Capítulo 6. Álgebra vectorial

1

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo 6. Álgebra Vectorial
Para conceptos como velocidad, aceleración y fuerza, es
necesario especificar lugar y dirección en los que se aplican.
DEFINICIÓN. Una cantidad o magnitud es escalar si para
señalarla basta su magnitud, esto es, su medida, su tamaño.
Ejemplos: cinco engranes, 12 horas, ocho varillas, 12 ohms.
DEFINICIÓN. Una cantidad o magnitud es vectorial, o
simplemente vector, cuando para expresarla es necesario
determinar su magnitud y su dirección.
El sentido está inmerso en la dirección y sólo se hablará de
magnitud y dirección. Cantidades vectoriales: velocidad,
aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético.
DEFINICIÓN. Segmento dirigido es una porción de una recta del
que se conocen su origen y su final.
En álgebra lineal se utiliza el término vector para cada elemento
de una estructura algebraica llamada espacio vectorial.

2

Un vector se representa con un segmento dirigido, donde la
magnitud es el tamaño del segmento y la dirección es la
trayectoria recta en la que está ubicado el segmento, junto con
la “punta” de la flecha del mismo. Un vector es libre si se
representa con infinidad de segmentos dirigidos con la magnitud
y la dirección del vector. Los vectores se denotan con letras
minúsculas testadas, por ejemplo: , ,a v m.
Analíticamente es una terna ordenada de números reales como
 1 2 3, ,a a a a , que se llaman componentes escalares o números
directores del vector.
DEFINICIÓN. Sea el vector  1 2 3, ,v v v v geométricamente
representado por el segmento dirigido denotado por AB con su
origen en  1 2 3, ,A a a a y su final en  1 2 3, ,B b b b . Entonces las
componentes escalares del vector v son:
1 1 1 2 2 2 3 3 3; ;v b a v b a v b a     
Ejemplo. Obtener las componentes escalares del vector wsi está
representado por el segmento dirigido PQ donde  5, 2,4P   y
 2,6, 7Q 
Solución.
      2 5 , 6 2 , 7 4 7, 8, 11w w         
Ejemplo. Determinar las coordenadas del origen y final de dos
segmentos dirigidos que representen al vector  0, 2, 6b  .

3

Solución. Un segmento dirigido podría ser el OP con el punto
origen en  0,0,0O y el punto final en  0,2,6P . Otro, aquel cuyo
punto origen es  1,5,8M y su punto final en  1,7,14N .
Ejemplo. El punto del origen de un segmento dirigido AB , dado
por el punto  2,4,5A  , representa al vector  3, 9, 0u   .
Determinar las coordenadas del punto final del segmento
dirigido.
Solución. Basta con sumar a las componentes del vector u , las
coordenadas del punto origen del segmento, es decir, del punto
A. Así,
1 1
2 2
3 3
2 3 1
4 9 5
5 0 5
b b
b b
b b
    
    
   
Las coordenadas del punto final del segmento son  1, 5,5B  .
OPERACIONES CON VECTORES
DEFINICIÓN. Un vector es nulo o cero aquel cuya magnitud, es
decir, su tamaño geométrico es cero y su dirección y sentido no
están determinados. Se denota con:
 0 0, 0, 0
DEFINICIÓN. Se llama vector de posición al que tiene su punto
origen o punto inicial en el origen del sistema coordenado
3
y
su punto final en un determinado punto  1 1 1, ,P x y z de
3
.
Es la forma vectorial de definir la ubicación de un punto en un
sistema coordenado de dos o tres dimensiones. Por ello las

4

coordenadas del punto son iguales a las componentes de su
vector de posición. En la figura, el segmento OP es el vector de
posición del punto  1 1 1, ,P x y z . El punto inicial es O y el final es P
DEFINICIÓN. La magnitud o módulo de un vector es su tamaño,
esto es, su longitud como segmento dirigido. Se denota con v .
El módulo, conocido como norma en Álgebra Lineal, se obtiene
mediante el teorema de Pitágoras.
En el triángulo rectángulo O Q R , la hipotenusa " "s equivale a:
2 2
1 1s x y 

5

y en el triángulo rectángulo OPQ, la hipotenusa v , que es el
módulo del vector v se obtiene a partir de:
2 2 2 2 2
1 1 1 1v s z v x y z     
Es evidente que la magnitud del vector nulo es cero.
DEFINICIÓN. Un vector es unitario si su módulo es la unidad.
Los vectores unitarios son importantes y trascendentes en
diferentes áreas de matemáticas y de física. Tres vectores de
gran utilidad en el Álgebra Vectorial son los vectores unitarios
     1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1i j k
  
  
Es conveniente coronar a las letras que definen a vectores
unitarios con una testa de cuña invertida, como se observa.
Gráficamente, se muestran a continuación:
DIRECCIÓN DE UN VECTOR
DEFINICIÓN. Un vector se representa con un segmento dirigido y
se llaman ángulos directores del vector a los ángulos que forma
el segmento con los ejes coordenados.

6

Se denota con  al ángulo que forma con el eje de las abscisas,
con  al que forma con el eje de las ordenadas y con  al que
forma con el eje de las cotas. Estos ángulos varían entre 0
0 y 0
180
y definen la dirección del vector. En la figura se pueden apreciar
estos ángulos para un vector v.
Ejemplo. Sea a un vector cuyos ángulos directores son:
0 0 0
0 ; 90 ; 90    
Determinar los ángulos directores de otro vector b que tenga la
misma magnitud, pero dirección contraria al vector a.
Solución. Los ángulos directores del vector b son:
0 0 0
180 ; 90 ; 90    
En la figura se señalan los ángulos directores:

7

DEFINICIÓN. Los cosenos directores de un vector son los cosenos
de sus ángulos directores. Así, para un vector  1 2 3, ,v v v v , sus
cosenos directores equivalen a:
31 2
cos ; cos ; cos
vv v
v v v
    
Si el ángulo es de 0
0 , el coseno director es la unidad; si el ángulo
es de 0
180 , es menos uno; si el ángulo es agudo, es positivo; si el
ángulo es de 0
90 , es nulo y, finalmente, si el ángulo es obtuso, es
negativo.
TEOREMA. Considérese el vector no nulo  1 2 3, ,v v v v . Entonces
la suma de los cuadrados de sus cosenos directores es igual a
uno, es decir, que:
2 2 2
cos cos cos 1    
Prueba.
2 2 2
2 2 2 31 2
cos cos cos
vv v
v v v
  
     
         
     
     
2
2 2
2 2 2 1 2 3
2
cos cos cos
v v v
v
  
 
  
2
2 2 2 2 2 2
2
cos cos cos cos cos cos 1
v
v
           
2 2 2
cos cos cos 1     
DEFINICIÓN. Los números directores de un vector paralelo a un
vector dado, son cualesquiera múltiplos de sus componentes.

8

Ejemplo. Considérese el segmento dirigido que une los puntos
dados por    1 20, 5, 1 y 1, 2, 3P P  . Obtener sus cosenos
directores y la forma general de los números directores de un
vector paralelo.
Ejemplo. Determinar los ángulos y los cosenos directores del
vector  3, 4, 0v  .

9

Ejemplo. Determinar el coseno director que falta del vector w si
los dos conocidos son:
3 1
cos y cos
2 2
  
Calcular también el valor de los ángulos directores del vector w
.
Ejemplo. Determinar el valor de los ángulos directores de un
vector 0a  cuyos números directores son positivos y sus
cosenos directores son iguales.

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IGUALDAD DE VECTORES
DEFINICIÓN. Dos vectores    1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b  son
iguales sí y sólo si se cumple que sus respectivas componentes
sean iguales, esto es: 1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b  
ADICIÓN DE VECTORES
DEFINICIÓN. La adición de dos vectores  1 2 3, ,a a a a y
 1 2 3, ,b b b b es la operación entre ellos de tal forma que se
suman sus respectivas componentes, es decir, que se cumple
que:  1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b    
Propiedades de la adición
TEOREMA. Sean los vectores
     1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c  
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
)Cerradura: es un vectori a b
   )Asociatividad:ii a b c a b c    
 )Existencia del elemento idéntico: 0 0, 0, 0 0iii a a   
)Existencia de elementos inversos: 0iv a a a a     
)Conmutatividad:v a b b a  
Se probará solamente la propiedad  v .
Prueba.
   1 2 3 1 2 3a b a a a b b b      
1 2 3 1 2 3a b a a a b b b      

11

   
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
a b b b b a a a
a b b b b a a a
a b b a
      
      
  
Observaciones al respecto de estas propiedades:
- El conjunto de vectores y la operación adición con las cinco
propiedades conforman la estructura algebraica grupo
abeliano, en honor a Niels Henrik Abel (1802 - 1829),
matemático noruego célebre por haber probado que no hay
ninguna fórmula para hallar las raíces de todos los polinomios
generales de grado 5n  .
- El elemento idéntico en la adición es el vector nulo 0 .
- Cada vector tiene un inverso aditivo que tiene las mismas
componentes en valor absoluto, pero con signo contrario (con
excepción del vector 0 ).
- Esta operación se llama adición y su resultado equivale al
vector suma o simplemente la suma.
Representación geométrica de la adición
Dos vectores se pueden representar con dos segmentos dirigidos
alojados en un plano, no necesariamente un plano coordenado,
de tal manera que sus orígenes coincidan con un determinado
punto. Se utilizarán como sinónimos vector y segmento dirigido,
aunque se sabe que no es así.
Para representar gráficamente la adición de vectores se utilizan
las dos siguientes formas, que son equivalentes y sus diferencias
son, básicamente, de carácter geométrico:

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Regla del paralelogramo. Se hacen coincidir los puntos del
origen de dos vectores yu v y después se trazan rectas
paralelas a cada uno en sus puntos extremos, con lo que se
forma el paralelogramo ABCD. Entonces el vector suma u v es
el vector cuyo origen es el punto a partir del cual se trazaron los
vectores y cuyo punto extremo es el punto donde coinciden las
rectas paralelas.
En Mecánica, a este vector suma se le llama vector resultante
del sistema formado por los dos vectores dados.
Regla del triángulo. Se traza uno de los vectores y en su punto
extremo se traza el otro. La suma resultante es el vector cuyo
punto origen es el origen del primer vector y su punto extremo es
el extremo del segundo vector.
Este método se puede utilizar para sumar más de dos vectores,
aunque no es posible garantizar que estén en el mismo plano.
A
v
u
B
C
u v
A
v
u
B
C
D
u v

13

SUSTRACCIÓN DE VECTORES
DEFINICIÓN. Sean los vectores ya b. La sustracción de estos
vectores se define a partir de:  a b a b    donde b es el
inverso aditivo de b. Esto es, que al vector minuendo se le suma
el inverso aditivo del vector sustraendo.
Basta con restar las correspondientes componentes. Así,
     1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , y , , , ,a a a a b b b b a b a b a b a b       
Ejemplo. Dados los vectores    5, 3, 2 y 4, 6, 8u v    ,
calcular:
) Su adicióni u v
) Su sustracciónii u v
) El vector tal queiii w w u v 
Solución.
     ) 5, 3, 2 4, 6, 8 1, 3,10i u v u v       
     ) 5, 3, 2 4, 6, 8 9, 9, 6ii u v u v         
   ) 4, 6, 8 5, 3, 2iii w u v w v u w         
 9, 9, 6w  
yu v v u  tienen misma magnitud y direcciones opuestas.
Representación geométrica de la sustracción de vectores
Sean yu v, representados geométricamente como:

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Si en el punto donde coinciden sus puntos origen se traza el
inverso aditivo del vector v, esto es, v y se aplica lo estudiado
en la suma a través del paralelogramo, se tiene que:
Esto es equivalente a unir el punto final del vector v con el punto
final del vector u , como sigue:
El módulo de la suma de los vectores es la diagonal mayor del
paralelogramo y el módulo de la resta es la diagonal menor.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
DEFINICIÓN. Considérense el vector  1 2 3, ,w w w w y el escalar
  . Se llama multiplicación de un vector por un escalar a la
operación expresada como:  1 2 3, ,w w w w   
Propiedades de la multiplicación por un escalar
v
u
u v
v
u
 u v u v   
v
u

15

TEOREMA. Sean los vectores    1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b  y
los escalares 1 2y   . Entonces se cumple que:
 
 
   
1
1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2
) es un vector
ii)
)
)
i a
a a a
iii a b a b
iv a a

   
  
  
  
  

1
) 1
) 0 0
) 0 0
v a a
vi a
vii 

 

Se demostrará únicamente la propiedad  ii .
Prueba de  ii
    1 2 1 2 1 2 3a a a a       
     1 2 1 1 2 3 2 1 2 3a a a a a a a         
 1 2 1 2a a a     
El conjunto de vectores, con las propiedades enunciadas en los
dos teoremas anteriores, conforman una estructura algebraica
llamada espacio vectorial, que se estudia en Álgebra Lineal.
Otras propiedades adicionales del producto por un escalar son:
TEOREMA. Sean el vector  1 2 3, ,a a a a y el escalar   .
Entonces se cumple que:
) El vector tiene módulo que equivale ai a a 
) Si 0 el vector tiene la misma dirección queii a a 
) Si 0 el vector tiene dirección opuesto aiii a a 
Prueba de  i
       
2 2 2
1 2 3 1 2 3)i a a a a a a a a             

16

 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
a a a a a a a a
a a a a a a
     
   
      
     
Como el módulo de un vector siempre es positivo, entonces:
a a 
Se concluye que el resultado de multiplicar un escalar no nulo
por un vector diferente del vector cero equivale a un vector con
magnitud igual al valor absoluto del escalar por la magnitud del
vector original y con la misma dirección que este.
COROLARIO. Sea el vector no nulo  1 2 3, ,a a a a . Entonces un
vector unitario con la misma dirección que el vector a es:
 1 2 3
1
, ,u a a a
a

REPRESENTACIÓN TRINÓMICA DE UN VECTOR
Los vectores se representan analíticamente con ternas
ordenadas de números reales; también pueden expresarse a
través de la representación trinómica, con los vectores unitarios
, yi j k
  
y las operaciones de adición de vectores y la
multiplicación por un escalar.
TEOREMA. Sea el vector  1 2 3, ,b b b b . Entonces es posible
expresar este vector como:
1 2 3b b i b j b k
 
  
Prueba.
     1 2 3 1 2 31, 0, 0 0,1, 0 0, 0,1b i b j b k b b b
 
    

17

     1 2 3 1 2 3, 0, 0 0, , 0 0, 0,b i b j b k b b b
 
    
 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,b i b j b k b b b b i b j b k b
   
      
Ejemplo. Sean los vectores
     2, 6, 1 , 5, 0, 7 y 4, 8, 3a b c       
Obtener el vector d de tal forma que se cumpla que
2 3 0a b c d   
Ejemplo. Obtener un vector r que tenga dirección opuesta al
vector 3 2 2 3s i j k
  
   y cuya magnitud o módulo sea de 15
unidades.

18

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Se estudiarán dos formas de gran importancia en matemáticas
y física. El producto escalar cuyo resultado es un escalar y el
producto vectorial cuyo resultado es un vector.
PRODUCTO ESCALAR
DEFINICIÓN. Considérense los vectores
   1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b 
Se llama producto escalar (porque el resultado es una magnitud
escalar), producto punto (por su notación) o producto interno
(porque cumple ciertas propiedades en el Álgebra Lineal) de
ya b a:
1 1 2 2 3 3a b ab a b a b   
Este producto no tiene en forma directa un significado
geométrico, pero sí aplicaciones geométricas y de otros tipos.
Propiedades del producto escalar
     1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c  
y el escalar   . Entonces se cumple que:
 
 
)
)
)
) 0 si 0
i a b b a
ii a b c a b a c
iii a b a b
iV a a a
 
  
     
  
  

19

Prueba. Se demostrará solamente la propiedad  iv .
0 si 0a a a  
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 0a a aa a a a a a a a a a a a           
COROLARIO. Sea el vector  1 2 3, ,a a a a ; entonces se cumple
que:
2
a a a 
Prueba.
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3;a a a a a a a a a a a a a          
2
a a a  
Ejemplo. Sean los vectores 2 5 3 y 4 6u i j k v i j k
     
       .
Calcular el valor de w u v  .
Solución.
         2, 5, 3 1, 4, 6 2 1 5 4 3 6w u v w w              
2 20 18 4w w       
Ejemplo. Considérese un vector 2 7 4v i j k
  
   . Determinar el
conjunto de vectores w tal que se cumpla el siguiente producto
escalar:
0v w 

20

Ahora se expresará el producto escalar en términos de los
módulos de los vectores y del ángulo que forman.
TEOREMA. Sean los vectores    1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b  .
Entonces se cumple que:
cosa b a b  
donde  es el ángulo entre los vectores ya b

.
Prueba. Sean los vectores ya b

. Se trazan y se cierra el
triángulo. La unión de sus puntos finales equivale, como ya se
sabe, a la resta de los vectores.
Se aplica la ley de los cosenos y se obtiene:
2 2 2 2 2 2
2 cos 2 cosc a b a b a b a b c       
2 2 2
2 cosa b a b a b    
Como se vio con anterioridad, el módulo al cuadrado es igual al
producto escalar del vector por sí mismo, luego:
   2 cosa b a a b b a b a b        
2 cosa b a a b b a a a b b a b b            
b
a
c a b 


21

 2 cos 2a b a b   cosa b a b   
Esta forma es importante para el ángulo entre vectores y las
condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Se considera el teorema anterior y se obtiene:
cos cos cos
a b
a b a b a b a b ang
a b
  

      
Esta expresión es válida cuando los vectores son diferentes del
vector cero. Si el producto escalar es positivo, el ángulo es
agudo y si es negativo, entonces el ángulo es obtuso.
Y el producto escalar es nulo si el ángulo entre los vectores es
recto, es decir, si son perpendiculares, como en la figura:
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS VECTORES
TEOREMA. Dos vectores    1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b  son
perpendiculares sí y sólo sí 0a b  .
b
a
0a b 
0
90 
b
a
0a b 

b
a
0a b 


22

Esto no excluye la posibilidad de que uno de los vectores sea el
vector cero. Se asumirá que el vector cero es perpendicular a
todos los vectores.
Se hablará de perpendicular y ortogonal como sinónimos,
aunque en sentido estricto no lo son, como se estudia en el
Álgebra Lineal al tratar el producto interno entre vectores.
UNA CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS VECTORES
TEOREMA. Dos vectores no nulos, ya b son paralelos sí y sólo
si se cumple que: ; ; 0a b    
Prueba. La expresión para el ángulo entre dos vectores es:
cos
a b
ang
a b



Si son paralelos, el ángulo entre ellos es cero, por lo que:
0
cos 0 cos0 1
a b a b a b
ang a b a b
a b a b a b
  
       
Si ; ; 0a b     , entonces:
2 2
1 1b b b b b b        
Ejemplo. Calcular el ángulo que forman los vectores dados por:
2 5 y 3 6 7u i j k v i j k
     
      

23

Ejemplo. Verificar que los siguientes vectores son
perpendiculares:
3 y 2u i j k v i j k
     
     
Ejemplo. Obtener un vector w paralelo al plano XY , que tiene
una magnitud de 16 unidades y que es perpendicular al vector
 1, 3, 5v  .

24

Ejemplo. Obtener un vector r perpendicular al triángulo cuyos
vértices son los puntos      2, 3, 5 ; 0, 4, 6 ; 1, 7, 8A B C     .
Este ejercicio se puede resolver de manera más fácil con el
producto vectorial entre vectores, como se verá más adelante.
COMPONENTES VECTORIAL Y ESCALAR DE UN VECTOR EN LA
DIRECCIÓN DE OTRO VECTOR
DEFINICIÓN. Se llama componente vectorial de un vector a en
la dirección del vector b a la proyección perpendicular del
vector a sobre la dirección del vector b. Se denotará con
b
comp vect a
También se usa la notación b
comp vecta .

25

La proyección es como la imagen de un vector reflejada en la
dirección de otro.
Esta componente vectorial de a sobre la dirección de b, al
tratarse de una proyección, se expresa también como b
proy a.
La b
comp vect a, tiene magnitud y dirección que es la del vector
b o la opuesta. Su magnitud se obtiene como sigue:
Del triángulo rectángulo que se forma, se llega a
cosb
comp vect a a 
Si se multiplica y divide el segundo miembro por b :
cos
b
a b
comp vect a
b


Pero, cosa b a b  
Como se explicó antes, cos puede ser positivo, negativo o nulo
y además, el módulo de un vector es positivo, luego la magnitud
de la componente vectorial será:
ba
b
comp vect a

b
a
b
comp vect a

26

b
a b
comp vect a
b


En las aplicaciones tiene importancia el signo del producto
escalar a b , por lo que es conveniente expresar lo siguiente:
- Si cos 0  , el ángulo  es agudo, por lo que la proyección de
a en la dirección de b es igual en signo que esta.
- Si cos 0  , el ángulo  es de 0
90 , por lo que la proyección de
a en la dirección de b es el vector nulo.
- Si cos 0  , el ángulo  es obtuso, por lo que la proyección de
a en la dirección de b tiene signo contrario a esta.
Entonces la expresión para calcular la componente vectorial de
a en la dirección de b, con magnitud y dirección es:
b
a b b
comp vect a
b b


pues al multiplicar el escalar que señala el módulo y dirección
de la proyección, por un vector unitario en la dirección de b, se
llega al vector componente requerido. El escalar mencionado
es la componente escalar de a en la dirección de b.
DEFINICIÓN. Se llama componente escalar del vector a en la
dirección del vector b, al cociente del producto escalar de
ambos vectores entre el módulo del vector b. Se denota con
b
comp esc a y equivale a:
b
a b
comp esc a
b



27

De acuerdo a lo expresado, la componente escalar es positiva
si a tiene la misma dirección de b; es nula si ya b son
ortogonales; y es negativa si ya b tienen direcciones
opuestas. En otras disciplinas se estudiarán estos cambios de
signo en problemas de aplicaciones diversas.
Ejemplo. Dados los vectores
4 4 10 y 5 15 6a i j k b i j k
     
       ,
obtener:
) ; )
) ; )
b b
a a
i comp esc a ii comp vect a
iii comp esc b iv comp vect b

28

Ejemplo. Sean los vectores representados en la siguiente figura,
localizados en el plano YZ .
Determinar:
) v
i comp esc u
) v
ii comp vect u
) Las coordenadas del puntoiii B
Solución.
Calculo de las componentes de los vectores yu v:
El vector v solamente tiene componente en k

por lo que
 0, 0, 2v 
Para el vector u , su componente en j

es 2 . Con este valor y el
ángulo del triángulo rectángulo se calcula la componente en k

al multiplicar 2 por la tangente de 0
60 , con lo que se obtiene
3.464. Luego
 0, 2, 3.464u 
   
2 2 2
0, 2, 3.464 0, 0, 2
)
0 0 2
v v
u v
i comp esc u comp esc u
v

  
 
6.928
3.464
4
v v
comp esc u comp esc u  

29

 0, 0, 2
) 3.464
4v v v
v
ii comp vect u comp esc u comp vect u
v
  
3.464v
comp vect u k

 
) Las coordenadas del puntoiii B. En la figura anterior se
agregan los vectores de posición de los puntos y BA con los
cuales se obtendrán las coordenadas requeridas del punto B.
De acuerdo con la adición de vectores, es posible escribir que:
   ; 0, 3,1 y 0, 2, 3.464b a u a u   
     0, 3,1 0, 2, 3.464 0, 5, 4.464b b   
 0, 5, 4.464B
PRODUCTO VECTORIAL
DEFINICIÓN. Considérense los vectores
   1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b 
Entonces se llama producto vectorial o producto cruz a:
     2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b a b a b i ab a b j ab a b k
  
      

30

Se conoce como producto vectorial porque el resultado es un
vector y se utiliza una cruz al expresarlo. Hay ciertos autores que
a este producto vectorial lo denotan con: a b . La expresión
que define al producto vectorial es difícil de memorizar. Para
esto se utiliza una herramienta mnemotécnica que consiste en el
“pseudodeterminante” siguiente:
1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
  
 
Quien sabe cómo calcular un determinante de tercer orden,
puede utilizar este arreglo para resolver de manera más sencilla
el producto vectorial sin necesidad de memorizar la expresión
matemática de su definición.
Propiedades del producto vectorial
TEOREMA. Sean los vectores , ,a b c y el escalar   . Entonces:
 ) Anticonmutatividad;i a b b a   
 ) Distributividad por la izquierda;ii a b c a b a c     
 ) Distributividad por la derecha;iii a b c a c b c     
     ) Asociatividad con un escalar:iv a b a b a b      
) 0 0 0v a a   
Propiedades geométricas del producto vectorial
TEOREMA. Sean los vectores no nulos ya b. Entonces se
cumple que:
) ; es el ángulo entre yi a b a b sen a b   .

31

) es un vector ortogonal tanto a como aii a b a b .
) El sentido del vector es el que se sigue con
la regla de la mano derecha. Si el dedo medio
de la mano derecha apunta al prefactor y el dedo
pulgar al posfactor, entonces el dedo índice
apuntará al
iii a b
producto (véase la figura).
) 0 y son paralelos.iv a b a b  
Prueba de  i .
Sean los vectores    1 2 3 1 2 3, , y , ,a a a a b b b b  .
Por identidades trigonométricas:
2
1 cosa b sen a b  
Se sabe que:
cos cos
a b
a b a b
a b
 

   
Se sustituye este valor en la expresión anterior y:
 
2
2 2 2
1
a b
a b sen a b a b sen a b a b
a b
 
 
      
 
 
    
22 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3a b sen a a a b b b ab a b a b        

32

Con operaciones y simplificaciones algebraicas se llega a:
     
2 2 2
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b sen a b a b ab a b ab a b      
a b sen a b  
Del teorema anterior, se deducen las consideraciones:
- La multiplicación de dos vectores en forma vectorial es
cerrada.
- El producto vectorial de dos vectores es otro vector
perpendicular al plano que contiene a los dos vectores.
- El producto de dos vectores no nulos puede ser el vector cero,
por lo que la propiedad  iv del teorema anterior es la otra
condición de paralelismo.
A través de la propiedad  i se puede obtener una aplicación
geométrica del producto vectorial.
Aplicación del producto vectorial en el cálculo del área de un
paralelogramo
TEOREMA. Considérese el paralelogramo de la figura siguiente:
Entonces el área del paralelogramo se obtiene a partir de:
Área a b 

33

donde ya b son dos vectores que coinciden con dos lados
no paralelos del paralelogramo.
Prueba.
Área ;
Área Área
a h h b sen
a b sen a b


 
   
Ejemplo. Dados los vectores  2, 5, 1 y 3 4 7u v i j k
  
      ,
obtener:
) ; )i u v ii v u 
Se ve cómo el producto vectorial no es conmutativo. Son
vectores con la misma magnitud y direcciones opuestas.
Ejemplo. Calcular el producto vectorial de los siguientes
vectores:

34

 
2
, 7, 3 y 2, 21, 9
3
v w
 
     
 
Solución.
     
2
7 3 63 63 6 6 14 14 0
3
2 21 9
i j k
v w i j k v w
  
  
             

La razón de que este producto vectorial sea el vector cero es
porque los dos vectores son paralelos. El vector w equivale a
multiplicar el vector v por el escalar 3  . Además esto se
puede verificar mediante la expresión:
a b sen a b  
Así, si los vectores son paralelos, el ángulo entre ellos es de cero
grados, luego,
0 0
0 0 0 0sen a b      
Ejemplo. Obtener un vector r perpendicular al triángulo cuyos
vértices son los puntos      2, 3, 5 ; 0, 4, 6 ; 1, 7, 8A B C    
Solución.
Este ejercicio se resolvió con anterioridad, pero no tan sencillo
como se hará ahora mediante el producto vectorial. Los
segmentos dirigidos yAB AC devienen, respectivamente, en
los vectores
   2, 7, 1 y 1, 4, 3v w      
Evidentemente, estos dos vectores están en el mismo plano del
triángulo, por lo que su producto vectorial dará como resultado
un vector perpendicular al plano del triángulo. Así,

35

     2 7 1 21 4 6 1 8 7
1 4 3
i j k
v w v w i j k
  

            
  
25 5 15v w i j k
  
     
Este vector es diferente al obtenido anteriormente que era
5 3r i j k
  
   . Sin embargo, si se multiplican por 5 los números
directores de este vector, se obtienen los del vector obtenido en
la otra forma tratada para resolver el ejercicio. Por lo que son
paralelos, luego ambos son perpendiculares al plano del
triángulo. Son una infinidad los vectores perpendiculares al
triángulo, es por ello que se pidió “un” vector.
Ejemplo. Calcular el área del pentágono irregular cuyos vértices
son los puntos:
         1, 3, 4 ; 1, 3, 0 ; 4, 3,1 ; 6, 3, 3 ; 3, 3, 5A B C D E
Solución. La gráfica se muestra a continuación:

36

El pentágono está alojado en el plano 3y  . Si se le observa de
manera perpendicular al eje de las ordenadas, se tiene la
siguiente figura ABCDE .
Para calcular el área, el pentágono se divide en tres triángulos y
el área de cada triángulo es igual, como ya se vio, al área del
paralelogramo del cual son la mitad, dividida entre dos. Así, se
obtiene:
1 1 1
Área
2 2 2
AB AC AC AD AD AE     
Para resolver estos productos vectoriales se obtienen las
componentes de los segmentos dirigidos.
       2, 0, 4 ; 5, 0, 3 ; 7, 0, 1 ; 4, 0,1AB AC AD AE      
2 0 4 0 14 0 14
5 0 3
i j k
AB AC i j k AB AC
  
  
        

5 0 3 0 16 0 16
7 0 1
i j k
AC AD i j k AC AD
  
  
        


37

7 0 1 0 11 0 11
4 0 1
i j k
AD AE i j k AC AD
  
  
        
Luego,
      21 1 1 41
Área 14 16 11 Área
2 2 2 2
u    
PRODUCTO MIXTO O TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
DEFINICIÓN. Considérense los vectores , ya b c. Entonces se
llama producto mixto o triple producto escalar a:
a b c a b c    
 
Observaciones:
- Este producto mixto da por resultado una magnitud escalar.
- No es necesario colocar paréntesis en este producto mixto, ya
que es evidente que primero se realiza el producto vectorial.
- No es necesario colocar los símbolos de las operaciones ya
que se pueden intercambiar y no se altera el resultado.
     1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , y , ,a a a a b b b b c c c c  
Entonces:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
a b c b b b
c c c
  
 
Prueba.
       1 2 3 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, , , ,a b c a b c a a a b c b c bc b c bc b c             
     1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1a b c a b c b c a bc b c a bc b c        

38

2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
b b b b b b
a b c a a a
c c c c c c
a a a
a b c b b b
c c c
    
 
  
 
Se llega al mismo resultado con a b c  .
Algunas propiedades algebraicas del producto mixto
TEOREMA. Sean los vectores , ya b c. Entonces se cumple que:
)
)
) 0 si uno de los vectores es el vector cero
i a b c a c b
ii a b c b c a c a b
iii a b c
    
   
      
     
  
 
Prueba. El valor de un determinante cambia si se intercambian
dos renglones, lo que demuestra la propiedad  i y en la
propiedad  ii no hay cambio de signo al haber dos cambios de
signo. Para probar la propiedad  iii , baste decir que un
determinante es nulo si un renglón está formado por ceros.
Si se idealizan los vectores en una circunferencia, el producto se
realiza comenzando con uno cualquiera y continuando con los
otros dos siguiendo el sentido de las manecillas del reloj. Así,

39

Algunas propiedades geométricas del producto mixto
TEOREMA. Sean , ya b c no nulos. Entonces se cumple que:
) 0 sí y sólo si los tres vectores están en el mismo planoi a b c   
.
)ii El valor absoluto de a b c 
 
es igual al volumen del
paralelepípedo del cual uno de sus vértices es el punto origen
de los tres vectores , ya b c.
Prueba.
)i Si , ya b c están en un mismo plano, el vector a b es
perpendicular al plano que contiene al vector c y por lo tanto,
0a b c   porque  0
90 cos 0a b c a b c        . Y si el
producto mixto es nulo, esto es, si 0a b c   esto implica que el
vector a b es perpendicular al vector c, que significa que este
vector c puede alojarse en el plano que contiene a y aa b.
) cosii a b c a b c a b c       
 

40

Para calcular el volumen del paralelepípedo se multiplica el
área de la base por la altura medida sobre la perpendicular a
ella. El área de la base se calcula mediante el producto vectorial
a b . Y la altura, por la figura se calcula con:
cosh c 
Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo se obtiene a través
de:
cosV a b c V a b c V a b c         
 
Ejemplo. Calcular a b c 
 
si los vectores , ya b c están dados
por:
 6, 2, 1 ; 4 7 ; 3 5u v i j k w i k
    
       
En ocasiones es más sencillo demostrar teoremas de la
geometría elemental con el álgebra vectorial.
Ejemplo. Demostrar que si el área de un triángulo rectángulo es
igual a un cuarto del cuadrado de su hipotenusa, entonces el
triángulo es isósceles.

41

Solución.
Por la hipótesis, se tiene que el área del triángulo es:
21
Área
4
c
Pero por otro lado, se sabe que esta área se calcula con:
1
Área
2
a b 
Se igualan, se aplica una propiedad del producto vectorial y:
2 2 2
01 1 1 1
90 2
2 4 2 4
a b c a b sen c a b c     
Por el teorema de Pitágoras,
2 2 2
a b c 
Se igualan los dos resultados de
2
c y se llega a:
 
22 2 2 2
2 2 0 0a b a b a a b b a b        
0a b a b   
Por lo tanto, el triángulo es isósceles.
Ejemplo. Calcular, mediante el álgebra vectorial, el volumen del
paralelepípedo cuyos vértices son los puntos:
       
       
3, 0, 0 ; 3, 4, 0 ; 0, 4, 0 ; 0, 0, 0
3,1, 2 ; 3, 5, 2 ; 0, 5, 2 ; 0,1, 2
A B C D
E F G H

42

CURVAS
Como se verá más adelante, al estudiar punto, recta y plano en
el espacio, las ecuaciones paramétricas de una recta, siguiendo
la representación paramétrica de una función, pero ahora en el
espacio, están dadas por:
0
0
0
;
x x a
y y b
z z c

 

 

   
  

Y si en estas se despeja el parámetro y se igualan, se obtiene la
ecuación simétrica de la recta en el espacio:
0 0 0x x y y z z
a b c
  
 

43

En ambas formas, 0 0 0, ,x y z son las coordenadas de un punto de
la recta y ,b ,ca son las componentes de un vector paralelo a
la misma.
Además, la ecuación  , , 0F x y z  puede representar a una
superficie en el espacio y si es de la forma 0Ax By Cz D    ,
representa un plano. Entonces que dos ecuaciones del tipo
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
   

   
pueden representar una recta y dos ecuaciones cartesianas de
la forma  , , 0F x y z  , cuando representan superficies, definen
una curva en su intersección, que puede ser plana o alabeada.
Es evidente que los planos coordenados se pueden representar
mediante las ecuaciones:
     0 ; 0 ; 0x plano YZ y plano XZ z plano XY  
Y las ecuaciones para planos paralelos a los planos
coordenados son del tipo:
 
 
 
plano paralelo al plano
plano paralelo al plano ; , constante
plano paralelo al plano
x k YZ
y k XZ k
z k XY



DEFINICIÓN. Una curva el lugar geométrico de todos los puntos
del espacio que satisfacen una de estas condiciones:
)i Dos ecuaciones del tipo  , , 0F x y z  .
)ii Una ecuación vectorial en la que interviene un parámetro.
)iii Tres ecuaciones paramétricas.
REPRESENTACIÓN CARTESIANA

44

Ejemplo. Sea la curva dada por las ecuaciones:
2 2 2
2
5 2 5 0
x z y
x y z
  

   
Determinar si el punto  2, 3,1P pertenece a la curva.
Solución. Para que el punto P pertenezca a la curva, debe
satisfacer ambas ecuaciones de las superficies, luego,
 
   
2 2 2
2 2 1 3 9 9
5 2 2 3 1 5 0 0 0
    

     
por lo tanto, el punto P sí pertenece a la curva.
Ejemplo. Si las ecuaciones siguientes representan una curva,
obtener las coordenadas de dos puntos de ella.
2 3 6 0
5 4 7 0
x y z
x y z
   

   
Solución. Ambas ecuaciones pertenecen a dos planos que al
cortarse, producen una línea recta. Si se da un valor arbitrario a
una de las variables, el sistema se reduce a dos ecuaciones. Así,
si 1z  , se obtiene:
5 3
2 3 5
2 3 5 0 2
35 3 0
5 3
5
y
x y x
x y
yx y
x y x

      

      

19
5 3 3 13
25 15 6 2 13 19
2 5 4
13
y
y y
y y y
x
 
 
        

Por lo que el punto
4 19
, ,1
13 13
Q
 
 
 
pertenece a la recta. Para
obtener otro punto de la curva, se hace 0x  , de donde:

45

3 6 6 3
3 6 0
7
4 7 0 4 7
4
y z z y
y z
y
y z y z z
     
   
 
        
17
7 116 3 24 12 7 11 17
4 15
11
y
y
y y y y
z
 

         

Por lo que el punto
17 15
0, ,
11 11
R
 
 
 
pertenece a la curva.
Al fijar una variable, geométricamente significa cortar a la curva
con un plano paralelo a un coordenado. En un caso con el plano
1z  y en el otro con el plano 0x  .
Ejemplo. Considérese la curva dada por las ecuaciones:
2 2 2
4
y x
x y z


  
Determinar si la curva que representan estas ecuaciones es una
curva plana o alabeada.
Solución. Si en las ecuaciones se hace 0x  , entonces 0y  y
2z   . Luego dos puntos de la curva son
   1 20, 0, 2 y 0, 0, 2P P  .
Otro punto cualquiera de la curva se obtiene al darle el valor de
un parámetro 0  a una de las variables. Así, si x  , entonces
y  y 2 2
4 2z   . Si se considera únicamente el valor positivo
de z, entonces se tendrá el punto de la curva  2
3 , , 4 2P    .
Las componentes de los segmentos dirigidos 1 2 1 3yPP PP son:
   2
1 2 1 30, 0, 4 y , , 4 2 2PP PP       
Se realiza el producto vectorial de ambos y se obtiene:

46

 
1 2 1 3
2
1 2 1 3
0 0 4 4 4 0
4 2 2
4 , 4 , 0
i j k
PP PP i j k
PP PP
 
  
 
  
  
     
 
   
Esto implica que un vector perpendicular a los dos segmentos
dirigidos tiene la misma dirección, por lo que los puntos de la
curva pertenecen a un mismo plano. Igual con la raíz negativa.
Entonces se concluye que la curva es plana.
La primera ecuación es un plano cuya traza con el plano XY es
la recta y x ; y la segunda ecuación, si se anula cada variable
se obtienen circunferencias por lo que se intuye que es una
esfera con centro en el origen y radio igual a dos. La gráfica de
la superficie, el plano y la curva intersección, que está contenida
en un plano, se muestran en la siguiente figura:
En Cálculo superior se estudia la torsión de una curva, la cual si
es nula, significa que la curva es plana.

47

Ejemplo. Graficar la curva representada por las ecuaciones
cartesianas:
2 2
0
z x y
x
  


Solución. La segunda ecuación, 0x  , es la ecuación del plano
YZ . Y si en la otra ecuación se hacen cero por separado las
variables del segundo miembro se intuye, como se verá
después, que ecuación es la de una superficie conocida como
paraboloide. Si en esta ecuación se sustituye la segunda se llega
a:
2
0x z y  
que es la ecuación de una parábola en el plano YZ , con vértice
en el origen, que abre hacia arriba y cuyo eje de simetría es el
eje z. Esta parábola es la intersección de las dos ecuaciones
cartesianas y constituye la curva representada por ellas. La
gráfica se muestra en la siguiente figura:
REPRESENTACIÓN VECTORIAL Y PARAMÉTRICA

48

DEFINICIÓN. Una ecuación vectorial de una curva C es una regla
matemática que señala el desplazamiento de un vector de
posición cuyo inicio coincide con el origen de coordenadas y
cuyo extremo dibuja la curva en toda su longitud.
Es común considerar a un parámetro como una variable más,
pero, como en las ecuaciones cartesianas de los ejercicios
anteriores, las variables son , ,x y z , y en estos casos se pueden
describir las curvas con estas variables y un cierto parámetro.
Para la representación vectorial de una curva, se utiliza un
parámetro, mientras que para la representación de una
superficie, son necesarios dos parámetros. Para comprender
esto hay que recordar que para una curva se requieren dos
ecuaciones cartesianas, como se vio anteriormente y, si en estas
ecuaciones se da un valor para una de las tres variables, se
tendrá un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas , lo que
permitirá obtener un punto de la curva si el sistema es
compatible determinado. Una curva tiene entonces un grado de
libertad y por ello se necesita de un solo parámetro para
representarla vectorialmente.
En el caso de una superficie, se representa con una ecuación
cartesiana en las tres variables , ,x y z . Entonces se requiere elegir
valores para dos de las variables para fijar un punto de la
superficie. Es por ello que su representación vectorial requiere de

49

dos parámetros. Las superficies tienen entonces dos grados de
libertad.
Para representar vectorialmente a una curva se utiliza la
siguiente notación que presenta a las variables , ,x y z como
componentes del vector de posición que dibuja a la curva, en
términos de un parámetro " "t que puede denotarse de muchas
formas.
       r t x t i y t j z t k
  
  
De esta expresión resulta la representación paramétrica:
 
 
 
:
x x t
C y y t
z z t
 




La letra " "t es común como parámetro pues en la física denota
al tiempo. También se acostumbra usar la letra griega " " . Este
símbolo no tiene nada que ver con el ángulo que se utiliza en la
representación polar de una curva. La relación entre las
variables y el parámetro no necesariamente es una función,
aunque sí resulta conveniente que lo sea.
Es importante la parametrización, ya que hay problemas cuya
solución puede ser muy complicada o imposible si se trabajan
con la forma cartesiana, siendo diferente cuando se hace con
las formas paramétrica o vectorial. Para parametrizar se usa la
geometría, la trigonometría y el álgebra.
Ejemplo. Considérese la curva dada por las ecuaciones
cartesianas siguientes:
2 2
9
:
0
x y
C
z
  


Representarla vectorial y paramétricamente.

50


Solución. Las dos ecuaciones representan superficies. La
primera, en el plano XY , es una circunferencia con centro en el
origen y radio igual a tres. Vista en el espacio 3
, es un cilindro
circular recto con su eje de simetría en el eje z y con radio igual
a tres. Y la segunda ecuación representa al plano XY . La curva
resultante es la circunferencia 2 2
9x y  del plano XY .
Una manera de llegar a las formas vectorial y paramétrica de
esta curva es considerando como parámetro a " "t , por lo que se
llega a:
2
; 9x t y t   
Y la ecuación vectorial queda como:
   2 2
9 ; 3 3 , 9 , 0 ; 3 3r t t i t j t r t t t t
 
               
Y las correspondientes ecuaciones paramétricas son:
2
: 9 ; 3 3
0
x t
C y t t
z


     
 
Esta parametrización no resulta muy conveniente ya que la
segunda ecuación no es una función. Si se considera el signo
positivo de la raíz, se estará hablando de la semicircunferencia
superior y con el signo negativo, se hablará de la circunferencia
inferior. Así, se tendría que:
  2
1
2
, 9 , 0 ; 3 3
: 9 ; 3 3
0
r t t t t
x t
C y t t
z
     
 


    
 

51


  2
1
2
, 9 , 0 ; 3 3
: 9 ; 3 3
0
r t t t t
x t
C y t t
z
      
 


     
 
Si ahora se elige como parámetro a la variable " "y , se tendría
un problema semejante al anterior y se obtendrían las siguientes
expresiones y gráficas:
  2
1
2
9 , , 0 ; 3 3
9
: ; 3 3
0
r m m m m
x m
C y m t
z
     
 
  

   
 
  2
1
2
9 , , 0 ; 3 3
9
: ; 3 3
0
r m m m m
x m
C y m t
z
      
 
   

   
 
Para lograr una mejor parametrización, se puede recurrir a la
trigonometría. La primera ecuación cartesiana de la curva
puede escribirse como:
2 2
1
9 9
x y
 
Por una analogía con la identidad trigonométrica
2 2
cos 1sen   
se llega a:

52

2 2
2 2
y cos
9 9
x y
sen   
De la primera expresión, se tiene que:
2
2 2 2
9 3
9
x
sen x sen x sen       
El doble signo dificulta la parametrización, pero se selecciona el
intervalo de variación del parámetro tal que se representen
todos los puntos de la curva, entonces la ecuación vectorial
queda como:
  3 3cos ; 0 2r sen i j    
 
   
Y las ecuaciones paramétricas son:
3
: 3cos ; 0 2
0
x sen
C y
z

  


  
 
La parametrización más usada se basa en considerar a la
identidad trigonométrica como 2 2
cos 1sen   . El cambio de
símbolo para el parámetro es debido a que geométricamente
son diferentes como se verá más adelante. En este caso la
analogía está dada por:
2 2 2 2
9cos ; 9x y sen  
Y se llega a la ecuación vectorial:
  3cos 3 ; 0 2r i sen j    
 
   
y a las ecuaciones paramétricas:
3cos
: 3 ; 0 2
0
x
C y sen
z

  


  
 
Esta forma de parametrizar es mejor que la anterior ya que en
aquella el ángulo  se mide a partir de la parte positiva del eje
de las ordenadas y en sentido de las manecillas del reloj, como
se observa en la siguiente figura:

53

0
0 :
3
3
2
:
6 3 3
2
x
A
y
x
B
y




  



  
 

Con la última forma de parametrizar, el ángulo  se mide a partir
de la parte positiva del eje de las abscisas y en sentido contrario
al de las manecillas del reloj, como se hace en la trigonometría.
Véase la siguiente figura:
3
0 :
0
3
2
:
3 3 3
2
x
A
y
x
B
y




  



  
 

Si se eligiera un signo negativo en estas dos parametrizaciones,
cambiaría el punto donde inicia el recorrido o el sentido de
medición del ángulo.
Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial y unas ecuaciones
paramétricas para la elipse representada por las ecuaciones
cartesianas siguientes y graficarla:
   
2 2
4 3
1Elipse : 9 4
4
y z
x
  
  



Solución. Esta elipse se localiza en el plano 4x  y tiene semiejes
3 2y en los ejes de las ordenadas y las cotas,
respectivamente.

54

Se utiliza la última parametrización analizada anteriormente y se
obtiene:
 
 
2
22 2
4
cos 4 9cos 4 3cos
9
y
y y  

      
 
 
2
22 2
3
3 4 3 2
4
z
sen z sen z sen  

      
Finalmente, una ecuación vectorial de la curva está dada por:
     4 4 3cos 3 2 ; 0 2r i j sen k    
  
      
Y las ecuaciones paramétricas son:
4
Elipse: 4 3cos ; 0 2
3 2
x
y
z sen
  



   
  
Ejemplo. Determinar una ecuación vectorial, unas ecuaciones
paramétricas y una gráfica aproximada, para la parábola cuyas
ecuaciones cartesianas son:
   
2
4 2 5
Parábola:
6
x y
z
   



55

Solución. Se grafica esta curva tomando en cuenta las dos
ecuaciones cartesianas dadas y se tiene la parábola siguiente
que se encuentra ubicada en el plano 6z  .
En este caso, en lugar de una identidad trigonométrica, resulta
más conveniente utilizar como parámetro a la variable " "x de la
siguiente forma:
     
   
2 2
2 4 4
; 2 5 4 5 5
2 2
x y y y
 
 
 
         
De acuerdo con la ecuación de la parábola, la " "x puede tomar
cualquier valor real, luego una ecuación vectorial y las
correspondientes ecuaciones paramétricas son:
 
 
2
4
5 6 ;
2
r i j k

  
   
     
  
 
2
4
Parábola: 5 ;
2
6
x
y
z






  




56

Ejemplo. Determinar una ecuación vectorial, las
correspondientes ecuaciones paramétricas y una gráfica
aproximada, de la hipérbola dada por las siguientes ecuaciones
paramétricas:
   
2 2
2 2 4
Hipérbola:
3
x z
y
    


Solución. La gráfica de esta hipérbola es la siguiente:
Para parametrizar es conveniente utilizar la siguiente identidad
trigonométrica:
2 2
sec tan 1  
Se procede como en los ejercicios anteriores y se obtiene:
   
   
2 2
2 2 2 2
2 2 4 1
4 4
x z
x z
 
      
 
 
2
22 2
2
sec 2 4sec 2 2sec
4
x
x x  

      
 
 
2
22 2
2
tan 2 4tan 2 2tan
4
z
z z  

      
Por lo tanto, una ecuación vectorial de la hipérbola es:

57

     2 2sec 3 2 2tan ; 0 2r i j k    
  
      
y las correspondientes ecuaciones paramétricas son:
2 2sec
Hipérbola: 3 ; 0 2
2 2tan
x
y
z

 

 

  
  
En este ejercicio, al fijar el intervalo de variación del parámetro
como 0 2   , se garantiza que todos los puntos de la
hipérbola están descritos por las ecuaciones paramétricas
obtenidas, excepto cuando la secante y la tangente no están
definidas en los valores de
3
y
2 2
 
   . Esto significa que
para estos valores no existen puntos de la hipérbola. En sentido
estricto, en estos valores habría huecos al graficar la hipérbola
con las ecuaciones paramétricas obtenidas. Para utilizar estas
ecuaciones paramétricas en esta hipérbola sería conveniente
hacer uso de intervalos que no consideren los valores
3
y
2 2
 
   . Considérense al respecto las siguientes
definiciones:
DEFINICIÓN. Sean las ecuaciones paramétricas de una curva:
 
 
 
:
x f t
C y g t
z h t
 




Se llama intervalo paramétrico y se denota con pI al conjunto de
valores del parámetro t  para los cuales las variables
, ,x y z  existen simultáneamente en las tres ecuaciones
paramétricas.
Esta definición, en el Cálculo, es la siguiente:

58

DEFINICIÓN. Se llama intervalo paramétrico, denotado con pI , a
la intersección de los dominios de las relaciones      , ,f t g t h t ,
esto es,
 ;p f g hI t t D D D t    
Ejemplo. Sea la curva dada por:
  2
1 1
1
225
r u u i j k
uu
  
   

Determinar:
)i El intervalo paramétrico pI
)ii Los valores que pueden tomar las abscisas, las ordenadas y
las cotas.
Solución.
)i Para obtener el intervalo paramétrico se determina el
dominio de cada una de las funciones que son componentes de
la función vectorial que define a la curva. Así, para la primera se
tiene que:
  1 ; 1 0 1 1; 1,xx u u u D u u u           
Para la segunda función se obtiene:
  2
2
1
; 25 0 5 5 0
25
y u u u
u
      

Primera posibilidad:
5 0 5
5 0 5
u u
u u
   
    
Segunda posibilidad:
5 0 5
5 0 5
u u
u u
   
    
Se grafican estas dos posibilidades en una recta de reales y se
ve dónde existen intersecciones, lo que da el resultado de la

59

desigualdad. Si se señala la solución de la primera posibilidad
arriba del eje y la segunda debajo, se llega a:
Luego el dominio es  5 5 ;yD u u u     .
Y para la tercera función componente se tiene que:
 1
2 ;
2 zz D u u u
u
    

Por lo que el intervalo paramétrico es igual a:
  1, 5 2p x y z pI D D D I     
)ii Para calcular los valores que toman las variables , ,x y z se
analiza en cada caso a qué recorrido corresponden los valores
del intervalo paramétrico.
Abscisas. 1x u  .
Se elevan al cuadrado ambos miembros y se tiene:
2
1 1x u x u    
Se trata de una semiparábola con vértice en 1 y 0u x 
como se observa en la siguiente figura:

60

Y se concluye que las abscisas están en el intervalo
 0, 2 1x  .
Para las ordenadas:
2
1
25
y
u


. Ya se vio que el dominio de
esta función está dado por el intervalo  5 5 ;yD u u u    
, pero el intervalo paramétrico es  1, 5 2pI     . Como se trata
de un cociente donde el numerador es constante, cuando el
denominador sea menor, es decir, cuando 5u  , las ordenadas
crecen indefinidamente, esto es, y  . Cuando el
denominador sea mayor, es decir, cuando 1u  , las ordenadas
adquieren su menor valor que es
1
24
y  . Y como 2u  , las
ordenadas no pueden tomar el valor de
1
21
y  . Por lo tanto, las
ordenadas están en el intervalo
1 1
,
24 21
y
   
    
   
.
Para las cotas, esto es, los valores de " "z , se tiene que
1
2
z
u


,
donde 2u  . Luego, si
1
1 1 ; 5
3
u z u z       . Y
además se observa que si 2u z   . Si se despeja la " "u
se obtiene
2 1z
u
z

 donde se ve que 0z  . Si se grafica esta
función
1
2
z
u


, se tiene, auxiliándose del cálculo, que en el
valor de 2u  se presenta una asíntota vertical y que la cota " "z
efectivamente no puede tomar el valor de cero.

61

Por lo tanto, las cotas están en el intervalo 
1
, 1 ,
3
z
 
      
 
.
Ejemplo. Sea la curva dada por las siguientes ecuaciones
paramétricas con parámetro " " :
 
 
 
2 1
: 2cos2 2 ; 0
3
x
F y
z sen
  

 

  





Determinar las ecuaciones cartesianas de esta curva,
eliminando al parámetro " " , identificar de qué curva se trata y
hacer un trazo aproximado de su gráfica.
Solución. La ecuación  1 señala que se trata de una curva
ubicada en el plano 2x  , que es un plano paralelo al plano
coordenado YZ .

62

Además, cuando se presentan funciones trigonométricas, para
eliminar un parámetro se utilizan identidades trigonométricas.
Así, en la ecuación 2 se puede hacer la siguiente sustitución:
 2 2
2 cosy sen  
Si se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación 3 se
obtiene:
2 2
z sen 
De donde
 
2
2 2 2 2 2 2
2 cos 2cos 2 cos
2
y z
y z y z  

      
Y como 2 2
cos 1sen    , entonces
2
2 2
1
2
y z
z

 
Luego se lleva esta ecuación a la forma ordinaria de la ecuación
de las cónicas y se llega a:
 
2
2 2 22 1
1 4 2 2
2 4
y z
z z y z y

        
Se trata de la ecuación de una parábola en el plano 2x  , con
vértice en el punto  2, 2, 0 y eje de simetría el eje de las
ordenadas, pero dado el intervalo de variación del parámetro 
, que es 0,  , en la ecuación  3 se observa que la variable " "z
sólo puede tomar valores positivos y el cero, y las ordenadas
toman valores positivos y negativos en el intervalo 2, 2   .
Luego las ecuaciones paramétricas dadas representan el
segmento de la parábola que se muestra en la figura, recorrido
dos veces entre los valores de " "y , de 2 2 y de 2 2a a  .

63

Las ecuaciones cartesianas de este segmento de parábola son
entonces:
 2 1
2
; 2 2 ; 04
2
z y
y z
x

  
   
 
Si se quisiera representar este segmento de parábola con una
función vectorial, bastaría con restringir el intervalo de valores
del parámetro, de la siguiente forma:
2 2cos2 ; 0
2
f i j sen k

  
  
    
Esto con el sentido directo de recorrido del parámetro, es decir,
en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Considérese el siguiente ejemplo de aplicación que ilustra lo
que aquí se ha tratado.
Ejemplo. Durante un partido de béisbol un jugador conecta la
bola que sigue la trayectoria curva dada por las siguientes
ecuaciones:

64

 
 
 2
14 1
: 17 2
6 27 1.2 3
x t
F y t
z t t
 



   



donde , ,x y z están medidas en metros y " "t en segundos. Si la
cerca del fondo tiene una altura de 8 metros y está a una
distancia del plato de bateo de 90 metros, se desea saber si la
bola alcanzará a librar la cerca y será un jonrón.
Solución. Las dos primeras ecuaciones hablan de una línea recta
en el plano horizontal y la tercera de un movimiento parabólico
de la bola.
Se muestran las gráficas del campo con un determinado sistema
de referencia y la trayectoria de la bola.
Se sustituye el valor de la altura de la cerca, 8z  , en la ecuación
 3 , se resuelve la ecuación obtenida y se llega a:
2 2 27 729 163.2
6 27 1.2 8 6 27 6.8 0
12
t t t t t
 
         
1
2
0.2727 23.79
4.2312
t s
t
t s

  


65

Se considera el tiempo 2 4.23t s que es el correspondiente a
cuando la bola cae. Para este valor, se calculan " " " "x y y y
se obtiene:
   14 4.23 59.22 ; 17 4.23 71.91x x m y y m     
La posición de los ejes coordenados no tiene importancia ya que
de cualquier forma la distancia que recorre la bola es:
   
2 22 2
59.22 71.91 93.16d x y d d m      
Lo que quiere decir que la bola libra la cerca y es jonrón.

Capítulo 6. Álgebra vectorial

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