Este documento describe los métodos y condiciones para la medición exacta de ángulos en topografía. Explica que los ángulos horizontales pueden medirse directamente con teodolito o indirectamente mediante distancias horizontales. Luego detalla siete condiciones que debe cumplir un teodolito para medir ángulos correctamente, como que su eje vertical debe coincidir con la vertical del lugar y su eje horizontal debe ser perpendicular al vertical. Finalmente, resume los pasos para colocar correctamente un teodolito sobre una estación.
Este documento describe los métodos y condiciones para medir ángulos de manera precisa con teodolitos. Explica que el eje vertical del teodolito debe coincidir con la vertical del lugar, y que los ejes horizontal y de colimación deben ser perpendiculares al vertical. También detalla los pasos para poner el teodolito en estación y nivelarlo correctamente, y los sistemas para leer las graduaciones de los círculos.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la nivelación. Explica que la nivelación mide las elevaciones o altitudes de puntos sobre la superficie terrestre y que la elevación es la distancia vertical desde una superficie de referencia. También define la forma de la Tierra usando el geoide y el elipsoide y explica cómo la curvatura y refracción de la Tierra afectan las mediciones de nivelación a largas distancias.
Este documento resume los principios y métodos de la topografía. La topografía se divide en planimetría, que representa detalles del terreno en una superficie plana, y altimetría, que determina diferencias de altura entre puntos. Explica métodos de levantamiento topográfico como poligonación, triangulación y taquimetría. También describe cómo medir distancias usando una estadía y calcular constantes estadimétricas.
Este documento presenta los elementos básicos de geometría y trigonometría. Introduce los sistemas de coordenadas rectangulares y polares, y explica cómo definir la posición de un punto en cada sistema. También cubre temas como relaciones geométricas, ángulos, medidas angulares, y relaciones trigonométricas fundamentales aplicadas a triángulos rectángulos y oblicuos. El capítulo proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos y termina con problemas propuestos relacionados con la materia cubierta
Este documento presenta el informe No 02 de un trabajo de topografía realizado por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo del trabajo fue aplicar conocimientos de topografía mediante el uso de una estación total para medir un lote, incluyendo la realización de una poligonal cerrada para verificar la precisión de las mediciones. El informe describe los equipos y métodos topográficos utilizados, como una estación total, prisma, brújula y estacas.
Este documento describe los procedimientos topográficos para el cálculo y compensación de poligonales. Explica cómo calcular y compensar el error de cierre angular, calcular los acimutes entre alineaciones usando la ley de propagación de acimutes, calcular las proyecciones de los lados, calcular el error de cierre lineal y compensar el error lineal, y finalmente calcular las coordenadas de los vértices. También describe los diferentes tipos de poligonales como poligonales cerradas, abiertas de enlace con control y abiertas
El documento describe cómo realizar mediciones topográficas usando un teodolito electrónico. Explica cómo instalar correctamente el teodolito, medir ángulos horizontales para crear una poligonal cerrada, calcular distancias y ángulos, y compensar errores para cerrar la poligonal.
Este documento describe los métodos y aplicaciones de la nivelación geométrica de precisión. Explica que este método permite determinar la diferencia de nivel entre puntos con un alto grado de exactitud mediante visuales horizontales. Luego detalla las correcciones que se deben aplicar por la esfericidad de la Tierra y la refracción atmosférica, así como los instrumentos y procedimientos utilizados para lograr precisiones del orden de los 0,2 a 0,4 mm por km. Finalmente, enumera diversas aplicaciones de la nivelación de precisión en
Este documento describe los métodos y condiciones para medir ángulos de manera precisa con teodolitos. Explica que el eje vertical del teodolito debe coincidir con la vertical del lugar, y que los ejes horizontal y de colimación deben ser perpendiculares al vertical. También detalla los pasos para poner el teodolito en estación y nivelarlo correctamente, y los sistemas para leer las graduaciones de los círculos.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la nivelación. Explica que la nivelación mide las elevaciones o altitudes de puntos sobre la superficie terrestre y que la elevación es la distancia vertical desde una superficie de referencia. También define la forma de la Tierra usando el geoide y el elipsoide y explica cómo la curvatura y refracción de la Tierra afectan las mediciones de nivelación a largas distancias.
Este documento resume los principios y métodos de la topografía. La topografía se divide en planimetría, que representa detalles del terreno en una superficie plana, y altimetría, que determina diferencias de altura entre puntos. Explica métodos de levantamiento topográfico como poligonación, triangulación y taquimetría. También describe cómo medir distancias usando una estadía y calcular constantes estadimétricas.
Este documento presenta los elementos básicos de geometría y trigonometría. Introduce los sistemas de coordenadas rectangulares y polares, y explica cómo definir la posición de un punto en cada sistema. También cubre temas como relaciones geométricas, ángulos, medidas angulares, y relaciones trigonométricas fundamentales aplicadas a triángulos rectángulos y oblicuos. El capítulo proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos y termina con problemas propuestos relacionados con la materia cubierta
Este documento presenta el informe No 02 de un trabajo de topografía realizado por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo del trabajo fue aplicar conocimientos de topografía mediante el uso de una estación total para medir un lote, incluyendo la realización de una poligonal cerrada para verificar la precisión de las mediciones. El informe describe los equipos y métodos topográficos utilizados, como una estación total, prisma, brújula y estacas.
Este documento describe los procedimientos topográficos para el cálculo y compensación de poligonales. Explica cómo calcular y compensar el error de cierre angular, calcular los acimutes entre alineaciones usando la ley de propagación de acimutes, calcular las proyecciones de los lados, calcular el error de cierre lineal y compensar el error lineal, y finalmente calcular las coordenadas de los vértices. También describe los diferentes tipos de poligonales como poligonales cerradas, abiertas de enlace con control y abiertas
El documento describe cómo realizar mediciones topográficas usando un teodolito electrónico. Explica cómo instalar correctamente el teodolito, medir ángulos horizontales para crear una poligonal cerrada, calcular distancias y ángulos, y compensar errores para cerrar la poligonal.
Este documento describe los métodos y aplicaciones de la nivelación geométrica de precisión. Explica que este método permite determinar la diferencia de nivel entre puntos con un alto grado de exactitud mediante visuales horizontales. Luego detalla las correcciones que se deben aplicar por la esfericidad de la Tierra y la refracción atmosférica, así como los instrumentos y procedimientos utilizados para lograr precisiones del orden de los 0,2 a 0,4 mm por km. Finalmente, enumera diversas aplicaciones de la nivelación de precisión en
C07 nivelacion y corrección por curvatura y refraccionGlenn Ortiz
El documento trata sobre correcciones en nivelación topográfica. Explica que se debe aplicar corrección por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica cuando las visuales son largas. La corrección por refracción es aproximadamente el 14% de la corrección por curvatura. También presenta el método de nivelación reciproca que evita aplicar estas correcciones.
Este documento técnico presenta un informe sobre la práctica de campo de nivelación topográfica realizada por un estudiante utilizando un nivel de ingeniero y un teodolito electrónico. Explica las partes y usos de estos instrumentos, los diferentes tipos de nivelación, como nivelación simple y compuesta. También describe los tipos de errores que pueden ocurrir en una nivelación y los términos técnicos importantes como cota, bench mark y perfil longitudinal. El objetivo general era aprender a usar correctamente estos instrumentos
El documento describe un levantamiento topográfico realizado con una estación total para calcular las coordenadas de un cuadrilátero alrededor de un laboratorio de topografía. Se presentan los objetivos, equipos utilizados, procedimientos, datos recolectados en campo y cálculos realizados, incluyendo ángulos, distancias, azimuts, error de cierre y coordenadas de los vértices.
Este documento presenta un informe sobre un levantamiento topográfico de una poligonal cerrada utilizando un teodolito. Describe los materiales y equipos utilizados como el teodolito, trípode, wincha, jalones y mira. Explica cómo instalar y nivelar el teodolito, y los pasos seguidos para realizar las mediciones en el campo como reconocimiento del terreno, instalación del equipo y medición de ángulos. El objetivo era aprender sobre medición de ángulos y su importancia en proyectos de ingeniería
Este documento presenta apuntes de topografía compilados por el Ingeniero Manuel Zamarripa Medina. Incluye una introducción sobre la importancia de la topografía para proyectos de ingeniería y arquitectura. Se divide la topografía en tres partes principales: topología, topometría y planografía. También describe diferentes tipos de levantamientos topográficos y sus usos.
Los documentos presentan información sobre exámenes de topografía y fotogrametría, incluyendo preguntas y datos de campo sobre levantamientos topográficos, nivelaciones, taquimetría, fotografía aérea y restitución fotogramétrica. Se piden cálculos de coordenadas, azimuts, desniveles, escalas, diferencias de elevación y distancia focal utilizando datos como ángulos, distancias, paralajes y coordenadas de puntos.
La práctica describe cómo medir distancias y ángulos utilizando una cinta métrica. Se pueden medir distancias de forma directa e indirecta. Las distancias directas se miden directamente con una cinta métrica, mientras que las distancias indirectas se miden utilizando equipos topográficos y fórmulas. Los ángulos horizontales se miden aplicando el método de la cuerda con la cinta métrica y fórmulas. El objetivo es obtener distancias, ángulos y la superficie de un terreno.
Altimetría
Nivelación
Métodos e instrumentos
Itinerarios de nivelación
Precisión, errores y correcciones
Pendientes y buzamientos
Perfiles longitudinales y transversales
Este documento describe los diferentes tipos y métodos de medición de poligonales utilizados en topografía. Explica que una poligonal es una serie de líneas medidas en el campo que conectan una serie de puntos, y que existen poligonales cerradas y abiertas. También describe los diferentes métodos para medir ángulos y direcciones en poligonales, como por rumbos, ángulos interiores, deflexiones, ángulos a la derecha y azimutes. Por último, establece los errores permisibles para diferentes niveles de precisión en
Este documento describe el método de taquimetría para determinar alturas, desniveles y distancias horizontales entre puntos. Explica cómo usar un teodolito y estadía para medir los hilos taquimétricos y ángulos cenitales/verticales entre puntos, y aplicar ecuaciones taquimétricas para calcular distancias horizontales y verticales, así como cotas. También incluye un formato para registrar los datos recolectados durante la práctica de taquimetría.
El documento describe los procedimientos para medir distancias utilizando una cinta métrica. Explica cómo mantener la cinta horizontal al medir, especialmente en terrenos inclinados usando una plomada. También cubre cómo medir distancias con obstáculos y entre puntos no visibles directamente, así como corregir errores en las mediciones.
Este documento presenta un informe de una práctica de campo de topografía para realizar un levantamiento planimétrico mediante el método de la poligonal cerrada. Explica los conceptos básicos de una poligonal cerrada, el trabajo de campo requerido que incluye medir los lados, ángulos y azimut, y el objetivo de representar gráficamente la poligonal después de completar las mediciones.
Este documento presenta el informe de la cuarta práctica de campo del curso de Topografía II. Se realizó un levantamiento taquimétrico de una parcela asignada mediante el desarrollo de una poligonal cerrada, midiendo ángulos y distancias entre puntos. Los cálculos realizados incluyeron hallar coordenadas de los puntos, ángulos de vértices, error de cierre y ángulos verdaderos. Finalmente, se concluye que el uso de poligonales cerradas permite obtener cálculos de
Las curvas de nivel son líneas que unen todos los puntos de una misma altura sobre un plano de referencia, generalmente el nivel medio del mar. Se trazan al interceptar un terreno con planos horizontales imaginarios a distancias verticales regulares. Existen diferentes tipos de curvas como cerros, hoyos, entrantes y salientes, que representan elevaciones y depresiones del terreno. La confección de planos con curvas de nivel requiere tomar datos de campo como ángulos y cotas para luego interpolar las curvas a una equidistancia definida.
Este documento presenta los resultados de una práctica de nivelación simple y compuesta realizada por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo principal fue familiarizarse con el uso del nivel de ingeniero y aplicar métodos de nivelación directa para determinar las cotas de diferentes puntos y obtener el perfil del terreno estudiado. Los estudiantes midieron las cotas de varios puntos de referencia, realizaron cálculos en gabinete y determinaron el error de cierre. Concluyeron que el error obtenido fue menor al permitido para nivelación geomé
Este documento presenta los fundamentos de la taquimetría y el método de radiación. Explica que la taquimetría estudia la distancia horizontal y vertical entre puntos para levantar planos rápidamente. También describe las fórmulas taquimétricas para convertir coordenadas polares tomadas en el campo a coordenadas cartesianas que pueden representarse gráficamente. Finalmente, resume los pasos para calcular la distancia reducida, coordenadas, desnivel y cota de un punto a partir de las mediciones polares.
El documento describe los conceptos fundamentales de la altimetría en topografía. La altimetría se encarga de medir las diferencias de nivel o elevación entre puntos del terreno utilizando diferentes métodos como la nivelación trigonométrica, taquimétrica, geométrica y topográfica. Estos métodos permiten obtener el esquema vertical del terreno representado mediante curvas de nivel en un plano topográfico.
Tema 2. medicion de distancia y teoria de errorestopografiaunefm
Este documento trata sobre temas de medición de distancias y teoría de errores en topografía. Explica conceptos como señalamiento de puntos, uso de instrumentos como cintas, jalones y prismas. También cubre temas de trazado de alineamientos, medición directa de distancias con cinta métrica, errores comunes y clases de errores. Por último, presenta diferentes métodos e instrumentos de medición de distancias y conceptos sobre teoría de probabilidades y compensación de observaciones.
El documento describe las aplicaciones de las curvas de nivel en la ingeniería civil. Explica cómo se pueden utilizar las curvas de nivel para calcular pendientes, trazar líneas de pendiente constante, determinar la cota de un punto, y construir perfiles longitudinales y cálculos de volúmenes. También cubre temas como secciones transversales, topografía modificada y cálculo de volúmenes de embalses.
Este documento presenta información sobre poligonales topográficas. Explica que una poligonal es una serie de líneas consecutivas medidas en el campo que determinan las posiciones relativas de puntos. Hay dos tipos básicos de poligonales: cerradas y abiertas. También describe varios métodos para medir ángulos y direcciones en poligonales como rumbos, ángulos interiores, deflexiones y azimutes.
Este documento presenta tres problemas de topografía y nivelación. El primer problema presenta datos de mediciones altimétricas y requiere determinar las cotas de terreno de cada punto. El segundo problema también presenta datos de levantamientos y requiere determinar las cotas de los puntos. El tercer problema presenta cotas de un terreno y requiere calcular y dibujar curvas de nivel e identificar características del terreno.
C07 nivelacion y corrección por curvatura y refraccionGlenn Ortiz
El documento trata sobre correcciones en nivelación topográfica. Explica que se debe aplicar corrección por curvatura de la Tierra y refracción atmosférica cuando las visuales son largas. La corrección por refracción es aproximadamente el 14% de la corrección por curvatura. También presenta el método de nivelación reciproca que evita aplicar estas correcciones.
Este documento técnico presenta un informe sobre la práctica de campo de nivelación topográfica realizada por un estudiante utilizando un nivel de ingeniero y un teodolito electrónico. Explica las partes y usos de estos instrumentos, los diferentes tipos de nivelación, como nivelación simple y compuesta. También describe los tipos de errores que pueden ocurrir en una nivelación y los términos técnicos importantes como cota, bench mark y perfil longitudinal. El objetivo general era aprender a usar correctamente estos instrumentos
El documento describe un levantamiento topográfico realizado con una estación total para calcular las coordenadas de un cuadrilátero alrededor de un laboratorio de topografía. Se presentan los objetivos, equipos utilizados, procedimientos, datos recolectados en campo y cálculos realizados, incluyendo ángulos, distancias, azimuts, error de cierre y coordenadas de los vértices.
Este documento presenta un informe sobre un levantamiento topográfico de una poligonal cerrada utilizando un teodolito. Describe los materiales y equipos utilizados como el teodolito, trípode, wincha, jalones y mira. Explica cómo instalar y nivelar el teodolito, y los pasos seguidos para realizar las mediciones en el campo como reconocimiento del terreno, instalación del equipo y medición de ángulos. El objetivo era aprender sobre medición de ángulos y su importancia en proyectos de ingeniería
Este documento presenta apuntes de topografía compilados por el Ingeniero Manuel Zamarripa Medina. Incluye una introducción sobre la importancia de la topografía para proyectos de ingeniería y arquitectura. Se divide la topografía en tres partes principales: topología, topometría y planografía. También describe diferentes tipos de levantamientos topográficos y sus usos.
Los documentos presentan información sobre exámenes de topografía y fotogrametría, incluyendo preguntas y datos de campo sobre levantamientos topográficos, nivelaciones, taquimetría, fotografía aérea y restitución fotogramétrica. Se piden cálculos de coordenadas, azimuts, desniveles, escalas, diferencias de elevación y distancia focal utilizando datos como ángulos, distancias, paralajes y coordenadas de puntos.
La práctica describe cómo medir distancias y ángulos utilizando una cinta métrica. Se pueden medir distancias de forma directa e indirecta. Las distancias directas se miden directamente con una cinta métrica, mientras que las distancias indirectas se miden utilizando equipos topográficos y fórmulas. Los ángulos horizontales se miden aplicando el método de la cuerda con la cinta métrica y fórmulas. El objetivo es obtener distancias, ángulos y la superficie de un terreno.
Altimetría
Nivelación
Métodos e instrumentos
Itinerarios de nivelación
Precisión, errores y correcciones
Pendientes y buzamientos
Perfiles longitudinales y transversales
Este documento describe los diferentes tipos y métodos de medición de poligonales utilizados en topografía. Explica que una poligonal es una serie de líneas medidas en el campo que conectan una serie de puntos, y que existen poligonales cerradas y abiertas. También describe los diferentes métodos para medir ángulos y direcciones en poligonales, como por rumbos, ángulos interiores, deflexiones, ángulos a la derecha y azimutes. Por último, establece los errores permisibles para diferentes niveles de precisión en
Este documento describe el método de taquimetría para determinar alturas, desniveles y distancias horizontales entre puntos. Explica cómo usar un teodolito y estadía para medir los hilos taquimétricos y ángulos cenitales/verticales entre puntos, y aplicar ecuaciones taquimétricas para calcular distancias horizontales y verticales, así como cotas. También incluye un formato para registrar los datos recolectados durante la práctica de taquimetría.
El documento describe los procedimientos para medir distancias utilizando una cinta métrica. Explica cómo mantener la cinta horizontal al medir, especialmente en terrenos inclinados usando una plomada. También cubre cómo medir distancias con obstáculos y entre puntos no visibles directamente, así como corregir errores en las mediciones.
Este documento presenta un informe de una práctica de campo de topografía para realizar un levantamiento planimétrico mediante el método de la poligonal cerrada. Explica los conceptos básicos de una poligonal cerrada, el trabajo de campo requerido que incluye medir los lados, ángulos y azimut, y el objetivo de representar gráficamente la poligonal después de completar las mediciones.
Este documento presenta el informe de la cuarta práctica de campo del curso de Topografía II. Se realizó un levantamiento taquimétrico de una parcela asignada mediante el desarrollo de una poligonal cerrada, midiendo ángulos y distancias entre puntos. Los cálculos realizados incluyeron hallar coordenadas de los puntos, ángulos de vértices, error de cierre y ángulos verdaderos. Finalmente, se concluye que el uso de poligonales cerradas permite obtener cálculos de
Las curvas de nivel son líneas que unen todos los puntos de una misma altura sobre un plano de referencia, generalmente el nivel medio del mar. Se trazan al interceptar un terreno con planos horizontales imaginarios a distancias verticales regulares. Existen diferentes tipos de curvas como cerros, hoyos, entrantes y salientes, que representan elevaciones y depresiones del terreno. La confección de planos con curvas de nivel requiere tomar datos de campo como ángulos y cotas para luego interpolar las curvas a una equidistancia definida.
Este documento presenta los resultados de una práctica de nivelación simple y compuesta realizada por estudiantes de ingeniería civil. El objetivo principal fue familiarizarse con el uso del nivel de ingeniero y aplicar métodos de nivelación directa para determinar las cotas de diferentes puntos y obtener el perfil del terreno estudiado. Los estudiantes midieron las cotas de varios puntos de referencia, realizaron cálculos en gabinete y determinaron el error de cierre. Concluyeron que el error obtenido fue menor al permitido para nivelación geomé
Este documento presenta los fundamentos de la taquimetría y el método de radiación. Explica que la taquimetría estudia la distancia horizontal y vertical entre puntos para levantar planos rápidamente. También describe las fórmulas taquimétricas para convertir coordenadas polares tomadas en el campo a coordenadas cartesianas que pueden representarse gráficamente. Finalmente, resume los pasos para calcular la distancia reducida, coordenadas, desnivel y cota de un punto a partir de las mediciones polares.
El documento describe los conceptos fundamentales de la altimetría en topografía. La altimetría se encarga de medir las diferencias de nivel o elevación entre puntos del terreno utilizando diferentes métodos como la nivelación trigonométrica, taquimétrica, geométrica y topográfica. Estos métodos permiten obtener el esquema vertical del terreno representado mediante curvas de nivel en un plano topográfico.
Tema 2. medicion de distancia y teoria de errorestopografiaunefm
Este documento trata sobre temas de medición de distancias y teoría de errores en topografía. Explica conceptos como señalamiento de puntos, uso de instrumentos como cintas, jalones y prismas. También cubre temas de trazado de alineamientos, medición directa de distancias con cinta métrica, errores comunes y clases de errores. Por último, presenta diferentes métodos e instrumentos de medición de distancias y conceptos sobre teoría de probabilidades y compensación de observaciones.
El documento describe las aplicaciones de las curvas de nivel en la ingeniería civil. Explica cómo se pueden utilizar las curvas de nivel para calcular pendientes, trazar líneas de pendiente constante, determinar la cota de un punto, y construir perfiles longitudinales y cálculos de volúmenes. También cubre temas como secciones transversales, topografía modificada y cálculo de volúmenes de embalses.
Este documento presenta información sobre poligonales topográficas. Explica que una poligonal es una serie de líneas consecutivas medidas en el campo que determinan las posiciones relativas de puntos. Hay dos tipos básicos de poligonales: cerradas y abiertas. También describe varios métodos para medir ángulos y direcciones en poligonales como rumbos, ángulos interiores, deflexiones y azimutes.
Este documento presenta tres problemas de topografía y nivelación. El primer problema presenta datos de mediciones altimétricas y requiere determinar las cotas de terreno de cada punto. El segundo problema también presenta datos de levantamientos y requiere determinar las cotas de los puntos. El tercer problema presenta cotas de un terreno y requiere calcular y dibujar curvas de nivel e identificar características del terreno.
La geometría es importante enseñar en preescolar. El documento explica las sumas de ángulos en figuras geométricas como triángulos, cuadrilateros, pentágonos y hexágonos. También define polígonos por el número de lados y tipos como convexos, cóncavos y regulares.
El documento describe el método de poligonales para determinar la posición de puntos en topografía. Explica cómo medir ángulos horizontales y distancias entre vértices para poligonales abiertas y cerradas. También detalla los cálculos para hallar coordenadas de vértices usando azimuts, proyecciones y correcciones angulares.
Topografía Poligonales y Cálculo de PoligonalesKaren Rios
Este documento proporciona información sobre poligonales y el cálculo de poligonales. Explica los diferentes tipos de poligonales (cerradas y abiertas), métodos para medir ángulos y direcciones, medición de longitudes, selección de estaciones poligonales, señalamiento de estaciones y registros de campo importantes para poligonales.
En un dodecágono hay 54 diagonales, en un pentágono el número de diagonales es igual al número de vértices, la suma de los ángulos interiores de un dodecágono es 1800°, el polígono del que parten 18 diagonales de cada vértice tiene 21 lados, el polígono con ángulos interiores que suman 11 veces los exteriores tiene 24 lados, y el polígono regular cuyo ángulo interior en 15 veces el cuadrado del exterior tiene 8 lados.
Angulos exteriores e interiores de polígonosLogos Academy
Este documento trata sobre ángulos interiores y exteriores de polígonos regulares. Explica que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180°(n-2) y que la suma de los ángulos exteriores es 360°. Resuelve dos problemas aplicando estas fórmulas para determinar que un polígono con ángulos interiores de 150° tiene 12 lados y que uno con ángulos exteriores de 72° es un pentágono regular.
Guia nº3. poligonales abiertas, cerradas y mixtastopografiaunefm
Este documento presenta varios problemas de poligonales abiertas y cerradas resueltos por el profesor Jeiser Gutiérrez. Incluye cuatro casos de poligonales abiertas donde se deben determinar las coordenadas de un punto dado las coordenadas de dos puntos de referencia y el azimut. También presenta un alineamiento vial con datos para calcular los azimuts y coordenadas de puntos. Por último, presenta datos de un levantamiento topográfico para calcular azimuts, áreas y verificar resultados.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de curvas, incluyendo curvas cónicas (elipse, hipérbola y parábola), curvas técnicas y curvas cíclicas. Explica los elementos y características de cada curva, así como métodos para su construcción, como usar puntos, haces proyectivos, envolventes y propiedades geométricas. También cubre conceptos como focos, ejes, tangentes e intersecciones de curvas con rectas.
1) El documento habla sobre las diferentes secciones cónicas como elipses, hipérbolas y parábolas, incluyendo sus definiciones, parámetros y ejemplos.
2) Las elipses se encuentran comúnmente en órbitas planetarias y formas circulares, mientras que las hipérbolas se usan en relojes solares y telescopios.
3) Las parábolas describen la trayectoria de proyectiles y tienen una única propiedad de distancia entre el foco y la directriz.
Este documento describe diferentes formas de representar ecuaciones de hipérbolas en coordenadas cartesianas y complejas. Explica que una hipérbola en el plano complejo es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante e igual al doble de la distancia entre su centro y vértices. También presenta ecuaciones de hipérbolas en coordenadas polares y paramétricas, así como ejemplos de orientaciones de hipérbolas abiertas.
Este documento explica el sistema de coordenadas polares, incluyendo cómo representar puntos en el plano polar, convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y expresar ecuaciones polares y cartesianas la una en términos de la otra.
Este documento proporciona información sobre el plano cartesiano y las cónicas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen y que se usa para representar puntos y analizar figuras geométricas como cónicas. Luego define las cónicas principales (elipse, parábola, hipérbola y circunferencia), sus elementos y cómo se forman según la intersección del plano con un cono. Finalmente, indica cómo representar gráficamente las ecu
Este documento presenta información sobre transformaciones geométricas, incluyendo la inversión. Explica conceptos como homología, afinidad, cuaternas armónicas y construcción de figuras homólogas. También describe cómo una circunferencia se transforma en una elipse, parábola o hipérbola bajo una inversión, y cómo transformar un cuadrilátero en un cuadrado mediante una homología.
Este documento describe las características básicas del plano cartesiano y las ecuaciones de las principales curvas cónicas como la parábola, elipse, hipérbola y circunferencia. Explica cómo representar gráficamente estas curvas a partir de sus ecuaciones y define conceptos como distancia, punto medio y trazado de circunferencias en el plano cartesiano.
Este documento presenta información sobre el plano cartesiano y las cónicas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares que se cortan en el origen y que sirve para representar gráficamente figuras geométricas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Luego define cada una de estas cónicas y explica cómo se forman a partir de la intersección de un cono con un plano. Finalmente, indica algunas referencias bibliográficas sobre estos temas.
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Se presentan las ecuaciones de la hipérbola en coordenadas cartesianas y polares, así como ejemplos de diferentes orientaciones de hipérbolas y ecuaciones para calcular sus métricas.
El documento describe el sistema de coordenadas polares, en el cual cada punto en un plano se define por su distancia (r) al origen y el ángulo (θ) formado con un eje de referencia. Explica que las coordenadas polares se usan comúnmente en navegación y astronomía. También describe cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo representar curvas como círculos, espirales y secciones cónicas mediante ecuaciones polares.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre elipses y hipérbolas. Los objetivos incluyen recordar las definiciones, ecuaciones y elementos de elipses y hipérbolas. Se resuelven ejercicios encontrando ecuaciones de figuras dados sus elementos, y viceversa. También se analizan formas generales de ecuaciones de segundo grado representando elipses u hipérbolas.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre elipses y hipérbolas. Los objetivos incluyen recordar las definiciones, ecuaciones y elementos de elipses y hipérbolas. Se resuelven ejercicios encontrando ecuaciones de figuras dados sus elementos, y viceversa. También se analizan formas generales de ecuaciones de segundo grado representando elipses u hipérbolas.
El documento presenta información sobre la hipérbola, incluyendo su definición, elementos, ecuaciones y aplicaciones. Describe que una hipérbola es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Explica elementos como focos, vértices, ejes y asíntotas. Incluye ecuaciones en forma canónica y para diferentes posiciones del centro. Finalmente, muestra ejemplos numéricos y aplicaciones de las hipérbolas.
1) El documento describe las propiedades y ecuaciones de las parábolas, elipses e hipérbolas.
2) Las parábolas son curvas donde la suma de la distancia a un foco y una directriz es constante. Las elipses son curvas donde la suma de las distancias a dos focos es constante. Las hipérbolas son curvas donde la diferencia de las distancias a dos focos es constante.
3) Se proporcionan ejemplos de cómo encontrar la ecuación, vértice, foco y directriz de parábolas
El documento explica las coordenadas polares, un sistema de coordenadas bidimensional donde cada punto se determina por una distancia y un ángulo. Históricamente, conceptos como ángulo y radio se conocían desde la antigüedad pero el concepto formal de coordenadas polares surgió en el siglo XVII. Se describen cómo representar puntos y cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas mediante fórmulas trigonométricas. Finalmente, se mencionan ejemplos de curvas definidas por ecuaciones polares como la rosa polar.
El documento describe las cuatro secciones cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) que se generan al interceptar un cono circular recto con un plano. Explica cómo cada una se forma dependiendo de la posición del plano, y provee las ecuaciones generales y particulares que definen cada curva cónica.
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas que representa cada punto en un plano mediante su distancia (r) al origen y el ángulo (θ) que forma con el eje x positivo. Permiten describir de forma simple curvas circulares y fenómenos relacionados con distancias y ángulos. Algunas aplicaciones incluyen modelar movimientos orbitales, navegación, y calcular límites y integrales donde la región de integración involucra circunferencias u otras curvas definidas por ecuaciones polares.
Este documento resume la historia del desarrollo de las coordenadas polares. Explica que aunque los conceptos de ángulo y radio se conocían desde la antigüedad, no fue hasta el siglo XVII que se introdujo formalmente el concepto de sistema de coordenadas polares. Identifica a varios matemáticos clave como Saint-Vincent, Cavalieri, Pascal y Newton que contribuyeron al desarrollo de este sistema de coordenadas. Finalmente, describe cómo se definen y representan formalmente las coordenadas polares.
La geometría analítica combina álgebra y geometría para describir figuras geométricas planas desde una perspectiva algebraica y geométrica. Incluye ecuaciones para líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas, las cuales describen los parámetros clave de cada figura como centro, radio, vértice y foco.
Este documento describe los fundamentos del Sistema de Posicionamiento Global (GPS). Explica que el GPS utiliza trilateración satelital mediante la medición de distancias a satélites con órbitas precisas para determinar la posición de un receptor. También cubre cómo se miden las distancias a los satélites, los errores asociados con las mediciones y cómo se corrigen, y los componentes del sistema GPS, incluidos los segmentos espacial, de control y de usuario.
El documento describe los métodos taquimétricos para realizar levantamientos topográficos, incluyendo el uso de teodolitos y estaciones totales. Explica cómo medir ángulos horizontales y verticales, calcular distancias, y determinar las coordenadas Norte, Este y cota de puntos. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de cálculo de coordenadas a partir de datos de campo.
El documento trata sobre el tema de la nivelación. Explica los conceptos básicos como la forma de la Tierra, la curvatura y refracción. Luego describe los diferentes métodos de nivelación como la trigonométrica, taquimétrica y geométrica. Finalmente analiza conceptos como el error de cierre y compensación de nivelaciones.
El documento trata sobre el tema de la nivelación. Explica los conceptos básicos como la forma de la Tierra, la curvatura y refracción. Luego describe los diferentes métodos de nivelación como la trigonométrica, taquimétrica y geométrica. Finalmente cubre temas como el control de nivelaciones, cálculo de errores y establece límites para el campo topográfico dependiendo del tipo de nivelación.
Este documento describe los elementos básicos para la presentación de planos topográficos, incluyendo escalas, cuadrículas, símbolos, leyendas y formatos. Explica cómo calcular y aplicar escalas numéricas y gráficas, y cómo representar distancias medidas en el terreno en un plano. También detalla los componentes clave de un plano como la orientación del norte, símbolos, recuadros de identificación y correcciones. Finalmente, cubre los formatos normalizados para hojas de planos.
Este documento describe los conceptos fundamentales de la representación de planos topográficos, incluyendo escalas, precisión y cálculos relacionados. Explica que las escalas pueden ser numéricas o gráficas, y proporciona ejemplos de cómo usar y convertir entre escalas. También cubre cómo calcular la precisión lograda en un plano en función de la escala utilizada, y cómo representar y calcular distancias reales a partir de medidas en un plano usando la escala correspondiente.
Este documento trata sobre la medición de distancias en topografía. Explica diferentes métodos como la medición con odómetro, telémetro, cinta métrica, teodolito y distanciómetros. Describe los tipos de errores que pueden ocurrir como sistemáticos, aleatorios y groseros, y cómo corregirlos, especialmente los errores por pendiente, graduación, temperatura y tensión. El documento establece que para mantener la precisión requerida, la pendiente de la cinta no debe superar los 4 grados y el límite
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1. CAPITULO 4
MEDICIÓN DE
ANGULOS
4. Medición de ángulos 4-1
4.1. Límites del campo topográfico planimétrico 4-2
4.2. Medición de ángulos horizontales por medio de distancias horizontales 4-3
4.2.1. Por la ley del coseno 4-3
4.2.2. Por construcción de triángulo isósceles 4-4
4.3. Medición de ángulos con teodolitos 4-6
4.3.1. Condiciones de exactitud 4-6
4.3.1.1. El eje vertical [VV] debe coincidir con la vertical 4-6
4.3.1.2. El eje horizontal [HH] debe ser perpendicular a [VV] 4-8
4.3.1.3. El eje de colimación [CC] debe ser perpendicular a [HH] 4-10
4.3.1.4. El eje vertical [VV] debe pasar por el centro del círculo
horizontal [O] 4-11
4.3.1.5. El eje de colimación [CC] debe cortar a [VV] 4-12
4.3.1.6. Intervalos de los círculos graduados con igual amplitud 4-14
4.3.1.6.1 Método de repetición 4-15
4.3.1.6.2 Método de reiteración 4-17
4.3.1.7. El eje de colimación [CC] y el eje del nivel tórico deben
ser paralelos 4-18
4.4. Sistemas de lectura de círculos graduados 4-20
4.4.1. Sistema de Nonio o Vernier 4-20
4.4.2. Otros sistemas de lectura 4-22
Problemas propuestos 4-23
2.
3. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4. MEDICIÓN DE ÁNGULOS
La topografía puede, en forma muy general, ser clasificada en planimétrica y altimétrica.
Planimétricamente un punto de la superficie terrestre puede ser ubicado sobre el plano horizontal
por medio de sus coordenadas polares al medir el ángulo horizontal y la distancia (figura 1.3). La
ubicación altimétrica se determina por medio del ángulo vertical.
Durante siglos, el hombre ha ideado diferentes instrumentos para la medición simultánea de
ángulos horizontales y verticales, siendo quizás la aparición del “POLIMETRUM”1 (figura 4.1),
diseñado por el clérigo Martín Waldseemüler alrededor del año 1.512, el primer prototipo de los
teodolitos actuales.
También se le atribuye al matemático inglés Leonard Digges la invención en la segunda mitad del
siglo XVI del primer instrumento de medida de ángulos predecesor del teodolito.
En el presente capítulo estudiaremos los instrumentos y métodos utilizados en la medición
angular.
Figura 4.1. El Polimetrum
1
Bedini Silvio A. (1991). Publicado en la portada de la Revista Profesional Surveyor, Vol. 11, No. 5,.
4-1
4. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4.1. Límites del Campo Topográfico Planimétrico
Los ángulos horizontales pueden ser medidos directamente con brújula o teodolito, o en forma
indirecta por medio de la medición de distancias horizontales.
Como los ángulos horizontales se miden sobre el plano horizontal, es necesario determinar hasta
que punto la Tierra puede ser considerada como plana, sin que el error que se cometa en la
medición del ángulo sea mayor que la precisión del equipo utilizado para la medición del ángulo.
E
L
L
L
L
E H
E
R
L
R
R L
a. Triángulo esférico b. Triángulo plano
Figura 4.2. El triángulo esférico
En un triángulo esférico (figura 4.2.a) se cumple
αE + βE + γE = 180° + EE (4.1)
en donde el exceso esférico EE viene dado por
206.265" A E
EE" = (4.2)
R2
siendo:
AE = área del triángulo esférico
R = radio de la esfera terrestre = 6.367 km
Un triángulo plano equivalente al triángulo esférico, con un área AP, se puede obtener
corrigiendo los ángulos del triángulo esférico con un valor igual a
− EE"
C EE " = (4.3)
3
sustituyendo (4.2) en (4.3)
4-2
5. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
206.265" A p
C EE " = (4.4)
3R 2
en donde
Ap = área del triángulo plano equivalente
Considerando la figura 4.2.b
L2
Ap = tan 60° (4.5)
4
y sustituyendo (4.5) en (4.4) tenemos:
206.265" xL2 tan 60°
C EE "− (4.6)
12 R 2
Resolviendo la (4.6) para distintos valores de L tenemos
Tabla 4.1
Valores de CEE”
L (km) 25 30 35 40
CEE” 0,46 0,66 0,90 1,18
Considerando que los ángulos horizontales pueden ser medidos con equipos con apreciaciones de
1”, y recordando el límite del campo topográfico para la medición de distancias (determinado en
el capítulo 3), podemos establecer un campo topográfico planimétrico de 25 km.
Habiendo establecido los límites del campo topográfico, tanto planimétrico como para la
medición de distancias, podemos definir a la topografía que se realiza dentro de estos límites,
considerando la Tierra como plana, como topografía plana.
4.2. Medición de Ángulos Horizontales por Medio de Distancias Horizontales
4.2.1. Por la Ley del Coseno
Los ángulos de un triángulo oblicuo como el mostrado en la figura 4.3, pueden ser determinados
en función de sus lados mediante la aplicación de la Ley del Coseno
Figura 4.3. Cálculo del ángulo en función de los lados. Ley del coseno
4-3
6. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Ejemplo 4.1
Con las distancias horizontales indicada en la figura E.4.1. Calcule los ángulos en los vértices 1,
2, .., 6
B 107,521
C
58 4
7 2 ,2 5
2
98,
176
A 1
2
6
, 83
87
115, 3
471
D
Figura E.4.1
Solución
Para facilitar los cálculos requeridos es recomendado la tabulación de los datos en la forma que
se indica.
Tabla TE4.1
LADOS ÁNGULO
TRIÁNGULO VÉRTICE ÁNGULO
ADYACENTES OPUESTO HORIZONTAL
A 1 72,258 115,471 98,176 57°42’10”,4
ABD B 2 98,176 72,258 115,471 83°49’29”,2
D 3 115,471 98,176 72,258 38°28’20”,4
Σ 179°59’60”
B 4 107,521 98,176 87,832 50°18’10”,3
BCD C 5 87,832 107,521 98,176 59°19’18”,9
D 6 98,176 87,832 107,521 70°22’30”,8
Σ 179°59’60”
4.2.2. Por Construcción de Triángulo Isósceles
Otro procedimiento de fácil aplicación es la construcción de un triángulo isósceles en el vértice
del ángulo a medir (figura 4.4), trazando un arco de radio conveniente, interceptando los lados
adyacentes en los puntos b y c, luego se mide la cuerda b, c. A partir de la figura 4.4. se tiene
4-4
7. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
b
L
A ⎛ bc ⎞
α = 2arcsen⎜ ⎟ (4.8)
⎝ 2L ⎠
L
c
Figura 4.4
Ejemplo 4.2
b
Sobre el vértice A de la figura E.4.2., se decidió efectuar la
medición del ángulo por el método del triángulo isósceles,
0m
19,3
,0
obteniendo los datos que se muestran en la figura E.4.2.
20
Calcule el valor del ángulo 1.
m 0
1
A 20,00 m
c
Figura E.4.2.
Solución
Reemplazando los datos de la figura E4.2 en la ecuación (4.8) tenemos:
⎛ 19,300 ⎞
α = 2arcsen⎜ ⎟ = 57°,69762
⎝ 2 x 20 ⎠
α = 57°41’51”,4
Ejemplo 4.3
B
Calcule los elementos necesarios para replantear el punto
B de la figura E4.3. conociendo la alineación AC, α y la
m
distancia AB.
,00
25
Solución:
b
m
10
El replanteo se puede calcular mediante la aplicación de
A 10 m
c C la (4.8) asumiendo L = 10 m y calculando bc.
Figura E. 4.3.
4-5
8. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
⎛ bc ⎞
α = 2arcsen⎜ ⎟
⎝ 2L ⎠
α ⎛ 35°21'20" ⎞
bc = 2 Lsen = 20 sen⎜ ⎟
2 ⎝ 2 ⎠
bc = 6,073 m
Parados en el vértice A, con una cinta indicando una lectura de 10 m, y en c, con una cinta
indicando una lectura de 6,073 m; localizamos, por intersección, el punto b. Como el punto b
debe caer dentro de la alineación AB, localizamos B a una distancia de 25 m, a partir de A sobre
la prolongación de la alineación Ab, o midiendo 15 m a partir de b sobre la misma alineación.
4.3. Medición de Ángulos con Teodolitos
Para el estudio del presente capítulo, destinado a la medición de ángulos con teodolitos, es
necesario, en primer lugar, determinar las condiciones que se deben cumplir para la medición
exacta de los ángulos.
4.3.1. Condiciones de Exactitud
Para facilitar el estudio de las condiciones de exactitud de un teodolito nos referiremos a la
representación esquemática de los ejes de un teodolito de la figura 2.22. Para medir
correctamente los ángulos horizontales se debe cumplir
4.3.1.1. El eje vertical (VV) o eje de rotación de la alidada debe coincidir con la vertical
del lugar determinado por la dirección de la plomada. Esta condición se verifica en el momento
de puesta en estación del teodolito mediante el empleo del nivel tórico en la base del teodolito.
A continuación se describe el procedimiento de campo para la puesta en estación de un teodolito.
Puesta en Estación de un Teodolito
1. Coloque el instrumento sobre la estación tratando que la base del trípode esté lo más
nivelada posible, y la plomada lo más cerca posible del punto de estación. Debe tenerse
cuidado de extender las patas del trípode hasta una altura conveniente para que el proceso
de medición se haga en forma cómoda y rápida.
2. Fije una de las patas del trípode firmemente al terreno y levantando las otras dos, mientras
observa la plomada, muévalos lentamente hasta que el retículo de la plomada óptica
coincida exactamente con el punto de estación.
3. Fije las patas del teodolito firmemente al terreno y actuando sobre los tornillos nivelantes
de la base del teodolito [B]*, vuelva a centrar la plomada sobre la estación.
4. Deslizando las patas extensibles del trípode (figura 4.5), centre la burbuja del nivel esférico
de la base del teodolito [C].
*
En el presente capítulo, al mencionar algunas de las partes de un teodolito, nos referiremos a la representación
esquemática de un teodolito de la figura 2.23.
4-6
9. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
5. Compruebe que la plomada aun coincida con el punto de estación. De ser necesario, afloje
un poco el tornillo de sujeción del trípode a la base del teodolito y desplace suavemente la
base hasta volver a lograr la coincidencia. Ajuste nuevamente el tornillo de sujeción.
Tornillo de sujeción
Tornillos de ajuste de las
Patas extensibles del trípode
Figura 4.5. Trípode con Patas Extensibles
6. Con los tornillos nivelantes [B], vuelva a centrar la burbuja del nivel esférico.
7. Proceda a nivelar el nivel tórico [L], alineando el eje del nivel paralelo a dos tornillos
nivelantes [B] tal y como se muestra en la figura 4.6.a.
TN TN
TN TN TN 90° TN
a b
Figura 4.6. Centrado del nivel tórico
8. Centre la burbuja del nivel tórico con rotación opuesta de los tornillos nivelantes paralelos.
9. Rote la alidada 90° y centre nuevamente la burbuja con el tornillo restante tal y como se
muestra en la figura 4.6.b.
10. Repita los pasos 7, 8, y 9 hasta que la burbuja quede centrada en cualquier posición.
4-7
10. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Si para cualquier posición de la alidada no se logra el centrado de la burbuja, se debe proceder a
la rectificación del nivel tórico siguiendo el procedimiento descrito por Costantini1, Trutman2.
4.3.1.2 El eje horizontal [HH] o eje de rotación del círculo vertical debe ser perpendicular al
eje vertical [VV].
V Si esta condición no se cumple ocurrirá un error de
Eje de Rotación
inclinación. Aunque en los instrumentos modernos esta
Circulo Vertical
de la Alidada condición viene garantizada por el fabricante (por un
TC TC
determinado número de años de servicio del instrumento
en condiciones normales de funcionamiento), es
H H conveniente identificar la ocurrencia del error de
Anteojo
Eje de Rotación
del círculo vertical inclinación a fin de determinar la necesidad de
corrección del instrumento.
La ocurrencia del error de inclinación se verifica una vez
estacionado y nivelado el teodolito, colimando un punto
“P” muy alto y anotando la lectura al círculo horizontal
L1. Luego se rota el anteojo alrededor de HH (vuelta de
V campana) y se colima nuevamente el punto P anotando la
Figura 4.7. lectura L2 (figura 4.8).
V V V
Círculo vertical PC PC PC
Eje de C
colimación C
de
C P' oyecc ión C P' C P'
Pr P" e e P"
Círculo
horizontal
E E E
V V V
a. Posición directa b. Vuelta de campana c. Posición invertida
Figura 4.8. Verificación del error de inclinación
Se debe verificar que L2 – L1 = 180°. De no cumplirse esta condición, el error de inclinación
vendrá dado por:
Ei =
(L2 − L1 ) − 180° (4.9)
2
En caso de comprobarse la presencia de un error de inclinación apreciable, éste se puede corregir
imponiendo sobre la última lectura con el tornillo de coincidencia del círculo horizontal [I] la
lectura corregida.
1
Costantini, W. (1977), Topografía I. Facultad de Ingeniería. Universidad de Los Andes. Mérida pp- 4-6, 4-8.
2
Trutman, O. (1976). El Teodolito y su Empleo. Wild Heerbrugg, Suiza. pp. 19, 21.
4-8
11. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Al efectuar esta operación, el punto P se desplazará una cantidad igual a la corrección angular,
siendo necesario colimar nuevamente el punto P por medio de los tornillos de corrección (TC en
figura 4.7).
Ejemplo 4.4
Se desea comprobar si existe la presencia de un error de inclinación que afecte la precisión en la
medida de ángulo para lo cual se estacionó y niveló un teodolito; siguiendo el procedimiento
descrito anteriormente se anotaron las siguientes lecturas:
Pos, Directa L1 = 02°22’35”
Pos, Conjugada L2 = 182°23’08”
Solución:
Aplicando la ecuación (4.9) tendremos:
E=
(182°23'08"−02°22'35") − 180° = +16"
2
E = + 16”
La corrección de la lectura L2 será C = -16” y la lectura L2 debe ser
L2 = (182°23’08”) – (0°00’16”) = 182°22’52”
Actuando sobre el tornillo de coincidencia del círculo horizontal [I], se impone la lectura L2
corregida, con lo cual el retículo vertical se habrá desplazado de la señal (figura 4.9.b).
Finalmente, haciendo uso de los tornillos de corrección, colimamos nuevamente el punto P
(figura 4.9.c).
V V V
Eje de Rotación
de la Alidada
Circulo Vertical Tornillo de corrección
TC TC TC TC TC TC
p p
H H H p H H H
Eje de Rotación
Anteojo del círculo vertical
V V V
L2=182°23'08" L2=182°22'52" L2=182°22'52"
a. Condición inicial b. Despues de correccion con c. Despues de correccion con
tornillo de coincidencia tornillo de corrección
Figura 4.9. Corrección del error de inclinación
4-9
12. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4.3.1.3 El eje de colimación [CC] debe ser perpendicular al eje horizontal [HH].
De no cumplirse esta condición, aparecerá un error instrumental denominado error de colimación,
que afectará la medición de los ángulos horizontales. Al igual que en el caso anterior, esta
condición viene garantizada por el fabricante.
Este error se verifica de igual forma que el error de
inclinación, con la diferencia de que el punto P
debe estar ubicado aproximadamente en el
TC TC horizonte del instrumento y la corrección se hace
por medio de los tornillos de corrección del retículo
(figura 4.10).
Figura 4.10. Tornillos de corrección del error de colimación
Ejemplo 4.5
Se desea comprobar la ocurrencia del error de colimación de un teodolito, para lo cual, luego de
seguir el procedimiento descrito, se obtuvieron los siguientes datos:
L1 = 43°22’18”
L2 = 223°22’30”
Calcule el error de colimación e indique el proceso de ajuste necesario.
Solución
Aplicando la ecuación (4.9)
E=
(223°22'30"−43°22'18") − 180° = +06"
2
La corrección a la lectura L2 será C = -06”
Luego L2 debe ser
L2 = 223°22’30” – 0°00’06” = 223°22’24”
L2 = 223°22’24”
Actuando sobre el tornillo de coincidencia del círculo horizontal [I] se impone la lectura L2, con
lo cual, el retículo vertical se habrá se habrá desplazado de la señal (figura 4.11). Finalmente,
haciendo uso de los tornillos de corrección del retículo, colimamos nuevamente el punto P.
4-10
13. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
TC
P
P
P
Figura 4.11 Corrección del error de colimación
4.3.1.4. El eje vertical [VV] debe pasar por el centro del círculo horizontal [O].
De no cumplirse esta condición, la medición de los ángulos horizontales quedará afectada por el
error de excentricidad de la alidada, el cual para excentricidades de 1/100 mm puede inducir
errores angulares de unos 40”.
Debido a la importancia de este error, los fabricantes de instrumentos colocan, para las lecturas al
círculo horizontal, dos índices de lectura diametralmente opuestos, ya que se demuestra3 que el
error angular de excentricidad de la alidada se elimina tomando como valor del ángulo medido
el promedio de las lecturas a los índices diametralmente opuestos del círculo horizontal.
αA +αB
α= (4.10)
2
α = ángulo medido libre del error de excentricidad de la alidada
αA = ángulo medido en el índice A
αB = ángulo medido en el índice B, diametralmente opuesto al índice A.
Actualmente, a fin de eliminar el error de excentricidad, la mayoría de los teodolitos con
sistemas ópticos de lectura proyectan, sobre el ocular de lectura, el promedio de las lecturas
correspondientes a dos sectores del círculo diametralmente opuestos.
La figura 4.12 muestra ejemplos de sistemas de doble lectura
3
Costantini, W. (1977). Op. cit. P 4-15, 4-16.
4-11
14. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
360°
95 94
0 10 20 30 40 50 60
10250
60 40 30 20 10
103
0
0 10 20 30 40 50 60
257 256
V: 95°4"
H: 103° 2'40"
256°57'20"
Figura 4.12. Sistemas de doble lectura para eliminar el error de excentricidad de la alidada
4.3.1.5. El eje de colimación [C.C] debe cortar al eje vertical [VV]
De no cumplirse esta condición, la excentricidad existente generará el error angular de
excentricidad del eje de colimación, como se muestra en la figura 4.13.
B B
A A
e
e
Crculo de
excentricidad
Crculo horizontal
Ocular de lectura Ocular de lectura
a. Posición directa b. Posición invertida
Figura 4.13. Error de excentricidad del eje de colimación
En la figura 4.13.a α’ es el ángulo horizontal medido en campo, afectado por el error de
excentricidad del eje de colimación, y α representa el ángulo horizontal libre del error de
excentricidad del eje de colimación. Por relación del triángulo en la figura 4.13.a, tenemos.
α = α’ + β - γ (4.11)
4-12
15. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Si hacemos rotar el eje de colimación 180° alrededor de (HH), es decir, damos vuelta de campana
para colocar el anteojo en posición conjugada (figura 4.13.b), tendremos por procedimiento
análogo
α = α” - β + γ (4.12)
y sumando (4.11) y (4.12) nos queda:
α '+α "
α= (4.13)
2
en donde α’ y α” son las lecturas en las posiciones conjugadas del anteojo.
La ecuación (4.13) representa la ley de Bessel y nos indica que el promedio de los ángulos
obtenidos en las posiciones conjugadas del anteojo nos da el valor del ángulo horizontal libre
del error de excentricidad del eje de colimación.
Ejemplo 4.6
Los datos de la figura E4-6 corresponden a una serie de lecturas realizadas a los índices A y B de
un teodolito Keuffel en las dos posiciones conjugadas del anteojo. Calcule el ángulo en A libre
de los errores de excentricidad de la alidada y del eje de colimación.
Figura E4-6
Solución
El ángulo α’ libre del error de excentricidad de la alidada vendrá dado por el promedio de las
diferencias de lecturas a los índices A y B en posición directa.
α’ = 37°48’00”
Efectuando las mismas operaciones para la posición invertida (conjugada) tenemos
4-13
16. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
α” = 37°47’30”
que representa el valor del ángulo libre del error de excentricidad de la alidada en posición
conjugada.
El valor del ángulo α libre del error de excentricidad del eje de colimación vendrá dado por el
promedio entre α’ y α”.
α = 37°47’45”
4.3.1.6. Intervalos de los círculos graduados con igual amplitud.
Este error instrumental, denominado error de graduación, se reduce al mínimo midiendo el
ángulo con distintos sectores del círculo, tomando como valor probable la media de los ángulos
medidos.
A fin de garantizar que la medición del ángulo sea realizada en todos los sectores del círculo,
calculamos el número de sectores requeridos aplicando la ecuación (4.14).
NS = 180°/α (4.14)
En donde:
NS = número de sectores requeridos
α = valor aproximado del ángulo a medir
Nótese que utilizamos 180° en lugar de los 360° que tiene un círculo; esto debido a que los
teodolitos poseen doble índice de lectura diametralmente opuesto, es decir, mientras el índice “A”
gira de 0° a 180°, el índice “B” gira de 180° a 360°.
Ejemplo 4.7
Determine el número de sectores en que hay que dividir un círculo para medir un ángulo de
aproximadamente 45°, a fin de eliminar el error de graduación.
Solución
360° 0° Aplicando la ecuación (4.14)
Indice B Indice A
Sector 4 Sector 1
NS = 180°/45° = 4
270° 90° En la práctica operativa, la medición de los ángulos sobre los
diferentes sectores del círculo, determinados por la ecuación
(4.14) se realiza bien sea por el método de reiteración o por
Indice B
Sector2
Indice A
Sector 3
el método de repetición, dependiendo del instrumento
180°
disponible.
Figura E4-7
4-14
17. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4.3.1.6.1. Método de repetición.
En la aplicación de este método se utilizan teodolitos repetidores, o de doble eje, en los cuales el
círculo horizontal puede girar alrededor del eje vertical junto con la alidada (figura 2.23.a).
Esta característica hace posible sumar las “n” mediciones de un ángulo con el mismo aparato,
tomando como valor probable la enésima parte de la suma.
La ecuación (4.15) representa la fórmula general para la determinación de un ángulo por el
método de repetición.
L f + n(360°) − Li
α= (4.15)
N
siendo:
Lf = lectura final al círculo horizontal (a la derecha)
Li = lectura inicial al círculo horizontal (a la izquierda)
n = número de veces que el índice de lectura ha pasado por el cero de la graduación
N = número de repeticiones (N = NS)
Generalmente, en la práctica operativa, se impone una lectura inicial (Li) igual a cero.
En el ejemplo 4-8 se explicará el procedimiento de campo para medir ángulos por repetición.
Ejemplo 4.8
Medir por el método de repeticiones el ángulo α de la figura E4-8.
a) Estacionados en el vértice A de la figura E4-8,
colimamos el punto B e imponemos la lectura Li =
B
Li=0°00'00" 0°00’00” en el círculo horizontal. En este momento
están apretados los tornillos de fijación [E] y [H].
b) Se afloja el tornillo de fijación del círculo a la
A α alidada [H] y se gira en sentido horario hasta lograr
Ld=43°12'17"
una colimación aproximada del punto C, se ajusta
[H] y con el tornillo de coincidencia [I] se completa
C
la colimación a C; completando así la primera
repetición.
Figura E4-8
c) Se anota la lectura en C y se calcula el número de repeticiones requeridas.
Lc = 43°12’17”
N = NS = 180/43 ≈ 4 rep.
Faltan por realizar tres repeticiones para lo cual procedemos de la siguiente manera:
d) Se afloja el tornillo de fijación del círculo a la base [E] y se colima nuevamente el punto
B lo más cerca posible, se aprieta B y se afina la colimación con el tornillo de
coincidencia [F].
4-15
18. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
e) Se afloja el tornillo [H] y se colima nuevamente al punto C lo más cercano posible, se
aprieta [H] y se termina la colimación con [I]. Se completa así la segunda repetición.
f) Repetimos d y e hasta completar la cuarta repetición, anotando la lectura final al círculo
horizontal.
Lf = 172°49’20”
El ángulo en α será:
172°49'20"
α= = 43°12'20"
4
Nótese que solamente es necesario anotar las lecturas al círculo al final de la primera y última
repetición.
Un modelo de libreta de campo para la aplicación del método de repetición podría ser el siguiente
Est. PV Li Lf N Angulo
promedio
B 0°00’00”
A 4 43°12’20”
C 43°12’17” 172°49’20”
Ejemplo 4.9
Los datos de la libreta de campo, que se reproducen a continuación, corresponden a una serie de
12 repeticiones efectuadas para medir el ángulo en A libre de los errores de excentricidad del eje
de colimación y de graduación del círculo.
Las primeras seis repeticiones se hicieron en posición directa. Al final de la sexta repetición se
dio vuelta de campana colimando nuevamente el punto B, siguiendo el paso e del ejemplo
anterior.
Las siguientes seis repeticiones se hicieron con el anteojo en posición conjugada.
Calcule el ángulo en A.
Est. PV Li Lf N/n Angulo
promedio
B 0°00’00”
A 12/1
C 35°15’20” 27°06’00”
Solución
Como se puede observar en la lectura final, el círculo horizontal debe haber completado, al
menos una vez, los 360° de la graduación.
El valor de n puede ser calculado de la siguiente manera:
4-16
19. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
⎡ N ⋅ (Lic − LiB ) + LIB ⎤
n = Ent ⎢ ⎥ (4.16)
⎣ 360° ⎦
donde:
LiB = lectura al inicio de la primera repetición
LiC = lectura al final de la primera repetición
Sustituyendo valores en (4.16) tenemos,
⎡12 ⋅ (32°15'20"−0°) + 0°00'00" ⎤
n = Ent ⎢ ⎥ =1
⎣ 360° ⎦
aplicando la ecuación (4.15)
27°06'00"+1 ⋅ 360° − 0°
α= = 32°15'30"
12
α = 32°15’30”
4.3.1.6.2. Método de Reiteración
El método de reiteración se utiliza en aquellos teodolitos con un solo eje de rotación (figura
2.23.b), en los cuales el círculo está siempre fijo a la base, imposibilitando la suma de ángulos
horizontales con el mismo aparato.
En este tipo de teodolitos existe un tornillo de corrimiento horizontal [G] que permite
preestablecer, en forma aproximada, una determinada lectura.
En este método, al igual que en el método de repetición, debemos garantizar la medición del
ángulo sobre el número de sectores determinado por la ecuación (4.14). El ángulo α, libre del
error de graduación del círculo, será el promedio de los ángulos medidos en cada uno de los
diferentes sectores.
El ejemplo 4.10 nos describe el procedimiento de campo empleado en la medición de un ángulo
horizontal por el método de reiteración.
4-17
20. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Ejemplo 4.10
Determinar por el método de reiteración el ángulo α de la figura E4.10.
a) Estacionados en A colimamos al punto B y ajustamos el
tornillo de fijación de la alidada a la base [H]. Con el
tornillo de corrimiento [G], imponemos una lectura
cercana cero en el círculo horizontal. LB = 0°27’40”
b) Soltamos el tornillo [H] y girando en sentido horario
colimamos el punto C. Con el tornillo de coincidencia [I]
afinamos la colimación a C. Anotamos la lectura al
círculo horizontal en C. Lc = 51°13’20”
c) El valor de α para la primera repetición vendrá dado
por la diferencia entre las lecturas en B y C.
Figura E4.10
α = 51°13’20” – 0°27’40” = 50°45’40”
d) Aplicando la ecuación (4.14), calculamos el número de reiteraciones requeridas para cubrir
todos los sectores del círculo.
N = NS = 180/50 ≈ 4 rep
e) El incremento para cada reiteración será:
INC = 180/N ≈ 45°
La segunda, tercera y cuarta reiteración deben comenzar con lecturas en B aproximadas a 45°,
90° y 135° respectivamente.
f) Repetimos los pasos a, b y c hasta completar las reiteraciones requeridas, teniendo en cuenta
las nuevas lecturas hacia B y C.
g) Finalmente, el ángulo α libre del error de graduación del círculo horizontal vendrá dado por el
promedio de los ángulos medidos en cada una de las reiteraciones realizadas.
Método de Reiteración
Est. Reit. PV Lecturas α α prom
B 0°27’40”
1 50°45’40”
C 51°13’20”
B 45°18’30”
2 50°45’50”
C 96°04’20”
A B 90°18’40” 50°45’38”,75
3 50°45’30”
C 141°04’10”
B 136°32’15”
4 50°45’35”
C 187°17’50”
Σ 203°02’35”
4.3.1.7. El eje de colimación [CC] y el eje del nivel tórico del círculo vertical deben ser
paralelos. Al no cumplirse esta condición, se genera el error de índice del círculo
vertical.
4-18
21. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Esta condición se puede comprobar como se explica a continuación:
a) Estacionamos y nivelamos un teodolito en un punto dado (figura 4.14).
b) Luego, con los tornillos de fijación [O] y de coincidencia [P] del círculo vertical, se coloca
el eje de colimación en posición horizontal.
c) Se comprueba que la burbuja del nivel tórico del círculo vertical este calada.
d) Se coloca una mira vertical en el punto B, se toma la lectura al hilo medio en B.
Obviamente, si la visual está desplazada un ángulo α con respecto a la horizontal
tendremos que LB = L’B – e
e) Damos vuelta de campana y
colimamos el punto B en posición
NT
. dir. L'B invertida. Anotamos la lectura del
en pos
Visual e hilo medio B. De estar descorregido
α
−α el instrumento, la inclinación del eje
Visual e de colimación será igual pero en
en pos
. inv. l"B sentido contrario a la visual en
posición directa, luego
Mira vertical
LB = L”B + e.
B
f) Igualando las dos lecturas previas
A
tenemos,
L' B − L"B
e= (4.17)
D 2
Figura 4.14
siendo:
e = error lineal índice del círculo vertical para la distancia D.
L’B = lectura a la mira en posición directa
L”B = lectura a la mira en posición invertida
g) Si en vez de igualar las lecturas, sumamos nos queda:
L' B + L"B
LB = (4.18)
2
La ecuación (4.18) nos indica que el promedio de las lecturas al círculo vertical en las dos
posiciones conjugadas del anteojo nos da el valor del ángulo vertical, libre del error del índice
de lectura del círculo vertical.
Existen teodolitos más sofisticados que utilizan un compensador vertical automático, eliminando
el uso del nivel tórico del círculo vertical.
En caso de ser necesario ajustar el instrumento para eliminar el error del índice de lectura del
círculo vertical, se procede como se indica a continuación:
4-19
22. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
a) Actuando sobre el tornillo de coincidencia [P] del círculo vertical imponemos la lectura
LB = L”B + e, con lo cual la burbuja del nivel tórico del círculo vertical quedará
descentrada.
b) Centramos nuevamente la burbuja actuando sobre tornillos de corrección del nivel tórico.
Por ser un procedimiento realizado en campo, es necesario repetir el proceso de comprobación y
ajuste hasta comprobar la eliminación del error de índice.
4.4 Sistemas de Lectura de Círculos Graduados
4.4.1. Sistema de Nonio o Vernier
Uno de los primeros métodos utilizados para fraccionar y leer las graduaciones de un círculo con
mayor precisión es el método de nonio o Vernier. Este método, aunque ha venido siendo
desplazado por métodos más modernos, precisos y rápidos, aún es utilizado en equipos
económicos que no requieren de una gran precisión.
En este sistema de lectura, empleado en la mayoría de teodolitos antiguos, conocidos
generalmente como tránsitos, el círculo horizontal está dividido en grados enteros, cada grado a
su vez está dividido en 2, 3 ó 4 partes, correspondiendo cada subdivisión a 30, 20 ó 15 minutos
respectivamente.
Para aumentar la precisión de las lecturas, se utiliza un sistema de nonio o vernier constituido por
un nonio de corona circular concéntrica con el círculo (figura 4.15).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0° 1° 2°
Figura 4.15 Sistema de lectura de ángulo con nonio
El nonio está dividido en n partes de igual amplitud i’, ocupando el espacio correspondiente a
(n-1) divisiones del círculo graduado con amplitud i.
La apreciación A del nonio viene dada por:
i
A= (4.19)
n
Como en la figura 4.15 un grado está dividido en seis partes iguales, la amplitud del círculo será
4-20
23. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
1° 60'
i= = = 10'
6 6
luego
10'
A= = 1'
10
A representa la menor lectura que podemos hacer con un nonio o vernier.
Ejemplo 4.11
Determine la apreciación y la lectura del nonio de la figura E4.11.
Figura E4.11
Solución
En el círculo mostrado en la figura E4-11, cada grado viene dividido en dos partes por lo que
i=60/2 = 30’ como el nonio está dividido en 30 partes la apreciación del nonio será
30'
A= = 1'
30
para la lectura al círculo horizontal con el índice A y leyendo de derecha a izquierda (sentido
horario), procedemos de la siguiente manera:
a) Anotamos la lectura entera al índice A es LA = 342°30’
b) Como el índice A no coincide exactamente con la graduación correspondiente a los 30’,
sino que se pasa por una cantidad que no se puede apreciar directamente, buscamos la
coincidencia de una de las graduaciones del nonio con una de las graduaciones del círculo.
En nuestro caso verificamos que la coincidencia se da en la quinta división del nonio
(derecha a izquierda), por lo que la parte fraccionaria será L’A = 5’
c) La lectura horaria definitiva (L+) corresponde a:
L + = LA + L’A = 342°30’ + 05’ = 342°35’
Repitiendo el procedimiento para determinar la lectura en sentido antihorario tenemos:
LA = 17°00’
L’A = 00°25’
4-21
24. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
L - = 17°25’ (lectura antihoraria)
Como chequeo,
L + + L - = 360°
342°35’ + 17°25’ = 360°00’
4.4.2. Otros Sistemas de Lectura
Los sistemas de lectura de escalas han ido evolucionando constantemente con el tiempo. Se han
incorporado microscopios para facilitar las lecturas, se han desarrollado sistemas de lectura de
coincidencia en teodolitos de doble círculo que proporcionan directamente, en el ocular de
lectura, el promedio aritmético de dos regiones del círculo diametralmente opuestas, eliminando
el error de excentricidad de la alidada. Se han desarrollado sistemas con micrómetros ópticos de
fácil lectura, y, más recientemente, teodolitos electrónicos con lecturas sobre pantallas de cristal
líquido, con capacidad de archivar sobre tarjetas magnéticas o libretas electrónicas de campo.
Debido a la constante evolución de los sistemas de lectura, a la facilidad de lectura y a la
diversidad de sistemas, no se hace necesario una discusión detallada de cada uno de los sistemas,
por lo que nos conformaremos con los ejemplos suministrados en las figuras 2.17 a 2.21 del
capítulo 2 y la figura 4.12 del presente capítulo.
4-22
25. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
Problemas Propuestos
4.1. Con los datos de la figura P4-1 calcule los ángulos en cada uno de los vértices y la
distancia BD.
B
89
2
,7 5
2
5,3
11
3
1 C
131,67
A
4
6
,45
98 5
92
,36
D
Figura P4-1
4.2. Con los datos de la figura P4-2, calcule los ángulos en los vértices. Compruebe sus
resultados.
Figura P4-2
4.3. Con los datos de la figura P4-3, calcule los elementos necesarios para replantear con
cintas el punto C a partir de B. Describa el proceso de campo.
C
m
50
47,
°
120
A B
Figura P4-3
4-23
26. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4.4. Calcule y describa el proceso de campo requerido para trazar con cinta métrica una
perpendicular a AB que pase por el punto B.
C
A B
40,00 m
Figura P4-4
4.5. Los datos de la siguiente tabla corresponden a la medición de un ángulo por el método de
repetición con lecturas a los índices A y B. Calcule el valor final del ángulo y diga qué
errores se eliminan con este procedimiento.
Estación A Pos. Directa
Lecturas
PV Ind. A Ind. B Inicial
B 0°00’00” 180°00’00”
C 34°17’20” 214°17’00”
205°43’00” 25°42’40” Final
4.6. Los datos de la siguiente tabla corresponden a una serie de lecturas efectuadas a los
índices A y B en las posiciones conjugadas del anteojo para la medición del ángulo en A
por el método de repetición. Calcule el valor promedio del ángulo y diga qué errores se
eliminan con la aplicación de este procedimiento.
Estación A N=3
Pos. Directa
PV Ind. A Ind. B
B 0°00’00” 180°00’00”
C 62°37’20” 242°37’10”
LF 187°51’30” 07°52’00”
Pos. Invertida
PV Ind. A Ind. B
B 187°51’30” 07°52’00”
C 15°43’30” 195°43’40”
4.7. Con los datos de la siguiente tabla, correspondientes a una serie de tres reiteraciones,
calcule el ángulo en A.
Estación A
Reit. Lect. B Lect. C
1 0°17’30” 61°42’40”
2 60°00’20” 121°25’10”
3 120°10’10” 181°35’30”
4-24
27. Leonardo Casanova M. Medición de Ángulos
4.8. Los datos de la tabla anexa corresponden a una serie de seis reiteraciones con lecturas a
los índices A y B en las dos posiciones conjugadas del lente. Calcule el ángulo en el
vértice y diga qué tipo de errores se eliminan con este procedimiento.
Estación A. Pos. Dir.
Lecturas
Reit. PV Ind. A Ind. B
1 B 0°17’30” 180°17’20”
C 61°42’40” 241°42’30”
2 B 60°00’20” 240°00’30”
C 121°25’10” 301°25’00”
3 B 120°10’10” 300°10’00”
C 181°35’30” 01°35’40”
Pos. Inv.
4 B 180°20’20” 0°20’20”
C 241°45’30” 61°45’30”
5 B 240°10’20” 60°40’20”
C 301°35’30” 122°05’40”
6 B 300°10’10” 120°50’20”
C 01°35’10” 182°15’40”
4-25