El documento define el producto interno como una aplicación bilineal que asigna a cada par de vectores de un espacio vectorial un escalar. Describe productos internos usuales como el producto punto en Rn y Pn(x). También cubre vectores ortogonales, cuyo producto interno es cero, y la proyección ortogonal de un vector sobre otro.

1. Producto internoDefinición, propiedades, productos usuales e inusuales y ejemplos.

2. Producto internoDefiniciónEl producto interno, interior o punto, es una aplicación externa bilineal definida sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o número.Sea (V, K, +, •) un espacio vectorial, un producto interno sobre V, es una función que asigna a cada par de vectores u, vϵ V, un escalar (u/v) ϵK.

3. NotaciónSean los vectores u, v:u=(u1, u2, u3,…., un)v=( v1, v2, v3,…., vn)u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn

4. Productos internos usuales e inusualesProducto interno usual en RnSea (Rn, R, +, •) u, v ϵ Rnu=(u1, u2, u3,…., un) v=( v1, v2, v3,…., vn) u/v = u1 v1 + u2 v2 + … + un vn

5. Producto interno usual en Pn(x)Sea (Pn(x), R, +, •) p(x), q(x) ϵ Pn(x)p(x)= a0 + a1x +….+ anxnq(x)= b0 + b1x +….+ bnxnProducto interno inusual en Pn(x)

6. PropiedadesConmutativaAsociativaDistributiva..

7. Producto de matricesPor definición tenemos que el producto de matrices es igual a:Donde Tr es la traza de la matriz, la traza es la suma de los elementos de la diagonal de una matriz.Ejemplos:

8. Obtenemos la transpuesta de B y multiplicamos las matricesSumamos los elementos de la diagonal de la matriz resultante y obtenemos el resultado.Por tanto el resultado es:

9. Vectores ortogonales yproyección ortogonalTeoría y evaluación

10. Vectores ortogonalesDefiniciónSea (V, K, +, •) un espacio vectorial definido con producto interno, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.Sean u, v ϵ V son vectores ortogonales si se cumple que:

11. Cuando se trabaja con vectores en R2 y R3 cuando los vectores son ortogonales se dice que son perpendiculares entre sí, ejemplos:Sean:u= (1, 4, 0) u/v = (1)(-8)+(4)(2)+(0)(3) v=(-8, 2, 3) u/v = -8+8+0u/v = 0u= (3, 3) u/v= (3)(-1)+(3)(1)v= (-1, 1) u/v=-3+3u/v= 0

12. Nota:El vector nulo se lo considera perpendicular para cualquier vector del subespacio al que pertenece.De forma analítica tenemos que:0v/v ϵ V 0V/v = 0

13. 0V= (0, 0, 0) u/v = (0)(-2)+(0)(7)+(0)(1) v=(-2, 7, 1) u/v = 0+0+0u/v = 0Ejemplos:Sean:

14. Proyección ortogonalDefiniciónSean u, v ϵ V entonces existe un vector w es la proyección ortogonal de v sobre u si solamente si se cumple que(v-w)/w=0 v - w vw u

15. Pasos para calcular wTenemos que w ǁ u Tenemos que w┴v-ww=α u (v-w)/w=0Reemplazando tenemos que:(v- α u)/ α u=0 Aplicando las propiedades del producto interno tenemos:α (v/u) - α α(u/u)=0

16. EvaluaciónProyección ortogonalCalcula la proyección del vector u sobre el vector vsiendo:u= (2, 0, -5)v= (5, 1, 4)