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- 1. FLUJO TURBULENTO DE PULPAS MINERAS EN TUBERÍAS CON TRANSPORTE DE SÓLIDOS EN FLUIDOS NO NEWTONIANOS Nelson Moraga, Pablo Pacheco y Juan Véliz Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de La Serena
- 2. CONTENIDO • Descripción del problema • Metodología • Objetivos • Trabajos con pulpas depositantes. • Trabajos con fluidos no Newtonianos. • Conclusiones
- 3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA • Diseño de sistemas de transporte de pulpas mineras. • Conocimiento de la dinámica de fluidos → ∆ܲ, ܥ, ߬௪ y perfil de velocidad. • Alta cantidad de ecuaciones empíricas. • No existe ecuación general.
- 4. METODOLOGÍA • Revisión del estado del arte. – Ecuaciones empíricas empleadas – Soluciones analíticas. – Uso de Métodos Numéricos (ANSYS-FLUENT) • Resolución de problemas industriales – Pulpas depositantes – Pulpas no depositantes (fluidos No Newtonianos) • Comparación de métodos – Precisión
- 5. OBJETIVOS • Predecir la mecánica de fluidos y encontrar las mejores alternativas para el diseño de transporte de pulpas mineras utilizando ecuaciones empíricas, analíticas y el MVF implementado en ANSYS-FLUENT.
- 6. PULPAS DEPOSITANTES Y NO DEPOSITANTES PULPAS DEPOSITANTES PULPAS NO DEPOSITANTES (FLUIDOS NO NEWTONIANOS) Gandhi (2000): ݀ ൏ 35ߤ݉ y Concentraciones altas Warman (2009): ݀ ൏ 50ߤ݉ Gaitán (2010): ݀ ൏ 70ߤ݉ y Cw > 40% Gaitán, I.,”Estimación de parámetros reológicas de pulpas minerales a diferentes concentraciones de sólidos”, Tesis de Magister en Ingeniería Hidráulica, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú, 2010. Gandhi, R. L. Slurry and Sludge Piping. IN: NAYYAR, M. L. (ed.) Piping Handbook: 7th ed; Mc Graw Hill, New York, 2000. Warman, “Slurry Pumping Handbook”, Warman International LTD, pp 57-60, 2000.
- 7. Colebrook-White (1939) Durand 1953 Newitt 1955 Wasp 1977 Newitt 1955 1 ݂ ൌ 4݈݃ ܦ 2ߝ 3,48 െ 4log 1 9,35ܦ 2ߝܴ݁ ݂ ݅ െ ݅௪ ܥ݅௪ ൌ ܭ ܸଶ ܥ ݃ܦ ܵ௦ െ 1 ିଵ.ହ ݅ೕ ൌ ݅ௗೕ +݅௩ೕ ݅ ൌ ݅௪ 1 ܥ௩ሺݏ െ 1ሻ ݅ െ ݅௪ ܥ݅௪ ൌ 66ሺݏ െ 1ሻ ݃ܦ ܸଶ ܥ ܥ ൌ 10 ିଵ.଼∗௪ ఉ∗∗௩. ݄ ൌ ݂ ܸܮଶ 2݃ܦ Regímenes de flujo P1. PULPAS DEPOSITANTES
- 8. -Pérdida de carga -Perfil de velocidad -Perfil de concentración Predecir la mecánica de fluidos: Datos Validación con datos experimentales Propiedades del agua Presentación del problema: Transporte de arena de sílice en agua en tubería horizontal 0.0221݉ 1.1, 1.41, 1.7, 2.0, 2.2 ݏ/݉ 5.2 ݕ Diámetro de tubería 0.0221݉ Largo 1.4݉ Densidad de sólidos 2381 ݇݃/݉ଷ Diámetro medio de partícula 1.101ݔିସ݉ Concentración en volumen 0.2 Velocidades 1.1, 1.41, 1.7, 2.0, 2.2 ݏ/݉ 5.2 ݕ
- 9. Situación física Largo tubería 1,4 m Diámetro de tubería Número de elementos Mallado de la tubería, 460 x 400 elementos Velocidad crítica 0,97 m/s J. Ling, P. V. Skudarnov, C. X. Lin, M. A. Ebadian, Numerical investigations of solid-liquid slurry flows in a fully developed turbulent flow region. MVF implementado en Ansys-Fluent 0,0221 m
- 10. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresíonPa/m Velocidad m/s Experimental Durand 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresiónPa/m Velocidad m/s Experimental Wasp 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresiónPa/m Velocidad m/s Experimental D-W 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresiónPa/m Velocidad m/s Experimental Newitt Homogéneo 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresiónPa/m Velocidad m/s Experimental Ansys-Fluent k-e RNG 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,90 1,40 1,90 2,40 2,90 CaidadepresiónPa/m Velocidad m/s Experimental Ansys fluent k-e Standard Resultados: Pérdida de carga
- 11. Pérdida de carga Pa/m Velocidad m/s Experimental Durand Wasp Darcy- Weisbach Newitt Homogéneo Ansys Fluent k-e RNG Ansys Fluent k-e estandar 1,1 975 810 845 976 877 780 780 1,4 1418 1155 1270 1508 1359 1230 1254 1,7 1879 1554 1780 2094 1892 1722 1763 2,0 2429 2036 2408 2789 2523 2316 2370 2,2 2890 2394 2879 3300 2988 2909 2814 2,5 3546 2984 3662 4137 3751 3701 3539 Error % Velocidad m/s Durand Wasp Darcy- Weisbach Newitt Homogéneo Ansys Fluent k-e RNG Ansys Fluent k-e estandar Menor error 1,1 16,9 13,4 0,1 10,1 20,0 20,0 Darcy-Weisbach 1,4 18,6 10,4 6,3 4,2 13,3 11,6 Newitt Homogéneo 1,7 17,3 5,3 11,4 0,6 8,4 6,2 Newitt Homogéneo 2,0 16,2 0,9 14,8 3,9 4,6 2,4 Wasp 2,2 17,2 0,4 14,2 3,4 0,6 2,6 Wasp 2,5 15,9 3,3 16,7 5,8 4,4 0,2 Ansys Fluent k-e estandar Promedio 17,0 5,6 10,6 4,7 8,6 7,2 Newitt Homogéneo Resultados: Pérdida de carga
- 12. -1,0 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y/D/2 % Concentración Cv 2 m/s 1.1 m/s 2.5 m/s Resultados: Perfil de concentración Sílice ܸത ൌ 1.1 ݉/ݏ ܸത = 2.0 ݉/ݏ ܸത = 2.5 ݉/ݏ
- 13. -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Radior/D[m] Velocidad [m/s] Mezcla 1.1 m/s Agua 1.1 m/s Mezcla 2 m/s Agua 2 m/s Mezcla 2.5 m/s Agua 2.5 m/s Resultados: Perfil de Velocidad Mezcla ܸത ൌ 1.1 ݉/ݏ ܸത = 2.0 ݉/ݏ ܸത = 2.5 ݉/ݏ
- 14. Velocidad crítica 0,97 m/s 0,6 m/s 0,87 m/s 1,1 m/s Velocidades de estudio Vc=0.97 m/s Resultados: Velocidad crítica Modelo Euleriano
- 15. V=0.6 m/s V=0.97 m/s V=1.1 m/s V=0.87 m/s Resultados Velocidad crítica Modelo Euleriano: Concentración de sílice
- 16. -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Radio[m] Concentración 0.4 m/s 0.6 m/s 0.87 m/s 0.97 m/s 1.1 m/s 1.7 m/s Resultados gráficos: Concentración sílice modelo Euleriano
- 17. -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Radio[m] Velocidad [m/s] 0.4 m/s 0.6 m/s 0.87 m/s 0.97 m/s 1.1 m/s 1.7 m/s Resultados gráficos: Velocidad sílice modelo Euleriano
- 18. • Modelos empíricos más precisos para pulpa de sílice en agua fueron Wasp (5.6%) y Newitt Homogéneo (4.7%). • Ansys-Fluent mediante Modelo de Mezcla, modelo k-e estandar de turbulencia: Error máximo 20% a 1.1 m/s, error mínimo 0.19% a 2.5 m/s. • A medida que aumenta la velocidad, más preciso es el modelo de Mezcla. • Modelo Euleriano aplicado mediante el programa Ansys- Fluent predice la velocidad crítica por medio de contornos de velocidad y concentración de sólidos. Conclusiones de Flujo de pulpas depositantes
- 19. P2. PULPAS NO DEPOSITANTES Altas concentraciones Partículas pequeñas Diseño basado en reología ݀ ൏ ߤ݉ ݀ ൏ ߤ݉ Gandhi (2000): ݀ ൏ 35ߤ݉ y Concentraciones altas Warman (2009): ݀ ൏ 50ߤ݉ Gaitán (2010): ݀ ൏ 70ߤ݉ y Concentraciones Cw > 40% -Dominio de fuerzas viscosas -Fluido continuo con propiedades de mezcla
- 20. 1 ݂ = 4 (݊ᇱ).ହ log ܴ݁ெோ݂ ଶିᇲ ଶ⁄ − 0.4 (݊ᇱ)ଵ.ଶ Dodge y Metzner (1959) Irvine (1988) ݂ ൌ ܦሺ݊ሻ/ܴ݁ெோ ଵ (ଷାଵ)⁄ ܦ ݊ = 2 7 4݊ 3݊ 1 ݂ = ܴ݁/)݊(ܦெோ ଵ (ଷାଵ)⁄ ܦ ݊ = 2ାସ 7 4݊ 3݊ 1 ଷమ Darby et al. (1992) ݂ = 1 − ߙ ݂ + ߙ ்݂ ି଼ + ்݂ ି଼ ଵ/଼ ݂ = 16 ܴ݁ௗ ்݂ = 0.0682݊ିଵ/ଶ ܴ݁ௗ ଵ/(ଵ.଼ାଶ.ଷଽ) ்݂ = 1.79 × 10ିସ ݁ିହ.ଶସ ܴ݁ௗ .ସଵସା.ହ ߙ = 1 1 + 4ି∆ ∆ൌ ܴ݁ௗ െ ܴ݁ ܴ݁ ൌ 2100 + 875(1 − ݊) ܴ݁ெோ = ߩܸܦ ߤ ߤ = ݉ᇱ 8ܸ ܦ ᇲିଵ ݊ᇱ = ݊ ݉ᇱ = ݉ 3݊ + 1 4݊ ܴ݁ௗ ൌ ߩܸܦ ܭ 4݊ 1 + 3݊ ܦ 8ܸ ିଵ ܴ݁ = 6464݊ 3݊ + 1 ଶ 2 + ݊ (ଶା) (ଵା)⁄ ܸ௭ = ݊ ݊ + 1 −Δ ܮܭ ܴ 2 ଵ/ ܴ 1 − ݎ ܴ (ାଵ)/ Número de Reynolds modificado Heywood (1991) Perfil de velocidad ݂ே = 16 ܴ݁ௗ Factor de fricción laminar para fluido Ley de potenciaReynolds para transición de laminar a turbulento según Ryan y Johnson (1959) Chhabra, R. P., Richarson, J. F. Non Newtonian Flow and Applied Rheology, 2008 Ley de potencia
- 21. Chhabra, R. P., Richarson, J. F. Non Newtonian Flow and Applied Rheology, 2008 ܾ = −0.193 ݂ே் = 10 ܴ݁ ݂ே = ݂ே + ݂ே் ଵ ⁄ ݉ = 1.7 + 40000/ܴ݁ ݁ܪ = 16800 ݔ 1 − ݔ ଷ ݔ = ߬ ߬௪ ܴ݁ = ݁ܪ 8ݔ 1 − 4 3 ݔ + 1 3 ݔସ Darby (1992) (turbulento) ܽ ൌ െ1.47 1 + 0.146݁ݔ −2.901ݔିହ ݁ܪ Número de Reynolds Crítico ܸ௭ = −Δ ܮ ܴଶ 4ߟ 1 − ݎଶ ܴଶ − ߬ ߟ ܴ 1 − ݎ ܴ ܸ௭ = −Δ ܮ ܴଶ 4ߟ 1 − ܴ ଶ ܴଶ ଶ Para ߬ > ߬ y ܴ > ܴ Para ߬ < ߬ y ܴ < ܴ ݂ே = 16 ܴ݁ 1 + ݁ܪ 6ܴ݁ − ݁ܪସ 3݂ே ଷ ܴ݁ Hedstrom (1952) (Laminar) ܴ݁ = ܸߩܦ ߟ ݁ܪ = ܦଶ ߩ߬ ߟଶ ܤ = ߬ܦ ߟܸ Plástico de Bingham
- 22. ܸ = ܴ݊ ݊ + 1 ߬௪ ܭ ଵ/ 1 − ݔ (ାଵ) ⁄ − ݎ ܴ − ݔ (ାଵ)/ Para ߬ > ߬ y ܴ > ܴ ܸ௭ = ܴ݊ ݊ + 1 ߬௪ ܭ ଵ/ 1 − ݔ (ାଵ) ⁄ Para ߬ < ߬ y ܴ < ܴ ݁ܪ௬ = ܦଶ ߩ߬௬ ܭଶ݃ ߬௬ ܭ ଶ/ିଶ ݁ܪ௬ = 3232 ݊ 2 + ݊ ଶା ଵା ݔ 1 − ݔ ଵା (ଶି)/ 1 1 − ݔ ܴ݁௬ = 6464݊ 1 + 3݊ 2 + ݊ ଶା ଵା 1 − ݔ ଶ 1 + 3݊ + 21(ݔ − )ݔ 1 + 2݊ + ݔଶ 1 + ݊ ଶି (1 − )ݔ Gandhi, R. L. Slurry and Sludge Piping. Piping Handbook: 7ª ed. New York: Mc Graw Hill, 2000 ߰ = (1 + 3݊) (1 − )ݔଵା (1 − )ݔଶ 1 + 3݊ + 21(ݔ − )ݔ 1 + 2݊ + ݔଶ 1 + ݊ ܴ݁ = 8ߩܦ ܸଶି ݊ 2 + 6݊ 1 ܭ ݂ே = 16 ܴ߰݁ Número de Reynolds Crítico Factor de fricción Laminar ்ܴ݁ = 8ߩܦ ܸଶି 8(ܭିଵ) 1 ݂ = 2.69 ݊ − 2.95 + 4.53 ݊ log 1 − ݔ − 4.53 ݊ log(்ܴ݁ ݂ଶି) + 0.68 ݊ Tubería lisa 1 ݂ = 4.07log ܦ 2ߝ + 6.0 − 2.65 ݊ Tubería rugosa Factor de fricción Turnulento Torrance, B.Mck., South African Mechanical Engineer, vol. 13, 1963. Herschel-Bulkley
- 23. PROBLEMAS A ESTUDIAR: • CASO 1. Transporte turbulento de pulpa de óxido de hierro no Newtoniana. • CASO 2. Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano.
- 24. -Pérdida de carga -Perfil de velocidad -Esfuerzo en la pared -Coeficiente de fricción Predecir la mecánica de fluidos: Tubería horizontal ܦ = 0.079 ݉ ܮ = 3.95݉ ܸ = 1.75 ݉/ݏ ߩ = 1170 ݇݃/݉ଷ *Chhabra, R. P., Richarson, J. F. Non Newtonian Flow and Applied Rheology, 2008 * Transporte turbulento de pulpa de óxido de hierro no Newtoniana: Presentación del problema
- 25. pared ܸ = ܸ Eje (axisimétrico) salida ܶ = 0.16ܴ݁ିଵ/଼ ∗ 100 ܦ = ܦ ܲ = 0 entrada SalidaEntrada: Eje ݉݅ݏ݅ݔܣéܿ݅ݎݐ Pared ܶݎܽ݀݊ܽݐݏ݁ ݀݁ݎܽ ݁݀ ݐ݊݁݅݉ܽݐܽݎ Condiciones de borde Velocidades* 0.67-1.14-1.75 ݉/ݏ Modelos reológicos* Pseudoplástico ߬ = ߛܭሶ ܭ = 0.16 ݊ = 0.48 Plástico de Bingham ߬ = ߬ + ߟߛሶ ߬ = 0.78 ߟ = 0.0045 ܮ ܦ Transporte turbulento de pulpa de óxido de hierro no Newtoniana: Solución numérica *Chhabra, R. P., Richarson, J. F. Non Newtonian Flow and Applied Rheology, 2008
- 26. Solución numérica Modelo ݇ − ߳ estandar Tratamiento de pared estandar Convergencia 10ିହ Factores de Subrrelajación Númeno de volúmenes Númeno de nodos Velocidad m/s Bingham Pseudoplástico Bingham Pseudoplástico 0,67 396663 33000 406847 33611 1,14 91716 60000 94457 60831 1,75 101904 60000 137996 60831 Mallado: Ajuste por gradientes de presión Discretización espacial -Malla no estructurada -Refinación por grad(P) CPU Time: 1 hora Transporte turbulento de pulpa de óxido de hierro no Newtoniana: Implementación Ansys-Fluent
- 27. Esfuerzo de corte en la pared [Pa] V [m/s] Experimental Irvine 1988 Dodge y Metzner 1959 Darby 1992 Ansys-Fluent LDP Ansys-Fluent Bingham 0,67 1,98 2,23 1,85 1,71 1,92 2,2732 1,14 4,29 4,63 4,04 3,98 4,13 4,673 1,75 8,11 8,37 7,77 7,58 7,67 9,7263 Error [%] V [m/s] Irvine 1988 Dodge y Metzner 1959 Darby 1992 Ansys-Fluent LDP Ansys-Fluent Bingham 0,67 12,77 6,29 13,42 2,93 14,96 1,14 7,73 5,84 7,30 3,79 8,83 1,75 3,20 4,16 6,53 5,38 19,97 Error Promedio [%] 7,90 5,43 9,08 4,03 14,59 Conclusión: -Modelo mas preciso es el pseudoplástico. Error promedio: 4%. Transporte turbulento de pulpa de óxido de hierro no Newtoniana: Resultados
- 28. ܦ = 0.2 − 0.25݉ ܸ = 1.5 − 2 − 2.5 ݉/ݏ ܵ = 2.81 ܮ = 10݉ Dalbehera, S. “Studies on Hydraulic Transportation of Thickened Copper Tailings Slurries”, The Indian Mining & Engineering Journal, vol. 49. no. 8, pp. 101-107, 2010. Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Presentación del problema
- 29. y = 0,0395x + 4,7328 R² = 0,858 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 EsfuerzodecortePa Gradiente de velocidad 1/s y = 1,2744x0,428 R² = 0,9576 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 EsfuerzodecortePa Gradiente de velocidad 1/s Bingham Pseudoplástico ߬ = 4.7328 0.0395ߛሶ ߬ ൌ 1.2744ߛሶ.ସଶ଼ y = 0,0743x R² = 0,004 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 50 100 150 200 EsfuerzodecortePa Gradiente de velocidad 1/s ߬ = 0.0743ߛሶ Newtoniano Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Modelos reológicos
- 30. Modelación numérica Modelo Pseudoplástico ܸ = 1.5 ݉/ݏ Axisimétrico pared eje presión de salida ܲ = 0 ܶ = 0.16ܴ݁ିଵ/଼ ∗ 100 ܦ = 0.2 Malla Adaptada con gradientes Convergencia 10ିହ Modelo ݇ − ߳ estandar Tratamiento de pared estandar Factores de subrelajación Discretización espacial -Malla no estructurada -Refinación por grad(P) CPU Time: 4 horas Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Implementacíon Ansys-Fluent
- 31. Pérdida de carga [Pa] Diámetro [m] Velocidad [m/s] Darby Bingham Darby Pseudopl. D y M Irvine Newtoniano AF Bingham AF Pseudoplástico 0,2 1,5 3220 3242 3267 3882 1968 4181 3733 2 5327 4931 4993 5662 3237 6673 5209 1,5 7934 6824 6976 7587 4770 9902 6829 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 Pérdiddecarga[Pa] V[m/s] Diámetro 0,2 [m] Darby Pseudoplástico Darby Bingham Dodge y Metzner Irvine Colebrook-White Ansys-F. Bingham Ansys-F. Pseudoplástico Diferencia respecto a ANSYS-FLUENT Pseudoplástico [%] Diámetro [m] Velocidad [m/s] Darby Bingham Darby Pseudopl. D y M Irvine Newtoniano AF Bingham 0,2 1,5 14 13 12 4 47 12 2 2 5 4 9 38 28 2,5 16 0 2 11 30 45 Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Resultados
- 32. Pérdida de carga [Pa] Diámetro [m] Velocidad [m/s] Darby Bingham Darby Pseudopl. D y M Irvine Newtoniano Ansys-F. Bingham Ansys-F. Pseudoplástico 0,25 1,5 2489 2510 2530 2979 1481 3221 2956 2 4099 3816 3873 4344 2441 5107 4076 1,5 6094 5282 5417 5821 3602 7563 5376 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 Pérdiddecarga[Pa] V[m/s] Diámetro 0,25 [m] Darby Bingham Darby Pseudoplástico Dodge y Metzner Irvine Colebrook-White Ansys-F. Bingham Ansys-F. Pseudoplástico Diferencia respecto a AF Pseudoplástico [%] Diámetro [m] Velocidad [m/s] Darby Bingham Darby Pseudopl. D y M Irvine Newtoniano AF Bingham 0,25 1,5 16 15 14 1 50 9 2 1 6 5 7 40 25 2,5 13 2 1 8 33 41 Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Resultados
- 33. Diferencia respecto Ansys-Fluent Pseudoplástico[%] Diámetro [m] Velocidad [m/s] Darby Bingham Darby Pseudopl. Dodge y Metzner Irvine Newtoniano Ansys-F. Bingham 0,2 1,5 14 13 12 4 47 12 2 2 5 4 9 38 28 2,5 16 0 2 11 30 45 0,25 1,5 16 15 14 1 50 9 2 1 6 5 7 40 25 2,5 13 2 1 8 33 41 Promedio [%] 10 7 6 7 40 27 Conclusiones Preliminares Todos los modelos de cálculo presentan una tendencia similar, excepto los cálculos realizados con el modelo de Bingham en Ansys-Fluent y el modelo Newtoniano, los cuales se descartan por estar fuera de tendencia. El modelo que presenta menos desviación respecto a Ansys-Fluent con el modelo Pseudoplástico es el modelo de Dodge y Metzner, con una desviación del 6%. Transporte turbulento de relave de cobre no Newtoniano Resultados
- 34. • Errores promedio de cálculo de ∆ܲ con Ansys-Fluent y ecuaciones empíricas son menores que 10% para todos los casos de estudio. • Ansys-Fluent utilizando el MVF obtiene los menores errores en el cálculo de ∆ܲ para todos los casos de estudio. • Utilizar planillas de cálculo para diseño de sistemas de tuberías para transporte de fluidos no Newtonianos. • Si se utiliza Ansys-Fluent, determinar ∆ܲ/ܮ para calcular la pérdida de carga en un sistema de tuberías. CONCLUSIONES GENERALES
- 35. GRACIAS
- 37. Ec. Continuidad Ec. Momento lineal Ecuaciones Modelo Euleriano
- 39. Ecuaciones empíricas para cálculo de pérdida de carga: Wasp (1977) No Inicio proceso iterativo Sí Fin
- 40. Modelo de Mezcla Ec. Continuidad Ec. Momento Lineal Ec. Fracción en volumen fase secundaria Velocidad relativa de deslizamiento Ecuación algébrica para la velocidad relativa Limitaciones
- 41. Ecuaciones de turbulencia para mezlca Energía cinética turbulenta Taza de disipación de energía cinética turbulenta