Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También explica el método de Newton-Raphson, el cual aproxima la solución iterativamente reemplazando la función por su tangente. Finalmente, describe criterios para detener las iteraciones de los métodos y asegurar la precisión de la aproximación.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima iterativamente la raíz mediante tangentes locales a la función. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento trata sobre los diferentes tipos de errores numéricos que pueden ocurrir al realizar cálculos con números, incluyendo errores en los datos de entrada, errores de truncamiento al discretizar expresiones continuas, y errores de redondeo al representar números reales con precisión finita en una computadora. También explica cómo se propagan los errores a través de operaciones y cómo afectan la precisión de los resultados.
Este documento presenta 20 problemas y ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral, incluyendo el cálculo de límites, derivadas, integrales definidas e indefinidas, series, teoremas como el valor medio, valores extremos y puntos críticos, aproximaciones de Taylor, ecuaciones diferenciales y condiciones de Lipschitz. Los problemas cubren una variedad de funciones y métodos para aplicar los conceptos fundamentales del cálculo.
El documento presenta tres ejercicios resueltos de sucesiones y progresiones numéricas. En el primer ejercicio se hallan los cinco primeros términos de una sucesión. En el segundo ejercicio se calcula la suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética. En el tercer ejercicio se calcula la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
A. Cálculo Integral. Capítulo I. Sucesiones y Series. ComplementoPablo García y Colomé
Este documento describe el desarrollo de las series de potencias para las funciones logarítmica y exponencial. Explica cómo obtener series de potencias para representar diferentes funciones y determinar sus intervalos de convergencia. Presenta ejemplos resolviendo integral y derivadas usando series de potencias.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
Derivadas logaritmicas y trigonometricas o exponencialeskevin lopez
1) El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo sus definiciones, propiedades y fórmulas para derivarlas. 2) Presenta ejemplos para derivar funciones exponenciales y logarítmicas utilizando las fórmulas dadas. 3) Cubre temas como la derivada del logaritmo natural, propiedades de los logaritmos y cómo derivar funciones compuestas exponenciales.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones de forma aproximada. Introduce el método de la bisección, el cual encuentra una raíz mediante la reducción sucesiva del intervalo que contiene la raíz. También describe el método de Newton-Raphson, el cual aproxima iterativamente la raíz mediante tangentes locales a la función. Finalmente, discute criterios para detener las iteraciones de los métodos y protegerse contra resultados incorrectos.
Este documento trata sobre los diferentes tipos de errores numéricos que pueden ocurrir al realizar cálculos con números, incluyendo errores en los datos de entrada, errores de truncamiento al discretizar expresiones continuas, y errores de redondeo al representar números reales con precisión finita en una computadora. También explica cómo se propagan los errores a través de operaciones y cómo afectan la precisión de los resultados.
Este documento presenta 20 problemas y ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral, incluyendo el cálculo de límites, derivadas, integrales definidas e indefinidas, series, teoremas como el valor medio, valores extremos y puntos críticos, aproximaciones de Taylor, ecuaciones diferenciales y condiciones de Lipschitz. Los problemas cubren una variedad de funciones y métodos para aplicar los conceptos fundamentales del cálculo.
El documento presenta tres ejercicios resueltos de sucesiones y progresiones numéricas. En el primer ejercicio se hallan los cinco primeros términos de una sucesión. En el segundo ejercicio se calcula la suma de los 20 primeros términos de una progresión aritmética. En el tercer ejercicio se calcula la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
A. Cálculo Integral. Capítulo I. Sucesiones y Series. ComplementoPablo García y Colomé
Este documento describe el desarrollo de las series de potencias para las funciones logarítmica y exponencial. Explica cómo obtener series de potencias para representar diferentes funciones y determinar sus intervalos de convergencia. Presenta ejemplos resolviendo integral y derivadas usando series de potencias.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad.
Derivadas logaritmicas y trigonometricas o exponencialeskevin lopez
1) El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo sus definiciones, propiedades y fórmulas para derivarlas. 2) Presenta ejemplos para derivar funciones exponenciales y logarítmicas utilizando las fórmulas dadas. 3) Cubre temas como la derivada del logaritmo natural, propiedades de los logaritmos y cómo derivar funciones compuestas exponenciales.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Ejercicios detallados del obj 7 mat i (175 176-177Jonathan Mejías
El documento presenta 5 ejercicios de matemáticas relacionados con sucesiones y límites de sucesiones. El primer ejercicio pide calcular el límite de una sucesión geométrica. El segundo ejercicio pide calcular un límite aplicando la conjugación. El tercer ejercicio pide calcular la suma de los números naturales entre 1 y 11543 usando una progresión aritmética. El cuarto ejercicio pide calcular el número de extraterrestres después de 3 horas sabiendo que se duplican cada media hora. El quinto ejercicio pide
El documento describe varios ejemplos de aplicación de la derivada para resolver problemas relacionados con curvas, tangentes, puntos de inflexión, entre otros. En el primer ejemplo se calculan los ángulos de las tangentes a una curva en diferentes puntos. En el segundo ejemplo se determinan los puntos donde la tangente es paralela a una recta dada. El tercer ejemplo encuentra las ecuaciones de la tangente y normal a una curva en un punto específico.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento describe el método de interpolación por diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir un polinomio de interpolación de grado n que pasa por n+1 puntos de datos no colineales utilizando las diferencias divididas de Newton. Luego, muestra un ejemplo completo de cómo aplicar el método para construir un polinomio cúbico de interpolación y estimar el valor de una función en un punto dado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
El documento presenta 12 problemas resueltos sobre el cálculo de áreas de figuras planas limitadas por curvas. Se explican fórmulas para hallar el área cuando la región está limitada por una función, dos funciones, o curvas paramétricas. Los problemas aplican estas fórmulas para calcular áreas de regiones limitadas por funciones, curvas algebraicas como circunferencias e hipérbolas, y curvas como la cardioide y la astroide.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculos de probabilidad utilizando diferentes distribuciones de probabilidad como Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal y Gamma.
2. Se calculan probabilidades de eventos como sacar una carta o alumno en particular, que sobrevivan cierto número de personas, que salgan más caras que cruces al lanzar una moneda varias veces, entre otros.
3. Los cálculos incluyen determinar la media, varianza, probabilidades absolutas y percentiles para cada distribución y ejemplo presentado.
Ejercicios detallados del obj 4 mat i (175 176-177Jonathan Mejías
Este documento contiene 7 ejercicios de matemáticas sobre sistemas de coordenadas y representación de puntos y conjuntos en un plano. El primer ejercicio encuentra la distancia entre dos puntos. Los ejercicios 2 al 4 representan conjuntos de puntos definidos por desigualdades. Los ejercicios 5 y 6 involucran puntos medios y coordenadas de puntos. El último ejercicio determina un conjunto de pares ordenados dados otros dos conjuntos.
Este documento describe la distribución binomial y variables aleatorias discretas. Explica que una variable aleatoria binomial (X) representa el número de éxitos en n repeticiones independientes de un experimento con probabilidad constante de éxito p. Presenta fórmulas para calcular la probabilidad de diferentes valores de X y resume propiedades como la esperanza y varianza de una variable aleatoria binomial.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
20141 s matsegundaevaluacion11h30version0solucioncoroio
Este documento contiene la segunda evaluación de matemáticas para ciencias, ingenierías y educación comercial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye 10 problemas con sus respectivas soluciones sobre funciones, trigonometría, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, normal y Weibull. En los ejercicios se piden calcular probabilidades, medias, desviaciones estándaras y áreas bajo la curva para diferentes distribuciones.
Este documento presenta la resolución de 10 ejercicios de cálculo de integrales definidas. En el primer ejercicio se calcula la integral π/20 x2senxdx. En el segundo ejercicio se calcula la integral π0 e2xcosxdx. El tercer ejercicio calcula la integral π/20 sen3xcosx dx.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con ecuaciones no lineales utilizando diferentes métodos numéricos como punto fijo, Bairstow y bisección. Inicialmente explica cada método de manera general y luego aplica cada uno a la resolución de varios ejercicios numéricos como aproximar raíces de funciones o polinomios.
1) El documento presenta el método de la bisección para calcular las raíces de una ecuación. 2) El método iterativo divide sucesivamente el intervalo de búsqueda hasta que la función se aproxime a cero dentro de un error especificado. 3) El documento también introduce el método de punto fijo para resolver ecuaciones, el cual reescribe la ecuación en forma de una función fija cuya raíz es un punto fijo de dicha función.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Ejercicios detallados del obj 7 mat i (175 176-177Jonathan Mejías
El documento presenta 5 ejercicios de matemáticas relacionados con sucesiones y límites de sucesiones. El primer ejercicio pide calcular el límite de una sucesión geométrica. El segundo ejercicio pide calcular un límite aplicando la conjugación. El tercer ejercicio pide calcular la suma de los números naturales entre 1 y 11543 usando una progresión aritmética. El cuarto ejercicio pide calcular el número de extraterrestres después de 3 horas sabiendo que se duplican cada media hora. El quinto ejercicio pide
El documento describe varios ejemplos de aplicación de la derivada para resolver problemas relacionados con curvas, tangentes, puntos de inflexión, entre otros. En el primer ejemplo se calculan los ángulos de las tangentes a una curva en diferentes puntos. En el segundo ejemplo se determinan los puntos donde la tangente es paralela a una recta dada. El tercer ejemplo encuentra las ecuaciones de la tangente y normal a una curva en un punto específico.
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
El documento describe cómo integrar funciones racionales mediante la separación en fracciones simples. Primero se divide la función racional en términos que puedan integrarse fácilmente. Luego, cada fracción simple se descompone en términos con denominadores que son factores del polinomio denominador original. Finalmente, cada fracción resultante se integra usando cambios de variable y relaciones entre integrales definidas.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento describe el método de interpolación por diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir un polinomio de interpolación de grado n que pasa por n+1 puntos de datos no colineales utilizando las diferencias divididas de Newton. Luego, muestra un ejemplo completo de cómo aplicar el método para construir un polinomio cúbico de interpolación y estimar el valor de una función en un punto dado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
El documento presenta 12 problemas resueltos sobre el cálculo de áreas de figuras planas limitadas por curvas. Se explican fórmulas para hallar el área cuando la región está limitada por una función, dos funciones, o curvas paramétricas. Los problemas aplican estas fórmulas para calcular áreas de regiones limitadas por funciones, curvas algebraicas como circunferencias e hipérbolas, y curvas como la cardioide y la astroide.
1. El documento presenta varios ejemplos de cálculos de probabilidad utilizando diferentes distribuciones de probabilidad como Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal y Gamma.
2. Se calculan probabilidades de eventos como sacar una carta o alumno en particular, que sobrevivan cierto número de personas, que salgan más caras que cruces al lanzar una moneda varias veces, entre otros.
3. Los cálculos incluyen determinar la media, varianza, probabilidades absolutas y percentiles para cada distribución y ejemplo presentado.
Ejercicios detallados del obj 4 mat i (175 176-177Jonathan Mejías
Este documento contiene 7 ejercicios de matemáticas sobre sistemas de coordenadas y representación de puntos y conjuntos en un plano. El primer ejercicio encuentra la distancia entre dos puntos. Los ejercicios 2 al 4 representan conjuntos de puntos definidos por desigualdades. Los ejercicios 5 y 6 involucran puntos medios y coordenadas de puntos. El último ejercicio determina un conjunto de pares ordenados dados otros dos conjuntos.
Este documento describe la distribución binomial y variables aleatorias discretas. Explica que una variable aleatoria binomial (X) representa el número de éxitos en n repeticiones independientes de un experimento con probabilidad constante de éxito p. Presenta fórmulas para calcular la probabilidad de diferentes valores de X y resume propiedades como la esperanza y varianza de una variable aleatoria binomial.
Este documento trata sobre la integral indefinida y sus aplicaciones. Explica conceptos como la integral indefinida, fórmulas básicas de integración, técnicas de integración como el método de sustitución y aplicaciones de la integral indefinida en problemas reales. Incluye ejemplos de cálculo de integrales indefinidas y ejercicios de aplicación de las fórmulas.
20141 s matsegundaevaluacion11h30version0solucioncoroio
Este documento contiene la segunda evaluación de matemáticas para ciencias, ingenierías y educación comercial de la Escuela Superior Politécnica del Litoral. Incluye 10 problemas con sus respectivas soluciones sobre funciones, trigonometría, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
El documento presenta algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo métodos de sustitución progresiva y regresiva, eliminación de Gauss simple y con filas permutadas, y métodos iterativos como Richardson, Jacobi y Gauss-Seidel. Se piden implementaciones en Matlab de cada método y se incluyen ejemplos numéricos para probarlos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, Poisson, normal y Weibull. En los ejercicios se piden calcular probabilidades, medias, desviaciones estándaras y áreas bajo la curva para diferentes distribuciones.
Este documento presenta la resolución de 10 ejercicios de cálculo de integrales definidas. En el primer ejercicio se calcula la integral π/20 x2senxdx. En el segundo ejercicio se calcula la integral π0 e2xcosxdx. El tercer ejercicio calcula la integral π/20 sen3xcosx dx.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con ecuaciones no lineales utilizando diferentes métodos numéricos como punto fijo, Bairstow y bisección. Inicialmente explica cada método de manera general y luego aplica cada uno a la resolución de varios ejercicios numéricos como aproximar raíces de funciones o polinomios.
1) El documento presenta el método de la bisección para calcular las raíces de una ecuación. 2) El método iterativo divide sucesivamente el intervalo de búsqueda hasta que la función se aproxime a cero dentro de un error especificado. 3) El documento también introduce el método de punto fijo para resolver ecuaciones, el cual reescribe la ecuación en forma de una función fija cuya raíz es un punto fijo de dicha función.
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
Este documento describe varios métodos iterativos para encontrar las raíces de una ecuación f(x)=0. Explica el método de la bisección, el método de Regula-Falsi, el método del punto fijo, el método de Newton y el método de la secante. Para cada método, detalla los pasos del algoritmo, la convergencia esperada y sus ventajas e inconvenientes respecto a los demás métodos.
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver ecuaciones en una variable. Brevemente describe los métodos de la bisección, regla falsa, punto fijo, Newton-Raphson, secante y Muller, incluyendo sus algoritmos, diagramas de flujo y consideraciones sobre convergencia.
Este documento describe varios métodos iterativos para resolver ecuaciones de la forma f(x)=0. Explica el método de la bisección, el método de Regula Falsi, el método del punto fijo, el método de Newton y el método de la secante. Para cada método, describe los pasos del algoritmo e indica si converge lineal o cuadráticamente. También compara el método de Newton con el método de la secante, señalando que Newton converge más rápido pero requiere evaluar la derivada.
Este documento presenta una guía sobre métodos numéricos para ingeniería. Contiene 16 preguntas de selección múltiple sobre temas como integración numérica, ecuaciones no lineales y derivadas parciales. También incluye 6 problemas resueltos que ilustran el uso de métodos como Adams-Bashforth, Simpson compuesto, trapecio compuesto y Newton-Raphson.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para la diferenciación e integración. Explica la diferenciación numérica mediante la definición de derivada y presenta las fórmulas de diferencias progresivas, regresivas y centrales. También describe varias reglas para la integración numérica como la regla del rectángulo, del punto medio, del trapecio y de Simpson, así como su aplicación compuesta en varios intervalos.
Este documento presenta tres métodos numéricos para encontrar las raíces de una función: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en el que ocurre un cambio de signo en la función para aproximar una raíz. El método de la secante utiliza la pendiente de la línea que une dos puntos para encontrar una aproximación. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones restando la función dividida por su derivada de la apro
Este documento describe una serie de problemas de matemáticas y sus soluciones. Incluye 13 problemas con sus respectivas soluciones detalladas. Los problemas involucran ecuaciones trigonométricas, geometría y álgebra. El documento está dividido en dos partes, la primera presenta los problemas y la segunda contiene las soluciones completas de cada uno.
Este documento describe métodos de interpolación y aproximación polinomial. Explica que un polinomio puede usarse para aproximar una función continua dentro de un intervalo con un error arbitrariamente pequeño, según el teorema de Weierstrass. Luego detalla los métodos de interpolación lineal, cuadrática y cúbica, resolviendo ejemplos numéricos para estimar valores de la función logaritmo natural.
El documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición, y el método de punto fijo. Explica los algoritmos de cada método y provee ejemplos numéricos y de código para ilustrar cómo implementarlos para encontrar raíces de funciones.
Este documento describe los métodos de Newton-Raphson y de la secante para encontrar las raíces de una función. Explica cómo se puede justificar el método de Newton-Raphson mediante un desarrollo de Taylor y proporciona la fórmula iterativa. También incluye la implementación en Matlab/Octave y ejercicios para aplicar los métodos a diferentes ecuaciones.
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
Este examen de fundamentos de matemática contiene 10 preguntas con soluciones. Las preguntas cubren temas como lógica proposicional, conjuntos, ecuaciones y desigualdades.
El documento presenta cuatro ejercicios de álgebra resueltos. El primer ejercicio resuelve una inecuación con valor absoluto mediante manipulaciones algebraicas. El segundo ejercicio confirma o niega una afirmación sobre valores absolutos. El tercer ejercicio determina la ecuación de una parábola dadas sus condiciones. El cuarto ejercicio encuentra los puntos de corte y coeficientes de una curva cuadrática.
Este documento presenta un proyecto de fin de carrera realizado por Ana Cervantes Ayora sobre el análisis de barras con un extremo empotrado. El proyecto incluye una introducción sobre la evolución histórica del conocimiento de la mecánica y la resistencia de materiales. Luego presenta casos prácticos analizando diferentes configuraciones de barras sometidas a flexión, incluyendo variaciones en la sección y los materiales. Finalmente analiza las vibraciones transversales de una barra y presenta conclusiones sobre el estudio realizado.
Este documento describe el diseño y montaje de un laboratorio de hidráulica de tuberías llamado "Banco de pruebas tubo Venturi" en la Corporación Universitaria Minuto de Dios. El objetivo era construir un banco de pruebas para medir el caudal de fluidos usando un tubo Venturi, el cual crea una diferencia de presión relacionada con el caudal. El documento explica los conceptos de tubos Venturi, diseña la estructura del laboratorio usando software, y describe el procedimiento experimental para medir el caudal usando un tubo
El documento presenta una introducción al concepto de esfuerzo en materiales elásticos, homogéneos y continuos. Explica que el esfuerzo es la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área y distingue entre esfuerzo normal y de corte. Luego, propone cinco problemas de aplicación relacionados con el cálculo de esfuerzos normales y cortantes en diversas estructuras mecánicas sometidas a cargas.
El documento describe el estado de esfuerzos planos, incluyendo esfuerzos normales y cortantes en planos principales y oblicuos. Introduce el círculo de Mohr como una representación gráfica para visualizar los esfuerzos principales y máximos cortantes en un punto dado.
Este documento presenta conceptos fundamentales de estática de fluidos, incluyendo presión, fuerzas sobre superficies sumergidas, flotabilidad y equilibrio de fluidos en movimiento y en reposo. Explica principios como la presión hidrostática, el principio de Pascal, fuerzas sobre superficies planas y curvas, y condiciones de equilibrio y estabilidad para objetos sumergidos. También analiza casos específicos como fluidos en recipientes con aceleración o rotación, y cómo se distribuyen las presiones en esas situaciones.
Este documento presenta la Norma E.060 Concreto Armado del Reglamento Nacional de Construcciones del Perú. Define términos relacionados al concreto, agregados, aditivos, cargas y elementos estructurales. Establece requisitos generales para el proyecto, ejecución e inspección de obras de concreto armado, incluyendo responsabilidades del personal profesional a cargo.
Este documento presenta el algoritmo de bisección para encontrar aproximaciones numéricas a las raíces de una ecuación. El método divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz a la mitad, descartando la mitad que no contiene la raíz basado en el signo de la función en los puntos extremos. El proceso continúa hasta que se encuentra una raíz o el intervalo es menor a una tolerancia dada. También discute métodos para estimar el error de una aproximación y resolver gráficamente ecuaciones.
El documento habla sobre los esfuerzos internos en los cuerpos sometidos a cargas. Define el esfuerzo como la intensidad de fuerza por unidad de área y distingue entre esfuerzo normal y cortante. Explica el esfuerzo normal como la fuerza axial dividida entre el área, usando un ejemplo de una viga. Luego explica el esfuerzo cortante usando un ejemplo de un tornillo sometido a fuerzas opuestas, dividiendo la fuerza cortante entre el área.
1) El documento describe los conceptos de tensión, tensiones normales y cortantes, y el estado de tensiones en un punto. 2) Explica que el estado de tensiones en un punto se puede describir mediante 6 componentes principales (3 tensiones normales y 3 tensiones cortantes) y presenta una ecuación matricial para calcular la tensión sobre cualquier superficie a través de ese punto. 3) También cubre el caso particular de tensiones planas.
Este documento trata sobre tracción-compresión en barras prismáticas. Explica que en estas barras sólo existen tensiones normales σx que son constantes. También describe la hipótesis de Bernoulli y cómo se distribuyen las deformaciones. Por último, explica cómo resolver casos hiperestáticos mediante ecuaciones adicionales de deformación.
Este documento resume la historia y proceso de normalización técnica de materiales de construcción en Perú. Explica que la normalización comenzó en 1962 con la creación del Instituto Nacional de Normas Técnicas y Certificación para establecer normas industriales. Desde entonces, varias organizaciones han gestionado la normalización en Perú. Actualmente, la Comisión de Normalización del INDECOPI administra el Sistema Peruano de Normalización, que incluye comités técnicos que desarrollan proyectos de normas técn
Este documento descreve métodos para determinar o conteúdo de umidade no solo, incluindo o método tradicional de secagem em forno e outros métodos como o da alcool metílico e Speedy. O método de secagem em forno envolve pesar a amostra antes e depois de secá-la a 110°C por 24 horas para calcular a porcentagem de umidade.
La norma técnica peruana NTP 400.034 establece los requisitos para andamios utilizados en la construcción. Revisa los materiales permitidos como madera, acero y caña guayaquil. Detalla los requisitos mínimos para elementos como parantes, plataformas y empalmes. El objetivo es garantizar la seguridad de las personas y materiales que utilizan los andamios.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de la resistencia de materiales. Explica que la resistencia de materiales estudia los sólidos deformables y cómo calcular las tensiones internas y deformaciones para evitar la ruptura o deformación excesiva de una barra que se usa para levantar un peso. También describe tres principios generales que se aplicarán en la resistencia de materiales: el principio de los pequeños desplazamientos, el principio de la superposición de efectos y el principio de Saint Venant.
El documento trata sobre los principios básicos de resistencia de materiales. Explica conceptos como equilibrio estático, principio de corte, tensión unitaria y sus componentes. También introduce las hipótesis de resistencia de materiales como elasticidad perfecta, homogeneidad e isotropía. Por último, analiza diferentes tipos de solicitudes como tracción, compresión y flexión pura.
Este documento describe los efectos de la esbeltez en las columnas. Explica que las columnas esbeltas tienen una relación de esbeltez (longitud entre apoyos dividida por el radio de giro) mayor que las columnas cortas. Las columnas esbeltas están sujetas a momentos de segundo orden que reducen su resistencia. También describe los diferentes modos de falla de las columnas (falla del material y falla por pandeo) y métodos para considerar los efectos de la esbeltez en el diseño.
Este documento presenta los resultados de una evaluación técnica del banco de pruebas de medidores de agua de la empresa EPS Moquegua S.A. La evaluación analizó los componentes eléctricos, mecánicos e hidráulicos del banco de pruebas e identificó áreas que requieren mejoras para cumplir con los objetivos de certificación y normas metrológicas. Se encontró que varios componentes como los tanques de almacenamiento, el sistema de bombeo y las válvulas necesitan reparaciones o sustituc
Este documento describe los procedimientos para determinar la resistencia de elementos cortos de concreto reforzado sujetos a carga axial simple. Explica los modos de falla y las curvas típicas de carga-deformación para diferentes tipos de elementos (concreto simple, con refuerzo longitudinal y con refuerzo helicoidal). También presenta fórmulas para calcular la resistencia de cada tipo de elemento en función de las propiedades del material y la geometría. Finalmente, discute cómo lograr que la curva de elementos con refuerzo helicoidal alcance un segundo máximo
El documento introduce los conceptos básicos de las estructuras y la ingeniería estructural. Explica que una estructura es un conjunto de elementos que mantienen su forma bajo cargas externas y que la ingeniería estructural incluye el análisis, diseño y fabricación de sistemas estructurales. También describe brevemente la historia de la ingeniería estructural desde los griegos y romanos hasta el Renacimiento, cuando se empezó a aplicar un enfoque más científico y técnico.
Este documento describe el comportamiento y diseño de columnas de concreto reforzado. Explica que las columnas transmiten cargas de compresión desde las vigas hasta la cimentación. Describe los diagramas de interacción carga-momento para columnas y cómo la presencia de espirales o estribos mejora la resistencia a compresión. También cubre conceptos como la falla balanceada de una columna y los factores que determinan si la falla será controlada por tensión o compresión.
Metodología - Proyecto de ingeniería "Dispensador automático"cristiaansabi19
Esta presentación contiene la metodología del proyecto de la materia "Introducción a la ingeniería". Dicho proyecto es sobre un dispensador de medicamentos automáticos.
1. Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos
Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Abril 2009, versión 1.5
Contenido
1. Método de la bisección.
2. Método de Newton-Raphson.
3. Orden de convergencia: convergencia cuadrática.
4. Método de punto fijo.
1 Método de la bisección
1.1 Teorema de Bolzano
Teorema 1.1 (Bolzano)
f(x) continua en [a, b],
f(a) · f(b) < 0.
¾
=⇒ Existe un α ∈ (a, b) tal que f(α) = 0.
Ejemplo 1.1 Demuestra que la ecuación
cos x = x
tiene solución única en (0, π/2).
1
2. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2
Ponemos la ecuación en la forma
cos(x) − x = 0.
La función
f(x) = cos(x) − x
es continua en todo R, en particular, es continua en [0, π/2]. En los extremos
del intervalo, toma valores
f(0) = 1, f(π/2) = −π/2,
que son de signo opuesto, por lo tanto, existe un α ∈ (0, π/2) tal que
f(α) = cos(α) − α = 0.
Veamos la unicidad. Calculamos la derivada
f0
(x) = − sin(x) − 1.
Como f0(x) < 0 en todo el intervalo (0, π/2), resulta que f(x) es decreciente
y sólo puede tomar el valor 0 una vez, por lo tanto, la solución es única. ¤
1.2 Descripción del método
• Objetivo Aproximar la solución de f(x) = 0.
• Inicio f(x) que cumple las condiciones del teorema de Bolzano en
[a, b].
• Método
1. Se calcula el punto medio del intervalo
c =
a + b
2
.
2. Calculamos f(c).
— Si f(c) = 0, la solución es α = c.
— si f(c) 6= 0, comparamos con f(a) y f(b). El nuevo intervalo tiene
un extremo en c, el otro extremo se elige entre a y b de forma que
f(x) tome signos distintos en los extremos.
Ejemplo 1.2 Primeras iteraciones del método de la bisección para
cos(x) − x = 0
en el intervalo [0, π/2].
3. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 3
1. En el ejemplo anterior, hemos visto que f(x) = cos(x) − x cumple las
condiciones del Teorema de Bolzano.
2. Cálculo de las aproximaciones.
• Fase 1. El cuadro inicial es
Fase 1
a1 = 0 f(a1) = 1 ⊕
c1 = f(c1) =
b1 = 1. 57080 f(b1) = −1. 57080 ª
calculamos
c1 =
a1 + b1
2
= 0.78540, f(c1) = f(0.78540) = −7. 8295 × 10−2
,
y completamos la tabla
Fase 1
a1 = 0 f(a1) = 1 ⊕ a2 = 0
c1 = 0.78540 f(c1) = −7. 8295 × 10−2 ª b2 = 0.78540
b1 = 1. 57080 f(b1) = −1. 57080 ª
• Fase 2. La tabla inicial para la fase 2 es
Fase 2
a2 = 0 f(a2) = 1 ⊕
c2 = f(c2) =
b2 = 0.78540 f(b2) = −7. 8295 × 10−2 ª
calculamos
c2 =
a2 + b2
2
= 0.3927, f(c2) = f(0.3927) = 0. 53118.
Fase 2
a2 = 0 f(a2) = 1 ⊕
c2 = 0.39270 f(c2) = 0. 53118 ⊕ a3 = 0.39270
b2 = 0.78540 f(b2) = −7. 8295 × 10−2 ª b3 = 0.78540
• Fase 3.
Fase 3
a3 = 0.39270 f(a3) = 0. 53118 ⊕
c3 = 0. 58905 f(c3) = 0. 24242 ⊕ a4 = 0. 58905
b3 = 0.78540 f(b3) = −7. 8295 × 10−2 ª b4 = 0.78540
4. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 4
• Fase 4.
Fase 4
a4 = 0. 58905 f(a4) = 0. 24242 ⊕
c4 = 0. 68723 f(c4) = 8. 5776 × 10−2 ⊕ a5 = 0. 68723
b4 = 0. 78540 f(b4) = −7. 8295 × 10−2 ª b5 = 0. 78540
• Fase 5
Fase 5
a5 = 0. 68723 f(a5) = 8. 5776 × 10−2 ⊕
c5 = 0. 73632 f(c5) = 4. 6249 × 10−3 ⊕ a6 = 0. 73632
b5 = 0. 78540 f(b5) = −7. 8295 × 10−2 ª b6 = 0. 78540
En las siguientes fases, obtenemos
c6 = 0.76085,
c7 = 0.74858,
c8 = 0.74247,
c9 = 0.73938,
c10 = 0.73784.
El valor exacto de la solución con 5 decimales es α = 0.73909, por lo
tanto, en la fase 10 el error es
|e10| = |α − c10| = 0.00 125,
tenemos, por lo tanto, 2 decimales exactos. ¤
1.3 Cota superior de error
Proposición 1.1 En la fase n, el error del método de la bisección cumple
|en| = |α − cn| ≤
b1 − a1
2n
.
Demostración. En la fase n se cumple
|en| = |α − cn| ≤
bn − an
2
.
5. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 5
Además, la longitud del intervalo se reduce a la mitad en cada fase
bn − an =
bn−1 − an−1
2
.
Por lo tanto, tenemos
|e1| ≤
b1 − a1
2
,
|e2| ≤
b2 − a2
2
=
b1 − a1
4
,
|e3| ≤
b3 − a3
2
=
b2 − a2
4
=
b1 − a1
8
.
De forma análoga, resulta
|e4| ≤
b1 − a1
16
=
b1 − a1
24
, |e5| ≤
b1 − a1
32
=
b1 − a1
25
,
y en general
|en| = |α − cn| ≤
b1 − a1
2n
. ¤
Ejemplo 1.3 Aplicamos el método de la bisección para aproximar la solu-
ción de f(x) = 0 en el intervalo [0, π/2].
(a) Calcula una cota de error para la fase 10.
(b) Calcula el número de pasos necesarios para aproximar la solución con 4
decimales exactos.
(a) Tenemos
|e10| ≤
π/2 − 0
210
= 0.1 534 × 10−2
.
Podemos asegurar dos decimales exactos. En el Ejemplo 1.2, después de 10
pasos, hemos obtenido un error
|e10| = |α − c10| = 0.00 125.
(b) Para asegurar 4 decimales exactos, exigimos
|en| = |α − cn| ≤
¡π
2
¢
2n
≤ 0.5 × 10−4
,
de donde resulta
2n
≥
¡π
2
¢
0.5 × 10−4
.
Tomando logaritmos
n ln 2 ≥ ln (10000π) ,
n ≥
ln (10000π)
ln 2
= 14. 93920.
Por lo tanto, necesitamos 15 pasos. ¤
6. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 6
2 Método de Newton-Raphson
2.1 Planteamiento y descripción del método
Objetivo Aproximar la solución de f(x) = 0.
• f(x) derivable.
• x0 aproximación inicial.
• Método ⎧
⎨
⎩
x0 = aproximación inicial,
xj+1 = xj −
f(xj)
f0(xj)
.
Ejemplo 2.1 Aproximar la solución de
cos(x) − x = 0
con 6 decimales.
Hemos visto que la ecuación tiene solución en [0, π/2], podemos tomar como
aproximación inicial x0 = π/4.
x0 = π/4 = 0.78539 816.
El método es, en este caso,
f(x) = cos(x) − x, f0
(x) = − sin (x) − 1,
⎧
⎨
⎩
x0 = 0.78539 816,
xj+1 = xj +
cos (xj) − xj
sin (xj) + 1
.
El valor de las iteraciones es
x1 = x0 +
cos (x0) − x0
sin (x0) + 1
= 0. 78539 816 − 0.04 58620 3 = 0. 73953 613,
x2 = x1 +
cos (x1) − x1
sin (x1) + 1
= 0. 73908 518,
7. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 7
x3 = x2 +
cos (x2) − x2
sin (x2) + 1
= 0. 73908 513,
x4 = 0. 73908 513.
El método ha convergido al valor
ᾱ = 0. 73908 513,
el valor exacto con 10 decimales es
α = 0.73908 51332. ¤
2.2 Deducción del método
El método de Newton-Raphson consiste en sustituir la función por la tan-
gente en x = xj, con mayor detalle, a partir de la aproximación xj:
1. Calculamos la tangente a y = f(x) en x = xj.
2. Tomamos xj+1 como el corte de la tangente con el eje OX.
Tangente en x = xj
y − f(xj) = f0
(xj) (x − xj) .
Para calcular el corte con OX, exigimos y = 0
−f(xj) = f0
(xj) (x − xj) ,
resolvemos en x y tomamos el resultado como xj+1
Solución de la ecuación x = xj −
f(xj)
f0(xj)
=⇒ xj+1 = xj −
f(xj)
f0(xj)
.
2.3 Criterio de parada usando errores estimados
En en caso del método de Newton-Raphson no existe una forma sencilla de
acotar el error
|ej| = |α − xj| .
Para detener las iteraciones, suele usarse los errores estimados
• Error absoluto estimado
|ēj| = |xj − xj−1| .
• Error relativo estimado
|r̄j| =
¯
¯
¯
¯
xj − xj−1
xj
¯
¯
¯
¯ .
8. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 8
Ejemplo 2.2 Aproxima la solución de
ex
=
1
x
con 6 decimales exactos.
Representamos las curvas
y = ex
, y =
1
x
x
2
1
0
-1
-2
3
2
1
0
-1
-2
-3
está claro que hay una solución. Tomamos como valor inicial x0 = 0.5.
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0, con
f(x) = ex
−
1
x
.
Derivada
f0
(x) = ex
+
1
x2
.
Método ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x0 = 0.5,
xj+1 = xj −
exj − 1
xj
exj + 1
(xj)2
.
El resultado de las iteraciones y los errores estimados es
x0 = 0.5,
x1 = 0.5 −
e0.5 − 1
0.5
e0.5 + 1
(0.5)2
= 0. 56218 730, |ē1| = |x1 − x0| = 0.0 62187 3,
x2 = 0. 56711 982, |ē2| = |x2 − x1| = 0.00 49325 2,
x3 = 0. 56714 329, |ē3| = |x3 − x2| = 0.0000 2347,
x4 = 0. 56714 329, |ē4| = 0.
El resultado es
α = 0. 56714 3.
El valor de la raíz con 10 decimales es
α = 0. 56714 32904. 2
9. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 9
2.4 Protección en el uso del error estimado
La parada del método de Newton-Raphson usando el error estimado puede
producir un resultado incorrecto. Esto sucede cuando dos iteraciones toman
valores muy próximos a pesar de encontrarse aún lejos de la raíz
Para protegernos contra paradas anómalas, podemos usar el siguiente pro-
cedimiento. Sea ² el máximo error tolerable, por ejemplo, si queremos 4
decimales exactos es ² = 0.5 × 10−4.
1. Detenemos las iteraciones cuando
|ēj| = |xj − xj−1| ≤ ².
2. Tomamos los valores a = xj − ², b = xj + ².
3. Calculamos f(a) y f(b), si se produce un cambio de signo, podemos
asegurar que la raíz se encuentra en el intervalo (a, b). Como xj es el
centro del intervalo, se cumple
|ej| = |α − xj| ≤ ²
y, por lo tanto, podemos asegurar la validez de la aproximación.
Observemos que si f(a) y f(b) tienen el mismo signo, el método no es apli-
cable; no obstante, en la mayoría de los casos prácticos, el criterio funciona
bien.
Ejemplo 2.3 Calcular
√
24 con 6 decimales exactos.
10. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 10
Tomamos
x =
√
24
que nos lleva a la ecuación
x2
− 24 = 0.
Es
f(x) = x2
− 24, f0
(x) = 2x.
Como valor inicial, tomamos x0 = 5, el error máximo admisible es
² = 0.5 × 10−6
.
Fórmula de recurrencia
⎧
⎨
⎩
x0 = 5,
xj+1 = xj −
x2
j − 24
2xj
.
Iteraciones,
x0 = 5,
x1 = 5 − 25−24
10 = 4.9, |ē1| = |x1 − x0| = 0.1,
x2 = 4. 89897 9592, |ē2| = |x2 − x1| = 0.00 10204 08,
x3 = 4. 89897 9486, |ē3| = |x3 − x2| = 0.000000 106.
Valor de la aproximación
x3 = 4. 89897 9,
calculamos
a = x3 − ² = 4. 89897 85, b = x3 + ² = 4. 89897 95.
f(x3 − ²) = −0.00000 96565, f(x3 + ²) = 0.000000 1414.
Vemos que se produce cambio de signo en los extremos del intervalo
[x3 − ², x3 + ²] ,
por lo tanto α ∈ (x3 − ², x3 + ²) , así pues
|e3| = |α − x3| ≤ ². ¤
3 Orden de convergencia
3.1 Definiciones
Sea (xj) una sucesión de aproximaciones de α
x0, x1, x2, . . . , xj, . . . −→ α
y (ej) la sucesión de errores
|ej| = |α − xj| .
11. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 11
Definición 3.1 (Orden de convergencia) Supongamos que la sucesión
(xj) converge al valor α. Decimos que la sucesión converge a α con or-
den de convergencia r > 0, si existe una constante A > 0 tal que
lim
j→∞
|ej+1|
| ej|r = A.
La constante A se llama constante asintótica de error.
Si r = 1, la convergencia se llama lineal y, para j suficiente grande, es
|ej+1| ' A |ej| .
Si r = 2, la convergencia se llama cuadrática y, para j suficiente grande, se
cumple
|ej+1| ' A |ej|2
.
Observamos que si una sucesión tiene convergencia cuadrática, a partir de
un cierto momento, el número de decimales exactos se duplica a cada paso.
3.2 Orden de convergencia del Método de Newton-Raphson
Definition 1 (Cero simple) La función f(x) tiene una raíz (cero) simple
en x = α si se cumple
f(α) = 0, f0
(α) 6= 0.
Proposición 3.1 (Convergencia en ceros simples) Supongamos que el
método de Newton-Raphson genera una sucesión (xj) que converge a un cero
α de la función f(x). Si α es un cero simple, entonces la convergencia es
cuadrática y, para j suficiente grande, se cumple
|ej+1| '
|f00(α)|
2 |f0(α)|
|ej|2
. (1)
Ejemplo 3.1 Convergencia cuadrática.
Consideremos la ecuación
x2
− 30 = 0,
cuya solución con 12 decimales es
α = 5. 47722 55750 52.
La iteración de Newton-Raphson, con valor inicial x0 = 5, es
⎧
⎨
⎩
x0 = 5,
xj+1 = xj −
x2
j − 30
2xj
.
12. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 12
Si tenemos en cuenta la fórmula (1), el valor de la constante asintótica de
error es
A =
|f00(α)|
2 |f0(α)|
=
¯
¯
¯
¯
1
2α
¯
¯
¯
¯
Podemos estimar el valor de A, tomando α ' 5, entonces
A '
1
10
= 0.1
y, por lo tanto,
|ej+1| ' 0.1 |ej|2
.
Si en un paso tenemos t decimales exactos, cabe esperar que en el siguiente
tengamos aproximadamente 2t. Resultan las siguientes aproximaciones y
errores
j xj |ej| = |α − xj|
|ej+1|
|ej|2
0 5.0 0. 47722 55750 52 9. 99999 99998 37 × 10−2
1 5. 5 0.0 22774 42494 8 9. 09090 90784 28 × 10−2
2 5. 47727 27272 73 0.0000 47152 221 9. 13044 04830 45 × 10−2
3 5. 47722 55752 55 2. 03 × 10−10
4 5. 47722 55750 52 0
El valor de la constante asintótica de error es
A =
|f00(α)|
2 |f0(α)|
sustituyendo α = 5. 47722 55750 52, resulta
A = 0.09 12870 92917 5. ¤
4 Método de punto fijo
4.1 Punto fijo
Definición 4.1 (Punto fijo) Decimos que α es un punto fijo de la función
g(x) si se cumple g(α) = α.
Ecuación en
⎧
⎨
⎩
forma normal f(x) = 0.
forma de punto fijo x = g(x).
Ejemplo 4.1 Escribe la ecuación cos(x) − x = 0 en forma de punto fijo.
13. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 13
La ecuación cos(x) − x = 0 está en forma normal. Existen infinitas expre-
siones de punto fijo equivalentes, en primer lugar, podemos tomar
x = cos(x). (2)
Sumando x a ambos lados de la igualdad y despejando, resulta una nueva
formulación de punto fijo
x =
x + cos(x)
2
.
Sumando 2x a los dos miembros de (2), se obtiene
x =
2x + cos(x)
3
.
Multiplicado por x los dos miembros de (2) por x y despejando, resulta
x =
p
x cos(x). ¤
4.2 Iteración de punto fijo
• Objetivo Aproximar la solución de x = g(x).
• Método ½
x0 = valor inicial,
xj+1 = g(xj).
Proposición 4.1 Supongamos que g(x) es continua, si la sucesión (xj) de-
finida por ½
x0 = valor inicial,
xj+1 = g(xj),
converge a un valor α, entonces α es un punto fijo de g(x).
Demostración. Se cumple
lim
j→∞
xj = α,
como g(x) es continua, resulta
g(α) = g
µ
lim
j→∞
xj
¶
= lim
j→∞
g(xj) = lim
j→∞
xj+1 = α. ¤
Ejemplo 4.2 (a) Aproxima la solución de
cos(x) − x = 0
con 5 decimales, mediante la iteración de punto fijo para la forma
x =
x + cos(x)
2
14. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 14
a partir del valor inicial x0 = 1.
(b) Si escribimos la ecuación en la forma
x =
2x + cos(x)
3
,
¿cuántas iteraciones son necesarias para obtener 5 decimales?
(a) En el primer caso, la fórmula de recurrencia es
⎧
⎨
⎩
x0 = 1,
xj+1 =
xj + cos(xj)
2
.
Resulta
j xj
0 1.0
1 0. 77015
2 0. 74398
3 0. 73988
4 0. 73921
5 0. 73911
6 0. 73909
7 0. 73909
(b) En el caso de la forma
x =
2x + cos(x)
3
,
la fórmula de recurrencia es
⎧
⎨
⎩
x0 = 1,
xj+1 =
2xj + cos(xj)
3
,
y obtenemos
j xj
0 1.0
1 0. 84677
2 0. 78531
3 0. 75926
4 0. 74796
5 0. 74300
6 0. 74081
7 0. 73985
j xj
8 0. 73942
9 0. 73923
10 0. 73915
11 0. 73911
12 0. 73910
13 0. 73909
14 0. 73909
Vemos que en el segundo caso la convergencia es más lenta. ¤
15. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 15
4.3 Convergencia de la iteración de punto fijo
Teorema 4.1 Supongamos que se cumplen las siguientes hipótesis:
1. g(x) es una función de clase C1[a, b].
2. g(x) ∈ [a, b] para todo x ∈ [a, b].
3. max
x∈[a,b]
|g0(x)| = M1 < 1.
Entonces, son ciertas las siguientes afirmaciones:
1. La ecuación x = g(x) tiene solución única α en [a, b].
2. La iteración de punto fijo xj+1 = g(xj) converge a la solución α para
cualquier valor inicial x0 ∈ (a, b).
3. El error ej = α − xj, verifica la desigualdad
|ej| ≤ Mj
1 (b − a) .
Ejemplo 4.3 Dada la ecuación
x = cos(x),
(a) Demuestra que tiene solución única en [0, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesarias para asegurar 4 decimales
exactos mediante la iteración de punto fijo.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones a partir de x0 = 0.5.
(a) Veamos que la función g(x) = cos(x) cumple las condiciones del teorema.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, por
lo tanto, es de clase C1[0, 1].
• (Condición 2) g(x) es decreciente en el intervalo [0, 1]. El máximo y
mínimo absolutos de g(x) en [0, 1] son
m = min
x∈[0,1]
cos(x) = cos(1) = 0. 5403, M = max
x∈[0,1]
cos(x) = cos(0) = 1,
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0.5403, 1] ⊂ [0, 1].
• (Condición 3) La derivada es g0(x) = − sin(x). Hemos de calcular
M1 = max
x∈[0,1]
¯
¯g0
(x)
¯
¯ .
La función objetivo es
h(x) = |− sin(x)| = sin (x) ,
sabemos que sin(x) es creciente en [0, 1], por lo tanto
M1 = max
x∈[0,1]
¯
¯g0
(x)
¯
¯ = sin (1) = 0. 84147.
16. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 16
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en el
intervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todo valor
inicial x0 ∈ (0, 1) .
(b) El error cumple
|ej| ≤ (0. 84147)j
(1 − 0) = (0. 84147)j
.
Exigimos
(0. 84147)j
≤ 0.5 × 10−4
y resolvemos en j, resulta
j ≥
ln
¡
0.5 × 10−4
¢
ln (0. 84147)
= 57. 377.
Esto es, necesitamos j = 58 iteraciones.
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j xj
0 0.5
1 0. 87758
2 0. 63901
3 0. 80269
4 0. 69478
5 0. 76820
Si calculamos con 6 decimales, el valor de la iteración 58 es
x58 = 0.739085.
En realidad, la cota de error es muy conservadora, pues el método ya había
convergido con 4 decimales en la iteración 24. ¤
4.4 Forma de punto fijo x = x − λf(x)
Consideremos una ecuación f(x) = 0 que tiene una raíz α en el intervalo
[a, b]. Para todo valor de λ, la expresión
x = x − λ f(x)
es una formulación equivalente en forma de punto fijo
x = g(x)
con
g(x) = x − λ f(x)
17. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 17
Es inmediato comprobar la raíz α de f(x) es un punto fijo de g(x). La
derivada de g(x) es
g0
(x) = 1 − λf0
(x).
Puede demostrarse que si ¯
¯g0
(α)
¯
¯ ≤ 1,
entonces la iteración de punto fijo es convergente para valores iniciales x0
suficiente próximos a α, además, la velocidad de convergencia aumenta con
la disminución de |g0(α)| . Eso nos llevaría a elegir, entre todos los posibles
valores de λ, aquel valor que minimize |g0(α)|. En concreto tomamos el valor
de λ que anula g0(α), esto es
g0
(α) = 1 − λf0
(α) = 0,
resulta el valor
λ =
1
f0(α)
.
El problema está en que no conocemos α y, por lo tanto, no podemos calcular
λ. Un método práctico para determinar λ es el siguiente:
1. Sabemos que el intervalo [a, b] contiene la solución α. Estimamos
f0
(α) '
f(b) − f(a)
b − a
.
2. Tomamos
λ =
1
³
f(b)−f(a)
b−a
´.
En resumen, el método es
⎧
⎨
⎩
x0 = valor inicial,
xj+1 = xj −
b − a
f(b) − f(a)
f(xj).
Ejemplo 4.4 Aproxima la solución de
ln x =
1
x
con 4 decimales, usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λ f(x).
18. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 18
A partir de una representación gráfica esquemática, tomamos el intervalo
[1, 2].
Escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0, entonces
f(x) = ln (x) −
1
x
.
Calculamos
f(1) = −1, f(2) = 0. 1931.
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo [1, 2]. Esti-
mamos el valor de f0(α)
f0
(α) '
f(2) − f(1)
2 − 1
= 1. 1931,
y calculamos λ
λ =
1
f0(α)
'
1
1. 1931
= 0. 8382.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
⎧
⎨
⎩
x0 = 1.5,
xj+1 = xj − 0. 8382
µ
ln (xj) −
1
xj
¶
.
Obtenemos
j xj
0 1.5
1 1. 71893 9
2 1. 75250 6
3 1. 76052 3
4 1. 76253 7
5 1. 76304 8
6 1. 76317 8
7 1. 76321 1
8 1. 763220
9 1. 76322 2
Podemos tomar α = 1.7632. ¤
Ejemplo 4.5 Calcula la solución de
x = cos(x)
con 4 decimales usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λ f(x).
19. Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 19
A partir de un esquema gráfico, tomamos el intervalo [0, 1].
Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con
f(x) = x − cos(x).
Calculamos
f(0) = −1, f(1) = 0. 45970.
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo [0, 1]. Esti-
mamos el valor de f0(α)
f0
(α) '
f(1) − f(0)
1 − 0
= 1. 45970,
y calculamos λ
λ =
1
f0(α)
'
1
1. 45970
= 0. 6851.
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
½
x0 = 0.5,
xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj)) .
Obtenemos
j xj
0 0.5
1 0. 758681
2 0. 736115
3 0. 739518
4 0. 739021
5 0. 739094
6 0. 739083
7 0. 73908 3
Podemos tomar
ᾱ = 0.7391 ¤