes apliquen el análisis dimensional y determinen las dimensiones de diferentes
Este documento presenta una introducción a las matemáticas aplicadas en ingeniería química. Explica conceptos clave como la cinética química, fenómenos de transporte, termodinámica y formulación matemática de procesos. Describe cómo formular modelos matemáticos a partir de leyes físico-químicas, ecuaciones descriptivas y condiciones límite. También clasifica problemas en equilibrio y de valor inicial, y analiza la distribución espacial de parámetros y el principio de conservación aplicado a
La formulación de Lagrange describe un sistema mecánico con N grados de libertad mediante coordenadas generalizadas {qi}. Las ecuaciones de Lagrange resultantes muestran que cada grado de libertad evoluciona independientemente de los demás, conservando su energía Ei.
Este documento describe los conceptos de campo escalar y campo vectorial. Un campo escalar asocia un escalar a cada punto del espacio, mientras que un campo vectorial asocia un vector. Se definen propiedades como estacionario, equiescalar e isoescalar para campos escalares, y líneas de campo para campos vectoriales. También introduce conceptos como gradiente, divergencia y rotacional para analizar cómo varían campos escalares y vectoriales.
El documento describe los objetivos y temas de una unidad de estudio sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Los objetivos incluyen mejorar la capacidad de los estudiantes para seleccionar el mejor método para cualquier problema de ingeniería y conocer métodos numéricos como el de Euler, Runge-Kutta y de pasos múltiples. También introduce conceptos clave como órdenes de ecuaciones diferenciales y su importancia en la ingeniería.
1) El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas.
2) La primera pregunta solicita identificar la ecuación de una superficie equidistante.
3) La segunda pregunta pide describir y graficar curvas de nivel de una función.
4) La tercera pregunta calcula un límite utilizando coordenadas polares.
5) La cuarta pregunta verifica que una función satisface la ecuación de Laplace.
6) La quinta pregunta calcula el error porcentual
Este documento presenta una introducción a las matemáticas aplicadas en ingeniería química. Explica conceptos clave como la cinética química, fenómenos de transporte, termodinámica y formulación matemática de procesos. También describe la clasificación de problemas en equilibrio y valor inicial, y la distribución espacial de parámetros. Finalmente, explica el principio de conservación a través de la ecuación de continuidad para sistemas con y sin reacciones químicas.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Este documento presenta un resumen de los métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones de variables separables, ecuaciones homogéneas, lineales, exactas, de tipo Bernoulli y campos de pendientes. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y aspectos cualitativos de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta la matriz y el sílabo del curso de Matemática y Lógica de la Facultad de Ciencias Contables, Financieras y Administrativas. El curso tiene como objetivo general que los estudiantes conozcan y apliquen tópicos de matemática y lógica para resolver problemas de manera creativa y crítica. Los contenidos incluyen lógica proposicional, teoría de conjuntos, análisis en números reales, magnitudes proporcionales y análisis combinatorio. El aprendizaje se
La proposición establece que la derivada direccional de una función diferenciable depende linealmente del vector direccional. Esto significa que la derivada direccional de una función escalar de un vector escalar es igual a ese escalar multiplicado por la derivada direccional de la función, y que la derivada direccional de la suma de dos vectores es igual a la suma de las derivadas direccionales de cada vector por separado. La demostración muestra esto aplicando la definición de derivada direccional y las propiedades de derivadas parciales.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, tablas de verdad, clasificación de proposiciones según su tabla de verdad, equivalencias lógicas y leyes lógicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y ejercicios de aplicación de los conceptos aprendidos.
Este documento presenta la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión de problemas de valores iniciales en problemas algebraicos. Primero introduce el concepto de integral impropia y criterios de convergencia. Luego define la transformada de Laplace y sus propiedades. Finalmente, explica cómo aplicar la transformada inversa de Laplace para obtener la solución de una ecuación diferencial a partir de la solución algebraica del problema transformado. El documento contiene numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento describe el formalismo de Lagrange y Hamilton para sistemas mecánicos. Presenta la ecuación de Lagrange y cómo se obtiene a partir del principio de acción mínima. También explica los teoremas de conservación de momento lineal, momento angular y energía que surgen de la simetría de la lagrangiana bajo traslaciones y rotaciones infinitesimales. Finalmente, introduce brevemente las ecuaciones de Hamilton.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
- Una sucesión de números reales a1, a2, a3 ... es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de los números reales de la sucesión se denomina término.
- En algunas sucesiones se puede expresar el término general mediante una fórmula. El valor de un término de la sucesión se puede calcular al sustituir n por dicho valor.
- Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de ellos (menos el primero) es igual al anterior más un número fijo, llamado
Este documento introduce conceptos básicos de vectores, incluyendo definiciones geométricas y algebraicas de vectores, operaciones vectoriales como suma y multiplicación por escalar, y representaciones de vectores como matrices de una columna. También define vectores unitarios, paralelos, ortogonales y de base estándar, y describe interpretaciones geométricas de operaciones con vectores.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
Las ecuaciones de una recta permiten calcular las coordenadas de cualquier punto en la recta. Existen varios tipos de ecuaciones de recta, incluyendo la vectorial, paramétrica, continua, general, punto-pendiente y explícita. Cada tipo de ecuación puede derivarse de otro mediante transformaciones algebraicas.
Este documento presenta información sobre el análisis dimensional, que incluye:
1) Define el concepto de magnitud física y clasifica las magnitudes en fundamentales y derivadas según su origen, y en escalares y vectoriales según su naturaleza.
2) Explica el principio de homogeneidad dimensional y cómo se aplica a ecuaciones dimensionales para verificar la validez de fórmulas físicas.
3) Presenta ejercicios para que los estudiantes apliquen el análisis dimensional y determinen las dimensiones de diferentes
Este documento presenta una introducción a las matemáticas aplicadas en ingeniería química. Explica conceptos clave como la cinética química, fenómenos de transporte, termodinámica y formulación matemática de procesos. Describe cómo formular modelos matemáticos a partir de leyes físico-químicas, ecuaciones descriptivas y condiciones límite. También clasifica problemas en equilibrio y de valor inicial, y analiza la distribución espacial de parámetros y el principio de conservación aplicado a
La formulación de Lagrange describe un sistema mecánico con N grados de libertad mediante coordenadas generalizadas {qi}. Las ecuaciones de Lagrange resultantes muestran que cada grado de libertad evoluciona independientemente de los demás, conservando su energía Ei.
Este documento describe los conceptos de campo escalar y campo vectorial. Un campo escalar asocia un escalar a cada punto del espacio, mientras que un campo vectorial asocia un vector. Se definen propiedades como estacionario, equiescalar e isoescalar para campos escalares, y líneas de campo para campos vectoriales. También introduce conceptos como gradiente, divergencia y rotacional para analizar cómo varían campos escalares y vectoriales.
El documento describe los objetivos y temas de una unidad de estudio sobre métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Los objetivos incluyen mejorar la capacidad de los estudiantes para seleccionar el mejor método para cualquier problema de ingeniería y conocer métodos numéricos como el de Euler, Runge-Kutta y de pasos múltiples. También introduce conceptos clave como órdenes de ecuaciones diferenciales y su importancia en la ingeniería.
1) El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que contiene 5 preguntas.
2) La primera pregunta solicita identificar la ecuación de una superficie equidistante.
3) La segunda pregunta pide describir y graficar curvas de nivel de una función.
4) La tercera pregunta calcula un límite utilizando coordenadas polares.
5) La cuarta pregunta verifica que una función satisface la ecuación de Laplace.
6) La quinta pregunta calcula el error porcentual
Este documento presenta una introducción a las matemáticas aplicadas en ingeniería química. Explica conceptos clave como la cinética química, fenómenos de transporte, termodinámica y formulación matemática de procesos. También describe la clasificación de problemas en equilibrio y valor inicial, y la distribución espacial de parámetros. Finalmente, explica el principio de conservación a través de la ecuación de continuidad para sistemas con y sin reacciones químicas.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
Este documento presenta un resumen de los métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones de variables separables, ecuaciones homogéneas, lineales, exactas, de tipo Bernoulli y campos de pendientes. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y aspectos cualitativos de ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta la matriz y el sílabo del curso de Matemática y Lógica de la Facultad de Ciencias Contables, Financieras y Administrativas. El curso tiene como objetivo general que los estudiantes conozcan y apliquen tópicos de matemática y lógica para resolver problemas de manera creativa y crítica. Los contenidos incluyen lógica proposicional, teoría de conjuntos, análisis en números reales, magnitudes proporcionales y análisis combinatorio. El aprendizaje se
La proposición establece que la derivada direccional de una función diferenciable depende linealmente del vector direccional. Esto significa que la derivada direccional de una función escalar de un vector escalar es igual a ese escalar multiplicado por la derivada direccional de la función, y que la derivada direccional de la suma de dos vectores es igual a la suma de las derivadas direccionales de cada vector por separado. La demostración muestra esto aplicando la definición de derivada direccional y las propiedades de derivadas parciales.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, tablas de verdad, clasificación de proposiciones según su tabla de verdad, equivalencias lógicas y leyes lógicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y ejercicios de aplicación de los conceptos aprendidos.
1) Se presentan los conceptos de grupo de Lie y subgrupo de Lie.
2) Se demuestra que GLn(K) y SLn(K) son ejemplos de grupos de Lie, donde GLn(K) tiene una estructura local de espacio euclidiano.
3) No todo subgrupo de un grupo de Lie es necesariamente un subgrupo matricial, usando el grupo de Heisenberg como contraejemplo.
Este documento presenta la información sobre un curso de Cálculo Superior. El objetivo general es conocer y aplicar el cálculo y ecuaciones diferenciales e integrales para resolver problemas empresariales. Los objetivos específicos son aplicar correctamente conceptos y propiedades matemáticas, interpretar soluciones a problemas reales, y analizar modelos matemáticos. Los contenidos incluyen derivadas, integrales, y ecuaciones diferenciales. La evaluación considera conceptos, procesos y actitudes.
Este artículo habla sobre el libro "Las 17 ecuaciones que cambiaron el mundo" escrito por el matemático Ian Stewart. El libro describe 17 ecuaciones importantes que han marcado el rumbo de la historia a nivel científico y tecnológico, incluyendo el teorema de Pitágoras, la ley de gravitación universal de Newton, la distribución normal de probabilidad, las ecuaciones de ondas, las ecuaciones de Maxwell sobre electromagnetismo, la ecuación de la relatividad especial de Einstein y la segunda ley de la ter
This document provides notes for a course on nonlinear subelliptic equations on Carnot groups. The notes begin with an overview of the maximum principle and comparison principle for viscosity solutions of elliptic equations in Euclidean space. It introduces jets and viscosity solutions as a way to extend these principles to nonsmooth functions. Subsequent lectures generalize these ideas to the Heisenberg group and more general Carnot groups.
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para captar la idea principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, distinguiendo entre casos donde la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este capítulo introduce los conjuntos de Borel y las σ-álgebras. Los conjuntos de Borel son aquellos que pueden formarse a partir de los abiertos de Rn mediante operaciones como complementarios, uniones e intersecciones numerables. Una σ-álgebra es una familia de subconjuntos cerrada bajo complementarios, uniones numerables e intersecciones numerables. La σ-álgebra generada por los abiertos de un espacio topológico se denomina σ-álgebra de Borel. Finalmente, se demuestra que los conjuntos medibles de Rn quedan completamente determin
1) El documento describe las matrices de Toeplitz y su relación con la convolución de sucesiones. 2) Las matrices de Toeplitz son matrices cuya forma depende de una sucesión generadora, y representan cortes finitos del operador infinito de convolución. 3) El teorema de convolución establece que la transformada de Fourier de la convolución de dos sucesiones es igual al producto de las transformadas de Fourier individuales.
Este documento trata sobre la suma de cuadrados y funciones aritméticas. En la primera sección se discute la representación de números como suma de cuadrados y formas cuadráticas. La segunda sección cubre funciones generatrices, series de Lambert, el triple producto de Jacobi y otras funciones relacionadas con la suma de cuadrados. La tercera sección introduce métodos de trascendencia como el lema de Siegel y el teorema de Hermite-Lindemann.
Se presenta una nueva forma de resolver la cúbica produciendo fórmulas al menos interesantes. Tentativamente puede solucionar la irresolubilidad de ciertas ecuaciones polinómicas.
Este documento presenta una introducción a las estructuras algebraicas básicas como grupos, anillos y cuerpos. Primero define grupos, subgrupos, homomorfismos de grupos y teoremas clave sobre grupos. Luego introduce anillos, incluyendo sus propiedades y ejemplos. Finalmente, resume conceptos avanzados como extensiones de cuerpos y teoremas de Galois.
Este documento discute cómo los problemas físicos pueden modelarse como ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica que el modelado matemático involucra tres pasos: 1) formular un modelo a partir de la situación física, 2) resolver el modelo, y 3) interpretar la solución matemática en términos físicos. Luego presenta varios ejemplos de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales de segundo orden, como el movimiento armónico simple y circuitos eléctricos RLC.
Este documento trata sobre funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e inversas. Explica conceptos clave como logaritmos, funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente, y cómo una función puede tener una función inversa si es inyectiva de tal modo que cada valor del dominio se mapee a un único valor en el rango. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar estas funciones.
El documento resume los teoremas de Pitágoras y su recíproco. Explica que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. También define las tripletas pitagóricas y explica cómo clasificar triángulos como obtusángulos, acutángulos o rectángulos basándose en la relación entre el cuadrado del lado más largo y la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
El documento describe conceptos fundamentales de la teoría de grupos y su aplicación en mecánica cuántica. Explica que U(1) es el grupo unitario más simple, formado por matrices 1x1 de números complejos que representan fases. U(1) es un grupo abeliano cuyos elementos dejan invariantes muchos lagrangianos en teoría de campos. Los operadores unitarios, incluidos los de U(1), preservan el producto interno y por lo tanto las probabilidades de transición entre estados cuánticos.
Este documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define sus propiedades y ofrece ejemplos de cada una. Un grupo es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento opuesto. Un anillo es similar a un grupo pero con dos operaciones que cumplen propiedades adicionales. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
Este documento define conceptos matemáticos como grupo, subgrupo, anillo y cuerpo. Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple propiedades como asociatividad, elemento neutro e inverso. Se presentan ejemplos de grupos como números enteros con suma. Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que también forma un grupo. Un anillo es un conjunto con dos operaciones, una de las cuales hace de él un grupo conmutativo. Un cuerpo es un anillo conmutativo donde todo elemento distinto de cero tiene inverso.
Este documento presenta información sobre ángulos de elevación y depresión, razones trigonométricas de ángulos notables como 30°, 45°, 60°, 53° y 37°, razones trigonométricas de ángulos complementarios, y propiedades de las razones trigonométricas de ángulos agudos. También incluye ejemplos de resolución de ejercicios relacionados con estas temáticas.
Este documento presenta información sobre ángulos de elevación y depresión, razones trigonométricas de ángulos notables como 30°, 45°, 60°, 53° y 37°, razones trigonométricas de ángulos complementarios y propiedades de las razones trigonométricas de ángulos agudos. Incluye ejemplos de cómo calcular razones trigonométricas y resolver ejercicios relacionados con ángulos y razones trigonométricas.
Este documento define y clasifica las cuádricas, que son ecuaciones de segundo grado en tres variables. Describe los tipos principales de cuádricas (elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros), sus ecuaciones reducidas y cortes con planos. También explica cómo calcular los invariantes, la signatura lineal y elementos notables como el centro y ejes de una cuádrica.
Este documento proporciona información sobre conceptos básicos de geometría como ángulos, polígonos, circunferencias, cuerpos geométricos y fórmulas para calcular áreas y volúmenes. Explica la clasificación y propiedades de figuras planas como triángulos, cuadriláteros y polígonos, así como de cuerpos como prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. También incluye teoremas geométricos como el de Pitágoras y fórmulas para calc
El documento define las estructuras algebraicas básicas de grupos, anillos y espacios vectoriales. Explica que una ley de composición puede ser interna u externa dependiendo de si los conjuntos de entrada y salida son iguales o diferentes. Define las propiedades de asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y elemento inverso que deben cumplir estas estructuras. Finalmente, proporciona ejemplos de grupos, anillos y las propiedades que cumplen conjuntos numéricos comunes como los enteros y reales.
T E C N O L O G I C O S U P E R I O R C O R D I L L E R Acopimax
Este documento describe conceptos fundamentales sobre ángulos de inclinación, pendientes, paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Explica que la pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación y provee fórmulas para calcular la pendiente y ángulo entre dos puntos. También establece que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.
Este documento presenta una introducción a la optimización para estudiantes de ingeniería. Define un problema de optimización matemático como la minimización o maximización de una función objetivo sujeta a restricciones. Explica conceptos clave como solución factible, solución óptima y teorema de Weierstrass. También introduce la noción de convexidad y define conjuntos convexos, envolturas convexas y sistemas de desigualdades lineales.
Este documento describe el círculo trigonométrico y los signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes. Explica los valores de las funciones para los ángulos cuadrantales y los ángulos notables de 30°, 45° y 60°. También cubre la reducción de ángulos a otros cuadrantes para calcular sus funciones trigonométricas.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, donde las soluciones dependen de si la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este documento describe la distribución ji-cuadrada y cómo se puede usar para estimar la varianza de una población normal a partir de una muestra. Explica que la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de las varianzas, y proporciona propiedades, ejemplos y métodos para calcular intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis sobre la varianza de una población.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas matemáticos relacionados con lógica proposicional, conjuntos, relaciones y operaciones. En particular, incluye preguntas sobre verificación de veracidad de proposiciones, determinación de conjuntos unión, intersección y diferencia, simplificación de esquemas lógicos moleculares y construcción de circuitos lógicos equivalentes.
Este documento presenta la matriz y el sílabo de un curso de Matemática y Lógica. El objetivo general es conocer tópicos de matemática y lógica que permitan resolver situaciones problemáticas de manera creativa y crítica. Los contenidos incluyen lógica proposicional, conjuntos, números reales, funciones y análisis combinatorio. El curso se evalúa mediante actividades problemáticas y exámenes parciales por unidad.
Este documento presenta la información general y los objetivos de un curso de Cálculo Superior. El objetivo general es conocer y aplicar el cálculo y ecuaciones diferenciales e integrales para resolver problemas empresariales y institucionales expresados en modelos matemáticos. Los contenidos incluyen funciones, derivadas, integración y ecuaciones diferenciales. Se utilizarán metodologías activas como el aprendizaje basado en problemas para promover la resolución de problemas reales. La evaluación considerará tanto el proceso como el producto mediante una rú
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento describe un algoritmo para encontrar la política óptima (s*, S*) que minimiza el costo promedio para sistemas de inventario en tiempo discreto. El sistema se modela como un problema de control markoviano. Basado en resultados de renovación, el algoritmo obtiene cotas cada vez más refinadas para s* y S* hasta converger a la política óptima. Se ilustra con un ejemplo de inventario con demandas de Poisson y los resultados son validados por simulación.
Este documento discute las derivadas parciales de funciones reales de varias variables. Define la derivada parcial de una función f con respecto a la variable xi como el límite de (f(a + tei) - f(a))/t cuando t tiende a cero, donde ei es el vector unitario en la dirección de la variable xi. Explica que el dominio adecuado para la derivación es un subconjunto abierto de Rn y que la notación ∂if(a) es equivalente a ∂f/∂xi.
Este documento presenta fórmulas para calcular el área y perímetro de figuras geométricas básicas como triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios y círculos. Explica que el área de un triángulo se calcula como base por altura dividido por dos, el área de un cuadrado como el lado al cuadrado, y el área de un círculo como pi por el radio al cuadrado. También presenta fórmulas para calcular el perímetro de estas figuras como la suma de sus
1) El documento habla sobre los límites de una función y cómo calcularlos. Explica que un límite existe cuando los límites laterales coinciden al acercarse a un valor y define reglas para calcular límites de funciones sumadas, multiplicadas o divididas. Incluye ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar los conceptos.
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1. Subgrupo Matricial de GLn(K) y
Matriz Exponencial
En este cap´ıtulo presentamos la definici´n de grupo matricial inversible y sus
o
ejemplos m´s notables con la que se cumple con el objetivo (1) propuesto.
a
Luego, exponemos la noci´n de homomorfismo continuo en grupo matricial
o
inversible, importante, ya que mantienen algunas propiedades algebraicas
y topol´gicas entre grupos matriciales inversibles y finalmente se expone
o
resultados de la matriz exponencial y logar´ ıtmica cuya utilidad, en este
trabajo, es que ayuda determinar el algebra de Lie de los grupos matriciales
´
inversibles GLn (K) y SLn (K).
2.1. Subgrupo Matricial de GLn (K)
2.1 Definici´n. Un subgrupo G de GLn (K), G ≤ GLn (K), bajo la
o
multiplicaci´n de matrices que tambi´n es cerrado en GLn (K) se dice grupo
o e
matricial inversible sobre K o un subgrupo matricial de GLn (K).
Aqu´ se entiende que G es cerrado en GLn (K) con la topolog´ rela-
ı ıa
tiva heredada de Mn (K) y donde n es un n´mero natural arbitrario.
u
Antes de considerar unos ejemplos demostramos una proposici´n y enunci-
o
24
2. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
amos una definici´n sugerida.
o
2.2 Proposici´n. Sea G ≤ GLn (K) un grupo matricial inversible sobre K.
o
Si H es subgrupo de G, H ≤ G, que tambi´n es cerrado en G entonces H es
e
subgrupo matricial de GLn (K)
Demostraci´n. Toda sucesi´n {An }n≥0 en H con l´
o o ımite en GLn (K) tiene su
ımite en G ya que An ∈ H ⊆ G para todo n y G es cerrado en GLn (K).
l´
Como H es cerrado en G, significa que {An }n≥0 tiene su l´ ımite en H.
Entonces H es cerrado en GLn (K). Adem´s ser subgrupo es una relaci´n
a o
transitiva, esto es, puesto que H ≤ G y G ≤ GLn (K) entonces H ≤ GLn (K).
Por tanto H es un subgrupo matricial de GLn (K).
Este resultado sugiere la siguiente definici´n
o
2.3 Definici´n. Sea G un grupo matricial inversible sobre K.
o
Se dice que H es subgrupo matricial de G si y s´lo si H es subgrupo de G,
o
H ≤ G, que tambi´n es cerrado en G.
e
A continuaci´n
o se presenta ejemplos de gru-
pos matriciales inversibles m´s
a notables y de
inter´s para este trabajo de pregrado
e
2.1 Ejemplo representativo. El mismo conjunto de matrices inversibles,
GLn (K), es un grupo matricial inversible ya que es subgrupo de si mismo, es
decir GLn (K) ≤ GLn (K), bajo la multiplicaci´n de matrices
o
por la proposici´n 1.17 y es cerrado en s´ mismo puesto que
o ı
GLn (K) = Mn (K) ∩ GLn (K).
2.2 Ejemplo representativo. Como SLn (K) es cerrado en Mn (K)
por la proposici´n 1.18 y SLn (K) = GLn (K) ∩ SLn (K) luego se
o
sigue es cerrado en GLn (K). Mientras por la proposici´n 1.17,
o
SLn (K) es un subgrupo de GLn (K) bajo la multiplicaci´n de o
matrices. Por tanto SLn (K) es un grupo matricial inversible o sub-
grupo matricial de GLn (K).
El conjunto de matrices inversibles denotado por GLn (K) y el conjunto de
matrices cuya determinante es uno denotado aqu´ por SLn (K) son consider-
ı
ados, en este trabajo de pregrado, como los conjuntos m´s representativos.
a
En ´lgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de ma-
a
triz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal
principal son todos ceros. Una matriz en Mn (K) es triangular superior,
25
3. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
si tiene la forma
a11 a12 · · · ··· ··· a1n
. .. ..
0 a22 . . . .
a2n
... ... ... .
.
0 0 .
. ,
.
. . ..
. ... .
. . . a(n−2)(n−2) .
.
. . ..
. .
a(n−1)(n−1) .
. . . 0 .
0 0 ··· 0 0 ann
es decir, aij = 0 si i > j.
2.3 Ejemplo Sean los conjuntos de matrices
U T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A es triangular superior con a11 = 0, a22 =
0, a33 = 0} y
SU T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A es triangular superior con a11 = 1, a22 =
1, a33 = 1}.
Entonces se prueba que U T3 (R) y SU T3 (R) son grupos matriciales inversibles
sobre R. Adem´s, SU T3 (R) es subgrupo matricial de U T3 (R).
a
En efecto.
1. El SU T3 (R) es subconjunto de U T3 (R), es decir, SU T3 (R) ⊂ U T3 (R) ⊆
GLn (K).
2. El SU T3 (R) y U T3 (R) son estables o cerrados bajo la multiplicaci´n de
o
matrices
i) Sean A, B ∈ U T3 (R),
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A = 0 a22 a23 con aii = 0 y B = 0 b22 b23 con bii = 0
0 0 a33 0 0 b33
multiplicando se tiene,
a11 b11 a11 b12 + a12 b22 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
AB = 0 a22 b22 a22 b23 + a23 b33 con aii bii = 0
0 0 a33 b33
es decir, AB ∈ U T3 (R).
26
4. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
ii) Sean A, B ∈ SU T3 (R),
1 a12 a13 1 b12 b13
A = 0 1 a23 y B = 0 1 b23
0 0 1 0 0 1
entonces,
1 b12 + a12 b13 + a12 b23 + a13
AB = 0 1 b23 + a23
0 0 1
es decir, AB ∈ SU T3 (R).
1 0 0
3. La matriz identidad, I3 = 0 1 0 ∈ SU T3 (R) ⊂ U T3 (R).
0 0 1
4. Existencia del inverso
i) Si A ∈ U T3 (R), entonces det A = a11 a22 a33 ya que
a11 a12 a13
a22 a23 0 a23
det 0 a22 a23 = (−1)1+1 a11 det + (−1)1+2 a22 det
0 a33 0 a33
0 0 a33
Observe, que la det de A
1+3 0 a22
+(−1) a33 det . es el producto de elementos
0 0
de su diagonal.
C´lculo de A−1
a ⇔ A−1 = det A transpuesta de[(−1)i+j det Aij ]
1
En primer lugar, [(−1)i+j det Aij ] es la matriz
1+1 a22 a23 0 a23 0 a22
(−1) det (−1)1+2 det (−1)1+3 det
0 a33 0 a33 0 0
(−1)2+1 det a12 a13 a11 a13 a11 a12
(−1)2+2 det (−1)2+3 det
0 a33 0 a33 0 0
a12 a13 a11 a13 a11 a12
(−1)3+1 det (−1)3+2 det (−1)3+3 det
a22 a23 0 a23 0 a22
despu´s de un c´lculo se obtiene
e a
1 −a12 a12 a23 −a13 a22
a11 a11 a22 a11 a22 a33
−a23
A−1 = 0 1
a22 a22 a33
∈ U T3 (R).
1
0 0 a33
27
5. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
ii) Si A ∈ SU T3 (R) entonces det A = 1 ya que a11 = a22 = a33 = 1. Por
tanto
1 −a12 a12 a23 − a13
A−1 = 0 1 −a23
0 0 1
5. La funci´n coordrs : M3 (R) → R, dada por coordrs (A) = ars es continua,
o
por la proposici´n 1.10. Por lo que coord−1 {0}, coord−1 {0}, coord−1 {0},
o 21 31 32
coord−1 {1}, coord−1 {1}, coord−1 {1} son cerrados en M3 (K), por ser {0} y
11 22 33
{1} cerrados en R.
Observe que coord−1 {0} = {A ∈ M3 (R) : coord21 (A) = a21 = 0} y tambi´n
21 e
n´tese
o
a21 = 0,
GL3 (R) ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} = GL3 (R) ∩ A ∈ M3 (R) : a31 = 0 y
21 31 32
a32 = 0
a = a31 = a32 = 0,
= A ∈ M3 (R) : 21
con detA = 0
matriz triangular
= A ∈ M3 (R) : superior,
con det(A) = 0
matriz triangular
superior,
= A ∈ M3 (R) :
con aii = 0
para i = 1, 3
= U T3 (R).
De l´
ıneas arriba y usando argumentos an´logos, se tiene
a
U T3 (R) = GL3 (R) ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0}
21 31 32
SU T3 (R) = GL3 (R) ∩ coord21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {1}
−1 −1
32 11
−1 −1
∩coord22 {1} ∩ coord33 {1}
6. De los dos ultimos igualdades, se deduce
´
SU T3 (R) = U T3 (R) ∩ coord−1 {1} ∩ coord−1 {1} ∩ coord−1 {1}.
11 22 33
Luego por 2, 3, 4 se tiene que U T3 (R) y SU T3 (R) son subgrupos bajo
la multiplicaci´n de matrices. Por 1 se tiene que SU T3 (R) es subgrupo
o
28
6. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
matricial bajo la multiplicaci´n de matrices de U T3 (R). De 5 se tiene que
o
SU T3 (R) y U T3 (R) son cerrados en GL3 (R).
Por tanto U T3 (R) y SU T3 (R) son grupos matriciales inversibles sobre
R, adem´s por 6 SU T3 (R) es subgrupo matricial de U T3 (R).
a
En el siguiente ejemplo se demuestra el caso de orden n × n
2.4 Observaci´n Sean los conjuntos de matrices
o
U Tn (K) = {A ∈ GLn (K) : A es triangular superior con aii = 0, para i = 1, n}
SU Tn (K) = {A ∈ GLn (K) : A es triangular superior con aii = 1, para i = 1, n}.
Entonces U Tn (K) y SU Tn (K) son grupos matriciales inversibles sobre K.
Adem´s, SU Tn (K) es subgrupo matricial de U Tn (K).
a
En efecto.
1. El SU Tn (R) es subconjunto de U Tn (R), es decir, SU Tn (R) ⊂ U Tn (R) ⊆
GLn (K).
2. El U Tn (K) y SU Tn (K) son estables o cerrados bajo la multiplicaci´n de
o
matrices
i) Sean A, B ∈ U Tn (K),
a11 · · · a1n b11 · · · b1n
A = . ... . con a = 0, i > j B = . ... . con b = 0, i > j
. . . .
. . ij . . ij
0 · · · ann 0 · · · bnn
entonces,
a11 b11 · · · a1j bin
. ... . 0 pues aij = 0 para i > j
AB = . . con aij bij =
. . 0 pues bij = 0 para i > j
0 ··· ann bnn
es decir, AB ∈ U Tn (K).
ii) Si aii = 1 y bii = 1 entonces aii bii = 1. Por lo tanto si A, B ∈ SU Tn (K)
implica que AB ∈ SU Tn (K).
3. La matriz identidad, In ∈ SU Tn (K) ⊂ U Tn (K).
4. Existencia del inverso
29
7. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
i) Si A ∈ U Tn (K), entonces det A = a11 a22 · · · ann que det A1j
ya 0
=
1
a11
··· 0
. .. .
para j = par. Por tanto A−1 = transpuesta de . . . ∈
. .
Σi 1
=0
··· ann
U Tn (K).
ii) Si A ∈ SU Tn (K) entonces det A 1 y det Aij 0 para i < j.
= =
1 ··· 0
. .
Por tanto A−1 = transpuesta de . . . . . ∈ SU Tn (K).
. .
Σi
=0
··· 1
5. Por otro lado
U Tn (K) = GLn (K) ∩ coord−1 {0}
ij
i>j
SU Tn (K) = GLn (K) ∩ coord−1 {1} ∩ · · · ∩ coord−1 {1} ∩
11 nn coord−1 {0}
ij
i>j
6. De las dos ultimas igualdades se tiene
´
SU Tn (K) = U Tn (K) ∩ coord−1 {1} ∩ · · · ∩ coord−1 {1}
11 nn
Por 2, 3, 4 se tiene que U Tn (K) y SU Tn (K) son subgrupos bajo la mul-
tiplicaci´n de matrices. Por 1 se tiene que SU Tn (K) es subgrupo bajo
o
la multiplicaci´n de matrices de U Tn (K). De 5 se tiene que SU Tn (K) y
o
U Tn (K) son cerrados en GLn (K).
Por consiguiente U Tn (K) y SU Tn (K) son grupos matriciales inversibles
sobre K, adem´s por 6 SU Tn (K) es subgrupo matricial de U Tn (K).
a
2.5 Ejemplo Podemos hacer que GLn (K) sea un subgrupo matricial
de GLn+1 (K). Aumentando fila y columna apropiadamente.
En efecto. Sea L la aplicaci´n definida por
o
L : GLn (K) −→ L(GLn (K)) ⊆ GLn+1 (K)
A −→ L(A) = A donde
a11 · · · a1n 0
. .. . .
A 0 . . . .
A := = . . .
0 1 an1 · · · ann 0
0 ··· 0 1
30
8. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
a11 · · · a1n
para A = . .. . cualquier matriz en GL (K); entonces las sigu-
. .
. . . n
an1 · · · ann
ientes propiedades se satisfacen:
i) detA = detA,
ii) A = B si y s´lo si A = B,
o
iii) (AB) = A B ,
iv) (A )−1 = (A−1 ) ,
v) lim (An ) = ( lim An ) .
n→∞ n→∞
En efecto: Sea A, B, An ∈ GLn (K) con lim An = A y A ∈ GLn+1 (K),
n→∞
A 0
i) detA = det = detA.det1 = detA
0 1
A 0 B 0
ii) A = B ⇔ = ⇔A=B
0 1 0 1
A 0 B 0 AB 0
iii) A B = = = (AB)
0 1 0 1 0 1
−1
−1 A 0 A−1 0
iv) (A ) = = = (A−1 ) ,
0 1 0 1
An 0 lim An 0
v) lim (An ) = lim = n→∞ = ( lim An ) .
n→∞ n→∞ 0 1 0 1 n→∞
vi) L(A) = L(B) ⇒ A = B ⇒ A = B
vii) L(AB) = (AB) = A B = L(A)L(B)
viii) lim L(An ) = lim (An ) = ( lim An ) = L( lim An ) = L(A)
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
31
9. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Por lo tanto L es un homomorfismo de grupos inyectivo tal que la funci´n
o
L es continua. As´ la imagen de L, L(GLn (K)) = {A : A ∈ GLn (K)}, es
ı,
subgrupo matricial de GLn+1 (K).
2.2. Homomorfismo Continuo de Subgrupos Matriciales
de GLn (K).
En el estudio de grupos la noci´n de homomorfismo continuo de grupos
o
cobra un papel principal debido a que preservan algunas propiedades
algebraicas como topol´gicas. Por lo que en esta secci´n introducimos
o o
su definici´n luego se pone a luz que el cociente de dos subgrupos
o
matriciales de GLn (K) donde uno de ellos es un subgrupo normal
del otro no necesariamente es subgrupo matricial de GLn (K). Por
lo que esta secci´n proporcionar´ una nueva forma de comprobar la hip´tesis.
o a o
Para relacionar dos grupos se necesita definir una aplicaci´n que preserve la
o
estructura de grupo por lo que es necesario precisar. Sean (G, ) y (G , )
dos grupos, un homomorfismo de grupos es una funci´n ϕ : G −→ G tal
o
que si u, v ∈ G, ϕ(u v) = ϕ(u) ϕ(v).
En la siguiente definici´n se entiende que los subgrupos matriciales de
o
GLn K, G y H, tienen la topolog´ relativa heredada de Mn (K)
ıa
2.5 Definici´n. Sean G, H dos grupos matriciales inversibles sobre K y
o
ϕ : G −→ H un homomorfismo de grupos. Se dice ϕ es un homomorfismo
continuo de subgrupos matriciales si y s´lo si ϕ es continua y la imagen por
o
ϕ, Imϕ = ϕ(G), es un subgrupo matricial de H.
En otras palabras una aplicaci´n ϕ : G −→ H entre subgrupos matri-
o
ciales es homomorfismo continuo de subgrupos matriciales si:
i) ϕ es un homomorfismo de grupos, con la multiplicaci´n de matrices,
o
ii) ϕ es una funci´n continua, es decir, para cada {An } con An ∈ G y
o
limAn = A se tiene lim ϕ(An ) = ϕ(A),
iii) La imagen por ϕ es subgrupo de H, ϕ(G) ≤ H, y es un subconjunto
cerrado en H.
En el siguiente ejemplo (2.6) se mues-
tra un homomorfismo continuo de subgrupos
32
10. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
matriciales. Para este prop´sito definimos el c´
o ırculo unitario complejo
con centro en el origen del plano complejo como S1 := {z ∈ C : zz = 1} que
puede ser visto como un grupo matricial sobre C.
2.6 Ejemplo de un homomorfismo continuo de subgrupo ma-
tricial.
La aplicaci´n
o
1 t
ϕ : SU T2 (R) −→ S1 ; ϕ = e2πti
0 1
es un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales, adem´s es sobreyec-
a
tiva.
En efecto. Sea z en S1 , la circunferencia unitario con centro en el origen del
plano complejo, entonces z = cos(2πt) + isen(2πt) = e2πti para alg´n t ∈ R.
u
Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.
Para verificar 1: Homomorfismo de ϕ
1 t1 1 t2 1 t1 + t2
ϕ · = ϕ
0 1 0 1 0 1
= e2π(t1 +t2 )i = e2πt1 i e2πt2 i
1 t1 1 t2
= ϕ ϕ .
0 1 0 1
Para verificar 2 : La continuidad de ϕ
Sea {tn }n∈N una sucesi´n de n´meros reales tales que tn −→ t ∈ R; entonces
o u
1 tn
es una sucesi´n convergente cualquiera en SU T2 (R) y
o
0 1 n≥1
1 tn 1 t
lim ϕ = lim e2πtn i = e2πti = ϕ .
n−→∞ 0 1 n−→∞ 0 1
Para verificar 3 : La imagen de ϕ es subgrupo matricial.
La funci´n ϕ es sobreyectiva entonces ϕ(SU T2 (R)) = S1 ; que es un subgrupo
o
cerrado de C.
Para que dos grupos sean id´nticos en estructura algebraica es nece-
e
sario definir una funci´n que preserve tal estructura por lo que es necesario
o
precisar. Sea ϕ : G −→ G un homomorfismo de grupos. Se dice que
33
11. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
ϕ : G −→ G es un isomorfismo si existe un homomorfismo ϕ−1 : G −→ G
tal que ϕ−1 ◦ ϕ = IG y ϕ ◦ ϕ−1 = IG . En consecuencia se dice que G y G
son isomorfos si existe un isomorfismo y se denota por G ∼ G .
=
El nucleo de ϕ, denotado por Kerϕ, es el conjunto de todos los elementos
x ∈ G tales que ϕ(x) = I donde I denota la identidad de G . La imagen de
ϕ, denotada por Imϕ, es el conjunto de ϕ(x) con x ∈ G.
Sea ϕ : G −→ G un Homomorfismo de grupos. Si H es un subgrupo de G
entonces ϕ(H) es un subgrupo de G . Si H es un subgrupo de G entonces
ϕ−1 (H ) es un subgrupo de G.
Observe que la imagen inversa es un subgrupo del dominio aunque no exista
una funci´n inversa ϕ−1 para ϕ. En consecuencia Kerϕ es subgrupo de G y
o
Imϕ es subgrupo de G .
Sea ϕ : G −→ G un Homomorfismo de gru-
pos. Si ϕ es biyectiva entonces la funci´n
o
inversa ϕ−1 : G −→ G es tambi´n un homomorfismo. Si x ∈ G en-
e
tonces ϕ(x−1 ) = ϕ−1 (x). Tambi´n, ϕ(IG ) = IG .
e
Sean G, H subgrupos matriciales inversibles. Cuando ϕ : G −→ H
es un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales y adem´s es una
homeomorfismo (es decir, una biyecci´n con inversa continua) entonces se
o
dice que ϕ es un isomorfismo continuo de subgrupos de matriciales.
En consecuencia se dice que G como H son esencialmente id´nticos como
e
subgrupos matriciales de GLn (K).
2.6 Proposici´n. Sea ϕ : G −→ H un homomorfismo continuo de subgru-
o
pos matriciales de GLn (K). Entonces kerϕ es un subgrupo matricial de G.
El grupo cociente, G/kerϕ, puede ser identificado con el subgrupo matricial,
ϕ(G), mediante el isomorfismo cociente usual ϕ : G/kerϕ → ϕ(G).
Demostraci´n. Por ser ϕ un homomorfismo de grupos, kerϕ es subgrupo de
o
G. Veamos si kerϕ es un subconjunto cerrado de G.
Sea {gi }i∈N una sucesi´n de elementos en kerϕ tal que gi → g ∈ G; entonces
o
ϕ(g) = ϕ( lim gi ) = lim ϕ(gi ) = 0,
i→∞ i→∞
por lo tanto g ∈ kerϕ y as´ kerϕ es cerrado en G.
ı
Por el teorema fundamental de homomorfismo de la teor´ de grupos ϕ
ıa
existe.
N´tese, que ϕ : G/kerϕ → ϕ(G) no necesariamente es un homomorfismo
o
continuo de subgrupos matriciales dado que G/kerϕ no necesariamente es
34
12. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
un grupo matricial inversible.
2.3. Matriz Exponencial y Logaritmo.
Las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logar´
ıtmicas son
fundamentales en el estudio de subgrupos matriciales; la importancia de la
funci´n exponencial en la Teor´ de Lie es que aplica el algebra de Lie de
o ıa ´
un grupo de Lie en el grupo mismo. En particular en grupos matriciales
inversibles como veremos m´s adelante.
a
Las series de potencias exponencial, ex , y logaritmo, ln(x), en el plano
complejo definidas por
1 n (−1)n−1 n
ex = x , ln(x) = x , (x ∈ C)
n≥0
n! n≥1
n
tienen como radio de convergencia infinita (∞) y 1 respectivamente. Este
resultado se puede extender a Mn (K) como veremos a continuaci´n.
o
Para A ∈ Mn (K) se tiene las siguientes series convergentes en Mn (K)
1 n 1 1
Exp(A) := A = I + A + A2 + A3 + · · · ,
n≥0
n! 2! 3!
(−1)n−1 n 1 1 1
Ln(A) := A = A − A2 + A3 − A4 + · · · ,
n≥1
n 2 3 4
cuyos radios de convergencia son infinita (∞) y 1, respectivamente.
Observe que la serie Exp(A) converge para todo A ∈ Mn (K) mientras la serie
Ln(A) converge para A < 1. En efecto, para A ∈ Mn (K) se tiene
N N
1 n 1 n
A ≤ A
n=0
n! n=0
n!
N ∞
1 n 1 n
A ≤ A
n=0
n! n=0
n!
N
1 n A
0≤ A ≤ e = cte donde A ∈ K y N ∈ N,
n=0
n!
35
13. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
luego, por el criterio de Cauchy para series, la sucesi´n de sumas parciales
o
N 1 n
n=0 n! A es convergente. Puesto que Mn (K) es un espacio m´trico
e
N ∈N
completo, por la proposici´n 1.15, y por criterio de comparaci´n se deduce
o o
1 n
que la serie n!
A converge a una matriz de Mn (K) para todo A ∈ Mn (K).
n≥0
An´logamente, para la serie Ln(A) se tiene
a
N N N ∞
(−1)n−1 n 1 n n
A ≤ A ≤ A ≤ A n,
n=1
n n=1
n n=1 n=1
(−1)n−1 n
luego usando criterios se deduce que la serie Ln(A) := n
A converge
n≥1
a una matriz de Mn (K) para A < 1.
Se dar´n a continuaci´n una serie de teoremas y proposiciones, de
a o
utilidad para este trabajo, las cuales se pueden encontrar en el libro de
Baker[5].
2.7 Proposici´n. Sea A ∈ Mn (K).
o
i) Para u, v ∈ C, Exp((u + v)A) = Exp(uA)Exp(vA).
ii) Exp(A) ∈ GLn (K) y Exp(A)−1 = Exp(−A).
Demostraci´n.
o
1
i) Desarrollando la serie Exp((u + v)A) = n≥0 n! (u + v)n An =
(u+v)n n
n≥0 n!
A .
36
14. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Por otro lado
ur r vs s
Exp(uA)Exp(vA) = A A
r≥0
r! s≥0
s!
ur v s r+s
= A
r≥0 s≥0
r!s!
n
ur v n−r
= An
n≥0 r=0
r!(n − r)!
n
1 n
= ur v n−r An
n! r
n≥0 r=0
n
(u + v) n
= A
n≥0
n!
= Exp((u + v)A).
ii) De la parte (i),
I = Exp(0) = Exp((1 + (−1))A) = Exp(A)Exp(−A), luego Exp(A)
es invertible con inversa Exp(−A).
Estas propiedades permiten definir la funci´n exponencial como la apli-
o
caci´n
o
1 n
exp : Mn (K) −→ GLn K; exp(A) := Exp(A) = A .
n≥0
n!
2.8 Proposici´n. Si A, B ∈ Mn (K) conmutan entonces exp(A + B) =
o
37
15. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
exp(A)exp(B). Demostraci´n.
o
1 r 1 s
exp(A)exp(B) = A B
r≥0
r! s≥0
s!
1 r s
= AB
r≥0 s≥0
r!s!
n
1
= Ar B n−r ; haciendo: r + s = n
n≥0 r=0
r!(n − r)!
n
1 n
= Ar B n−r
n! r
n≥0 r=0
1
= (A + B)n
n≥0
n!
= exp(A + B).
Tenga en cuenta, que se hace uso crucial de la conmutatividad de A y B en
n
la identidad nr=0 Ar B n−r = (A + B)n .
r
Igualmente, que para la funci´n exponencial, se define la funci´n
o o
logaritmo
(−1)n−1
ln : NMn (K) (I; 1) −→ Mn (K); ln(A) := Ln(A − I) = (A − I)n .
n≥1
n
N´tese, existe ln(A) para A − I < 1.
o
2.9 Proposici´n. Las funciones exp y ln tienen las siguientes propiedades.
o
i) Si A − I < 1, entonces exp(ln(A)) = A.
ii) Si exp(B) − I < 1, entonces ln(exp(B)) = B.
Demostraci´n.
o
De las series de potencias formales se derivan las siguientes identidades
m
1 (−1)n−1
(x − 1)n = x,
m≥0
m! n≥1
n
n
(−1)n−1 1
(x)m = x,
n≥1
n m≥0
m!
38
16. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
reemplazando x por A y B se obtiene lo que se quiere.
La funci´n exponencial es continua en 0n ∈ Mn (K). En efecto, para
o
cualquier > 0 existe δ = ln( + 1) tal que si A − 0 < δ entonces
1 n 1 n 1 n
exp(A)−exp(0n ) ≤ A ≤ A < δ = eδ −1 = eln( +1) −1 < .
n≥1
n! n≥1
n! n≥1
n!
Adem´s, para r ∈ R+ tenemos
a
exp(NMn (K) (0; r)) ⊆ NMn (K) (I; er − 1),
ya que para A < r se tiene,
1 n 1 n 1 n
exp(A) − I = A ≤ A < r = er − 1.
n≥1
n! n≥1
n! n≥1
n!
2.10 Proposici´n. Sea la funci´n exponencial, exp : Mn (R) −→ GLn (R)
o o
∞
1 k
dada por exp(A) = k!
A .
k=0
i) La aplicaci´n exp es inyectiva cuando es restringida a la bola abierta
o
NMn (R) (0n , ln 2).
ii) La funci´n exponencial, exp, es un difeomorfismo de una bola abierta
o
de 0n , en una bola abierta de In .
Demostraci´n.
o
i) Sea A, B ∈ NMn (R) (0n , ln 2). como exp(NMn (R) (0n , ln 2)) ⊆
NMn (R) (In , 1) entonces exp(A), exp(A) ∈ NMn (R) (In , 1), es decir,
exp(A) − In < 1 y exp(B) − In < 1.
exp(A) = exp(B)
ln(exp(A)) = ln(exp(B))
A = B.
ii) Esta afirmaci´n
o es verdadera porque es
un caso particular del teorema 4.9.
haciendo G = GLn (R) y g = g = Mn (R).
39
17. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
2.11 Proposici´n Para A, B ∈ Mn (C) tal que AB = BA conmutan, se
o
tiene
d
exp(A + hB) = Bexp(A).
dh |h=0
Demostraci´n. Sea A que conmuta con B, AB = BA, entonces
o
d 1
exp(A + hB) = lim {exp(A + hB) − exp(A)}
dh |h=0 h→0 h
1
= lim {exp(hB)exp(A) − exp(A)}
h→0 h
1 In
= lim exp(hB) − lim exp(A)
h→0 h h→0 h
∞
1 1 In
= lim (hB)k − lim exp(A)
h→0 h k! h→0 h
k=0
In hB 2 h2 B 3 In
= lim + lim B + lim + lim − lim exp(A)
h→0 h h→0 h→0 2! h→0 3! h→0 h
= Bexp(A).
Para la siguiente definici´n
o y lo que resta
de trabajo se suponen a, b ∈ R tal que
a < 0 < b.
2.12 Definici´n. Una curva diferenciable en Mn (K) es una funci´n
o o
γ : (a, b) −→ Mn (K)
tal que la derivada de γ en t, γ (t), existe para cada t ∈ (a, b). Aqu´ γ (t)
ı
significa un elemento de Mn (K) definido por
γ(s) − γ(t)
γ (t) = lim ,
s→t s−t
siempre que este l´
ımite exista.
ımite antes mencionado existe si y s´lo si existen los n2 limites de variable
El l´ o
compleja o real,
γ(s)ij − γ(t)ij
lim = γ (t)ij para 1 ≤ i, j ≤ n,
s→t s−t
40
18. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
donde
γ(s)11 · · · γ(s)1n γ(t)11 · · · γ(t)1n
γ(s) = . .. . , γ(t) = . .. . ∈ M (K).
. . . .
. . . . . . n
γ(s)n1 · · · γ(s)nn γ(t)n1 · · · γ(t)nn
Consid´rese la ecuaci´n diferencial de primer orden
e o
γ (t) = γ(t)A,
para γ una curva diferenciable en Mn (K) y A una matriz no nula en Mn (K).
2.13 Teorema. Para A, C ∈ Mn (R) con A no nula, y a < 0 < b, la ecuaci´no
diferencial
γ (t) = γ(t)A
tiene una unica soluci´n γ : (a, b) → Mn (R) con condici´n inicial γ(0) = C.
´ o o
Adem´s, si C es invertible, entonces tambi´n lo es γ(t) para cada t en (a, b).
a e
Demostraci´n. En primer lugar resolveremos la ecuaci´n diferencial sujeta a
o o
la condici´n de inicial α(0) = I.
o
Para t ∈ a, b , la serie
tk k 1
A = (tA)k = exp(tA)
k≥0
k! k≥0
k!
converge, por lo que la funci´n definida por
o
α : a, b −→ Mn (R); α(t) = exp(tA),
tiene como diferencial
tk−1
α (t) = Ak = exp(tA)A = Aexp(tA).
k≥1
(k − 1)!
Por lo tanto α satisface la anterior ecuaci´n diferencial con condici´n inicial
o o
α(0) = I.
Observe tambi´n que cuando los valores s, t, (s + t) ∈ a, b , se cumple
e
α(s + t) = exp((s + t)A) = exp(sA)exp(tA) = α(s)α(t).
En consecuencia, haciendo s + t = 0, se deduce que α(t) es siempre invertible
con α(t)−1 = α(−t).
41
19. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Una soluci´n
o de la ecuaci´n
o diferencial su-
jeta a la condici´n
o inicial α(0) = C es
α(t) = Cexp(tA).
Unicidad de soluci´n: Supongamos que β con β(0) = C es una soluci´n
o o
de la ecuaci´n diferencial. Entonces γ(t) := β(t)exp(−tA) satisface
o
d
γ (t) = β (t)exp(−tA) + β(t) exp(−tA)
dt
= β (t)exp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
= β(t)Aexp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
= 0.
Entonces γ(t) es una funci´n constante para todo t ∈ a, b con
o
γ(t) = γ(0) = C, ya que γ(0) = β(0)exp(0A) = β(0) = C. As´ pues,
ı
β(t) = Cexp(tA) es la unica soluci´n sujeta a β(0) = C.
´ o
Si C es invertible entonces Cexp(tA) tambi´n es invertible para todo
e
t ∈ a, b .
´
2.4. Resultados Utiles de la Matriz Exponencial.
En esta secci´n se exponen algunos resultados de la funci´n exponencial
o o
en versi´n matricial, que sera util en la obtenci´n de algebras de Lie y en
o ´ o
algunas demostraciones posteriores.
2.14 Lema. Sea α : (a, b) −→ Mn (R) una curva diferenciable en
Mn (R) con α(0) = I. Entonces
d
detα(t) = trα (0). (2.1)
dt |t=0
Demostraci´n. Sea A ∈ Mn (K) y la traza
o
n
trA = aii .
i=1
d
Usando el operador ∂ = dt t=0
que tiene la propiedad de derivaci´n
o
∂(γ1 γ2 ) = (∂γ1 )γ2 (0) + γ1 (0)(∂γ2 ).
Para aij (t) = α(t)ij , evaluando en t = 0
aij (0) = δij .
42
20. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
Escribimos con Cij , la matriz cofactor, obtenida suprimiendo la i-´sima fila y
e
la j-´sima columna de la matriz α(t). Luego la determinante de α(t) usando
e
la n-´sima fila es
e
n
detα(t) = (−1)n+j anj (t)detCnj (t)
j=1
entonces
n
∂detα(t) = (−1)n+j {(∂anj )detCnj (0) + anj (0)(∂detCnj )}
j=1
n
= (−1)n+j (∂anj )detCnj + (∂detCnn ).
j=1
Para t = 0, detCnj (0) = δjn ya que α(0) = In , lo que implica
∂det(α(t)) = ∂ann + ∂detCnn .
Se repite el calculo para la matriz Cnn de orden (n − 1) × (n − 1), matriz
obtenida suprimiendo la n-´sima fila y n-´sima columna, luego tenemos que
e e
∂det(α(t)) = ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂detC(n−1)(n−1)
.
.
.
= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂a(n−2)(n−2) + · · · + ∂a22 + ∂a11
= trα (0)
2.15 Lema. Para A ∈ Mn (C) tenemos
det exp(A) = etrA . (2.2)
Demostraci´n. Usando ecuaciones diferenciales
o
Haciendo C× := C − {0} = GL1 (C), consid´rese la curva
e
γ : R −→ GL1 (C) = C× ; γ(t) = det exp(tA).
La curva γ satisface la ecuaci´n diferencial con condici´n inicial,
o o
γ (t) = γ(t)trA
(2.3)
γ(0) = 1,
43
21. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
En efecto:
det exp((t + h)A) − det exp(tA)
γ (t) = lim
h→0 h
det exp((t)A)exp(hA) − det exp(tA)
= lim
h→0 h
det exp(hA) − 1
= det exp(tA) lim
h→0 h
d
= det exp(tA) det exp(tA) por lema 2.14 para t → exp(tA)
dt |t=0
= det exp(tA)trA
= γ(t)tr(A).
Tambi´n satisface la condici´n inicial γ(0) = det exp(0A) = det(I) = 1.
e o
Por otro lado la curva t −→ ettrA tambi´n satisface la ecuaci´n difer-
e o
encial (2.3), por lo tanto utilizando la unicidad de soluci´n de una ecuaci´n
o o
t trA
diferencial, teorema 2.13, obtenemos que γ(t) = det exp(tA) = e .
La proposici´n 2.10 nos permite escoger un r ∈ R con 0 < r ≤ 1/2 < ln(2)
o
de tal forma que si A, B ∈ NMn (R) (0, r) entonces exp(A)exp(B) ∈
exp NMn (R) (0, ln 2) .
Puesto que exp es inyectiva sobre NMn (R) (0, ln 2) por la proposi´n
o
2.10, luego se sigue que existe un unico C ∈ Mn (R) tal que
´
exp(A)exp(B) = exp(C). (2.4)
Utilizando la f´rmula de Campbell-Hausdorff se puede expresar C como una
o
serie de potencias en A, B y [A, B] de la forma siguiente
1
C = A + B + [A, B] + S
2
donde [A, B] := AB − BA (es el conmutador o corchete de Lie en Mn (R))
y la matriz S ∈ Mn (R) es el resto que tiene una norma delimitada por una
expresi´n de la forma cte( A + B )cte .
o
2.16 Proposici´n. Supongamos las matrices A, B y C en Mn (R) con
o
norma menor que 1/2 tal que exp(A)exp(B) = exp(C). Entonces si
1
C = A + B + [A, B] + S, (2.5)
2
44
22. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
la matriz S satisface
S ≤ 65( A + B )3 .
Demostraci´n.
o
Para X ∈ Mn (R) cualquiera con X ≤ 1 se tiene
exp(X) = I + X + R1 (X),
donde R1 (X) es el resto de terminos dada por
1 k
R1 (X) = X .
k≥2
k!
Entonces,
2 1 k−2
R1 (X) ≤ X X ,
k≥2
k!
y como X ≤ 1,
2 1
R1 (X) ≤ X = X 2 (e − 2) < X 2 .
k≥2
k!
1
Asi pues, en particular para C < 2
se tiene
2
R1 (C) ≤ C y exp(C) = I + C + R1 (C).
Por otro lado, usando (2.5) y el desarrollo de exp(A)exp(B) se tiene
exp(C) = exp(A)exp(B) = I + A + B + R1 (A, B),
donde
k
1 k!
R1 (A, B) = Ar B k−r
k≥2
k! r=0
r!(k − r)!
aplicando tenemos
k
1 k! r k−r
R1 (A, B) ≤ A B
k≥2
k! r=0
r!(k − r)!
( A + B )k
=
k≥2
k!
2 ( A + B )k−2
= ( A + B )
k≥2
k!
2
< ( A + B )
45
23. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
puesto que ( A + B ) < 1, debido a que A + B < 1 + 2
1
2
<1.
Combinando estas dos maneras de escribir exp(C) se tiene
C = A + B + R1 (A, B) − R1 (C) (2.6)
Luego tenemos
C ≤ A + B + R1 (A, B) + R1 (C)
< A + B + ( A + B )2 + C 2
1
≤ 2 ( A + B ) + C 2,
2
1
ya que A , B , C < 2 . Finalmente de estos se sigue
C ≤ 4( A + B ).
De la ecuaci´n (2.6) tambi´n tenemos
o e
C −A−B ≤ R1 (A, B) + R1 (C)
≤ ( A + B )2 + (4( A + B ))2 ,
o sea C − A − B ≤ 17 ( A + B )2 .
Ahora vamos a refinar a´n m´s estas estimaciones. Escribiendo
u a
1
exp(C) = I + C + C 2 + R2 (C),
2
donde
1 k
R2 (C) = C .
k≥3
k!
la estimaci´n se ajusta aun m´s
o a
1 3
R2 (C) ≤ C
3
1
ya que C < 2 < 1.
Usando la ecuaci´n (2.5) obtenemos
o
1 1
exp(C) = I + A + B + [A, B] + S + C 2 + R2 (C)
2 2
1 1
= I + A + B + [A, B] + (A + B)2 + T
2 2
1 2
= I + A + B + (A + 2AB + B 2 ) + T, (2.7)
2
46
24. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
donde
1 2
T =S+ C − (A + B)2 + R2 (C).
2
Por otro lado tenemos
1 2
exp(A)exp(B) = I+A+B+ A + 2AB + B 2 +R2 (A, B) (2.8)
2
donde
k
1 k!
R2 (A, B) = Ar B k−r ,
k≥3
k! r=0
r!(k − r)!
que satisface
1
R2 (A, B) ≤ ( A + B )3
3
ya que A + B < 1.
Comparando las ecuaciones (2.7) y (2.8) y usando exp(A)exp(B) = exp(C)
tenemos que
1
S = R2 (A, B) + (A + B)2 − C 2 − R2 (C).
2
Tomando normas tenemos
1
S ≤ R2 (A, B) + (A + B)(A + B − C) + (A + B − C)C + R2 (C)
2
1 1 1
≤ ( A + B )3 + ( A + B + C ) A + B − C + C 3
3 2 3
1 5 1
≤ ( A + B ) + ( A + B ) · 17( A + B ) + (4 A + B )3
3 2
3 2 3
≤ 65( A + B )3 ,
Por tanto la estimaci´n obtenida es
o
S ≤ 65( A + B )3 . (2.9)
2.17 Teorema. Para A, B ∈ Mn (R) se tiene las siguientes formulas.
F´rmula del Producto Trotter:
o
exp(A + B) = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .
r→∞
47
25. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
F´rmula del Conmutador:
o
2
exp[A, B] = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)exp(−(1/r)A)exp(−(1/r)B)}r .
r→∞
Demostraci´n.
o
Demostraci´n de la F´rmula del Producto Trotter
o o
Haciendo r lo suficientemente grande tomamos U = 1 A y V = 1 B y reem-
r r
plazando en exp(U )exp(V ) = exp(C) se tiene
1 1
exp( A)exp( B) = exp(Cr ) (2.10)
r r
donde
1 17( A + B )2
Cr − (A + B) ≤ .
r r2
17( A + B )2
Haciendo r −→ ∞ en rCr − (A + B) ≤ r
se tiene
17( A + B )2
rCr − (A + B) = −→ 0.
r
Por tanto rCr −→ (A + B). Como exp(rCr ) = exp(Cr )r , y exp es continua
en su dominio, entonces se obtiene
exp(A + B) = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .
r→∞
Demostraci´n de la F´rmula del conmutador.
o o
De exp( 1 A)exp( 1 B) = exp(Cr ), se tiene
r r
1 1 ( A + B )3
Cr = (A + B) + 2 [A, B] + Sr donde Sr ≤ 65 .
r 2r r3
Similarmente, reemplazando A, B con −A, −B en (2.10) se obtiene
exp((−1/r)A)exp((−1/r)B) = exp(Cr ),
donde
A + B )3
Cr = −1 (A + B) + 2r2 [A, B] + Sr
r
1
y Sr ≤ 65 ( r3
.
Multiplicando estos resultados se obtiene
1 1 1 1
exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) = exp(Cr )exp(Cr ) = exp(Er ),
r r r r
48
26. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
donde
1 1 1
Er = Cr +Cr + [Cr , Cr ]+Tr = 2 [A, B]+ [Cr , Cr ]+Sr +Sr +Tr . (2.11)
2 r 2
Aqu´ Tr es el resto, proposici´n 2.16.
ı o
Haciendo los c´lculos se tiene,
a
1 1 −1 1
[Cr , Cr ] = [ (A + B) + 2 [A, B] + Sr , (A + B) + 2 [A, B] + Sr ]
r 2r r 2r
1 1 1
= 3 [A + B, [A, B]] + [A + B, Sr + Sr ] + 2 [[A, B], Sr − Sr ] + [Sr , Sr ].
r r 2r
cte cte
Puesto que r ≥ 1, Sr ≤ r3
, Sr ≤ r3
entonces
1 1 4 cte
3
[A + B, [A, B]] ≤ 3 2 A + B [A, B] ≤ 3
= 3;
r r r r
1 1 cte cte cte
[A + B, Sr + Sr ] ≤ 2 A+B Sr +Sr ≤ 2 Sr +Sr ≤ 2 + 3 = ;
r r r3 r r3
1 1 1 cte cte cte
2
[[A, B], Sr − Sr ] ≤ 2 2 [A, B] Sr −Sr ≤ 2 ( Sr + Sr ) ≤ 3 + 3 = 3 ;
2r 2r r r r r
por ultimo [Sr , Sr ] ≤ 2 Sr Sr ≤ 2 cte · cte ≤ cte . Entonces [Cr , Cr ] tiene
´ r3 r3 r3
una norma delimitada por una expresi´n de la forma (constante)/r3 .
o
De (2.11) tenemos Er − r12 [A, B] = 1 [Cr , Cr ] + Sr + Sr + Tr y adem´s
2
a
Tr ≤ cte . Luego se deduce que Er − r12 [A, B] tiene una norma delimitada
r3
por una expresi´n de la forma (constante)/r3 .
o
Consideremos
Qr = r2 Er − [A, B].
Luego aplicando norma
1 (constante)
Qr = r2 Er − [A, B] = |r2 | Er − 2
[A, B] ≤ |r2 |
r r3
Haciendo r −→ ∞ se tiene
(constante)
Qr ≤ −→ 0,
r
49
27. Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg
o sea, Qr −→ 0. Como r2 Er = [A, B]+Qr entonces exp(r2 Er ) = exp([A, B]+
Qr ). Puesto que exp es continuidad y haciendo r −→ 0, se sigue
2
exp(Er )r = exp([A, B] + Qr ) −→ exp([A, B]).
Puesto que exp(Er ) = exp( 1 A)exp( 1 B)exp(− 1 A)exp(− 1 B) entonces
r r r r
r2
1 1 1 1
exp([A, B]) = lim exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) .
r→∞ r r r r
50