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1. FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Carrera Profesional de Matemática, Computación e Informática
GEOMETRÍA
III Unidad Didáctica – Circunferencia y área de regiones pligonales
Circunferencia y ángulos en ella
Docente: Ubaldo Cayllahua Yarasca

2. Circunferencia
Es el conjunto de
todos los puntos
“P” de un plano,
que están a una
misma distancia “r”
de otro punto “O”
llamado centro
15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 2

3. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 3
Líneas
notables
en la
Circunf.

4. Ángulos asociados a la circunferencia
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5. Ángulos en la circunferencia
15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 5
Angulo ex-inscrito
2
mABC
 

6. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica
x
θ
α
x θ α
Formas de ángulo exterior

7. Demostración de teoremas sobre ángulos asociados a la circunferencia
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8. Demostración de teoremas sobre ángulos asociados a la circunferencia
15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 8

9. Demostración de teoremas sobre ángulos asociados a la circunferencia
15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 9

10. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 10
Propiedades
de líneas
asociadas
a la
Circunf.
: sec
PO bi triz

: sec
PO bi triz

A y B puntos de tangencia y O centro

11. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 11

12. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 12
Demostración:
o
θ
θ α
α
x
En triángulo grande:
x+α+θ=180°, pero x=α+θ
Sustituyendo:
x+ x =180° → x = 90°
O bien por ángulo inscrito:
x = 180°/2 → x = 90°
Propiedades de ángulos
asociados a la
semicircunferencia

13. Propiedades de líneas asociadas a la circunferencia
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C
A
B
O:centro
x
D
E
Demostración:
Trazando diámetro AB, por ángulo semi-inscrito
2
mABC
x 
180
2
90
x
x


 

14. Propiedades de líneas asociadas a la circunferencia
15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 14
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos
tangentes, dichas tangentes son congruentes
A
B
C AB = BC
θ
θ
O
2θ
Demostración:
Haciendo trazos auxiliares y por ángulos semi-inscritos
Se tiene que:
Triángulo ABC es isósceles, por tanto: AB = BC
A
B
C
Usar para demostración

15. 15/12/2020 Universidad Nacional de Huancavelica 15
Demostración:
Del gráfico:
Por teorema de rectas
Tangentes a la circunferencia
Se tiene que:
AB + DC = (a+b) + (d+c) …..1
AD + BC = (a+d) + (b+c) …..2
Igualando 2dos. Miembros de 1 y 2:
AB + DC = AD + BC

16. Teorema de Poncelet
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AB= y + r
AC= y + x
BC= r + x
AB= y + r
BC= r + x
AB + BC = y + x + 2r
AB + BC = AC + 2r
Establece que:
En todo triángulo
rectángulo, la suma
de los catetos es igual
a la longitud de la
hipotenusa, mas el
doble del radio de la
circunferencia inscrita
Tomado de: https://www.facebook.com/164249584291308/posts/250644438985155/