El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. La sustitución implica despejar una incógnita y sustituirla en otras ecuaciones, igualación iguala incógnitas despejadas, y reducción transforma ecuaciones para que incógnitas tengan igual coeficiente.

1. En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños
(factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en
números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
Sacar el factor común es añadir la literal
común de un polinomio, binomio o trinomio,
con el menor exponente y el divisor común
Factor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una
regla muy sencilla que dice: Cuadrado del
primer término más o menos cuadrado del
segundo por el primero más cuadrado del
segundo, y no hay que olvidar, que los dos
que son positivos iguales funcionan como el
primer término, sabiendo esto, será
sumamente sencillo resolver los factores
comunes.
4x²+6x= 2x(2x+3)

2. Para trabajar un polinomio por agrupación de
términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica
Agrupación de términos porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente
manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
Se identifica por tener tres términos, de los
cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y
el restante equivale al doble producto de las
raíces del primero por el segundo. Para
solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de
primero y de tercero los términos que tengan
raíz cuadrada, luego extraemos la raíz
cuadrada del primer y tercer término y los
escribimos en un paréntesis, separándolos por
el signo que acompaña al segundo término, al
cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio
al cuadrado.
Se identifica por tener dos términos elevados
al cuadrado y unidos por el signo menos. Se
resuelve por medio de dos paréntesis,
(parecido a los productos de la forma (a-b)
(a+b), uno negativo y otro positivo.)
Diferencia de cuadrados

3. Se identifica por tener tres términos, hay una
literal con exponente al cuadrado y uno de
ellos es el término independiente. Se resuelve
Trinomio de la forma x2 + bx + c por medio de dos paréntesis, en los cuales se
colocan la raíz cuadrada de la variable,
buscando dos números que multiplicados den
como resultado el término independiente y
sumados (pudiendo ser números negativos)
den como resultado el término del medio.
En este caso se tienen 3 términos: El primer
Trinomio de la forma ax2 + bx + término tiene un coeficiente distinto de uno,
c la letra del segundo término tiene la mitad del
exponente del término anterior y el tercer
término es un término independiente, o sea
sin una parte literal, así:
1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del
Suma o diferencia de cubos binomio. 2) Se forma un producto de dos
factores. 3) Los factores binomios son la
diferencia de las raíces cúbicas de los términos
del binomio. 4) Los factores trinomios se
determinan así: El cuadrado de la primera
raíz más el producto de estas raíces más el
cuadrado de la segunda raíz.
y3 - 27 = (y - 3)(y2 + 3y + 9)
25a 2 − 64b 2 =
a)
(5a + 8b)(5a − 8b)
8m 2 − 14m − 15 =
b)
(4m + 3)(2m − 5)
x 2 − 15 x + 54 =
c)
( x − 6)( x − 9)
5 x 2 − 13x + 6 =
d)
(−5 x + 2)( x + 3)

4. 27 a 9 − b 3 =
e)
(3a 3 − b)(9a 6 − 3a 3 b + b 2 )
5a 2 + 10a =
f)
5a (a + 5)
9x6 − 1 =
i)
????
64 x 3 + 125 =
j)
(4 x + 5)(16 x 2 + 20 x + 25
x 2 − 144 =
k)
( x − 12)( x − 12)
2 x 2 + 11x + 12 =
l)
(2 x + 3)( x + 4)
4 x 2 y − 12 xy 2 =
m)
4 xy ( x − 3 y )
xw − yw + xz − yz =
n)
( w + z )( x − y )
x 2 + 14 x + 45 =
o)
( x + 5)( x + 9)
6y2 − y − 2 =
p)
(3 y − 2)(2 y − 1)
4m 2 − 49 =
q)
(2m − 7)(2m − 7)
x 2 − x − 42 =
r)
( x + 6)( x − 7)
2m 2 + 3m − 35 =
s)
(m + 5)(2m − 7)
a 2 − 24a + 119 =
t)
(a − 7)(a − 17)

5. Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son
números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
2
3x - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x² + 2x – 8 = 0 a=1 b=2 c=-8
(x ) (x )=0 [x ·x = x2]
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 4 · -2 = -8
x+4=0 x–2=0
x+4=0 x–2=0
x=0–4 x=0+2
x = -4 x=2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
2
x + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___[Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 = 9

6. ( ) ( ) =9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
x+1= ±3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x=2 x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
CONCLUSION:
En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es
conveniente representarlas como productos, cuando esto sea posible se dirá que se ha
factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental.

7. x 2 − 16
=
x 2 + 8 x + 16
a)
( x − 4)
( x + 4)
4 x 2 − 20 x
=
x 2 − 4x − 5
b)
4x
( x + 1)
3a − 9b 3
c) =
6a − 18b 6
x 2 − 6 x + 9 x 2 + 6 x + 5 x − 3 ( x + 1)( x + 5)
d) * = *
x 2 − 7 x + 12 3 x + 2 x − 1 x − 4 (−3 x + 1)( x + 1)
7 x + 21 x 2 − 5 xy + 4 y 2 7( x + 3) ( x − 1)( x − 4)
e) 2 * = *
x − 16 y 2
4 x + 11x − 3
2
( x − 4 y )( x + 4 y ) (−4 x + 1)( x − 3)
x 2 − 3 x − 10 2 x + 10 2
f) * =
x 2 − 25 6 x + 12 6
x − 4 4x + 8 4( x + 2)
g) * 2 =
2 x + 8 x − 16 2( x + 4)( x + 4)
3 x − 15 12 x + 18 3( x − 5)4( x + 3)
h) / =
x + 3 4 x + 12 6(2 x + 3)
4x 2 − 9 2x − 3 (2 x + 3) 2
i) / =
x + 3 y 2x + 6 y 1
x 2 − 14 x − 15 x 2 − 12 x − 45 ( x + 1)( x + 3)
j) / =
x 2 − 4 x − 45 x 2 − 6 x − 27 ( x + 5)( x − 3)
a −3 9 a 2 − 15a − 9
k) − 2 =
a 2 − 3a + 2 a − 4a + 3 (a − 1)(a − 2)(a − 3)

8. m 3m 3m 2 − 2m
l) 2 + =
m − 1 m + 1 (m − 1)(m + 1)
2a 4 2a 2 − 12a − 8
m) 2 − =
a − a − 6 a 2 − 7 a + 12 (a + 2)(a − 3)(a + 4)
2 1 1 6m − 2
n) − 2 + 2 =
m − 11m + 30 m − 36 m − 25 (m − 5)(m + 6)(m − 6)(m + 5)
2
x 2 x 2 − 3 x − 10
ñ) 2 + =
x − 5 x x − 7 x( x − 5) x − 7
Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos de uno o ambos
miembros es una fracción. Las expresiones racionales siguientes son fracciones complejas:
Conclusión:
Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los
factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.
Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo
denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

9. Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3
que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis
numérico.
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el
inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,
supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

10. Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación
se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos
los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado
para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las
ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos
ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto
signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
Método de Gauss
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método
aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la
matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener
ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la
misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero
ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

11. 4(2 x − 3) + 5( x − 1) = 7( x + 2) − (3 x + 4)
a) 35
x=
9
5x − 3 2x x + 1
+ =
4 3 2
b)
30
x=
44
3(4 x + 3) + 2 x − 3(2 − x) = 2 + 3( x − 4) + 5 x − 2
c) − 15
x=
3
2 x + 5 3x x + 2 3x
− = +
7 5 2 1
d)
20
x=
267
2x − 3 x
5( 2 x − 3) + 4( x + 1) − 5 = +
2 3
e)
7
x=
6

13. 2x − 3y = 4
x − 4y = 7
a) x = 5
10
y=
5
4a + b = 6
3a + 5b = 10
20
b) a =
17
22
b=
17
m−n =3
3m + 4n = 9
22
c) m =
7
1
n=
7
5 p + 2q = −3
2p − q = 3
− 23
d) p =
15
21
q=
9
x + 2y = 8
3 x + 5 y = 12
112
e) x =
11
− 12
y=
11
3m + 2n = 7
m − 5n = −2
145
f) m =
51
− 13
n=
17

14. 2h − i = −5
3h − 4i = −2
−7
g) h =
5
11
i=
5
Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para adulto y a $1.50 para
niño. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500 ¿Cuántos boletos de cada tipo
se vendieron?
x= boletos para adulto
y=boletos para niño
x=800 boletos
y=200 boletos

15. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo
metal para obtener 800kg de aleación al 40%.
¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?
a= aleación con 30% de Ag a=120 Kg.
b= aleación con 55% de Ag b=680 Kg.