material preuniversitario

1. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
DIVISION ALGEBRAICA
Es la operación que consiste en hallar una expresión
denominada cociente, dadas otras dos denominadas
dividendo y divisor. Cumpliéndose:
D = dq+r ó
𝐷
𝑑
= 𝑞 +
𝑟
𝑑
Donde: D:Dividendo
d: divisor
q : cociente
r : resto o residuo
MÉTODOS DE DIVISIÓN
MÉTODO DE HORNER
Es un método de coeficientes separados que permite
encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios,
para esto dividendo y divisor deben estar completos y
generalmente ordenados descendentemente respecto a
una variable.
Esquema:
Cambiardesigno
d D I V I D E N D O
i
v
i
s
o
r
C O C I E N T E RESIDUO
Ejemplo: Dividir: (4x2
 4+x4
+8x) (x2
+x+1)
MÉTODO DE RUFFINI
Es una regla práctica para obtener el cociente y el resto de
la división de un polinomio P(x) entre un polinomio de la
forma (ax  b), q(x) + r(x)
ax  b = 0  x = 
Esquema:
D I V I D E N D O
x= 
C O C I E N T E RESTO
Ejemplo: Dividir:
2𝑥2
− 7𝑥 + 3𝑥4
− 5𝑥3
+ 11
𝑥 + 2
TEOREMA DEL RESTO
Si un polinomio P(x) se divide entre (x – a), siendo “a” una
constante arbitraria, hasta obtener un cociente q(x) y un
residuo r, entonces:
r = P(a)
Ejemplo: Calcular el resto de dividir:
𝑥37
− 2𝑥36
+ 5𝑥4
− 9
𝑥 − 2
COCIENTES NOTABLES
Son casos especiales de división algebraica exacta, entre
divisores binómicos, que presentan la forma:
𝑥 𝑛
𝑎 𝑛
𝑥𝑎
Donde “x” y “a” son las bases; n  N
ESTUDIO DE LOS CUATRO CASOS
CASO I:
𝑥 𝑛−an
𝑥−𝑎
= C.N.,  n
xn – 1
+ xn – 2
a+xn – 3
a2
+ … + an – 1
CASO II:
𝑥 𝑛−an
𝑥+𝑎
=C.N.,  n par
xn – 1
 xn – 2
a+xn – 3
a2
 …  an – 1

2. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
CASO III:
𝑥 𝑛+an
𝑥+𝑎
=C.N.,  n impar
xn – 1
 xn – 2
a+xn – 3
a2
+ … + an – 1
CASO IV:
𝑥 𝑛+an
𝑥−𝑎
= No es C.N.
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER
UN C.N.
𝑥 𝑚𝑎 𝑚
𝑥 𝑝𝑎 𝑞 es C.N. 
𝑚
𝑝
=
𝑛
𝑞
= Número de términos (N.T.)
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
En la división:
𝑥 𝑛𝑎 𝑛
𝑥𝑎
un término de lugar k (término
cualquiera) del cociente q(x) está dado por la fórmula:
𝑡 𝑘
→ =  xn – k
. ak – 1
Donde:
x: 1ra. Base del divisor.
a: 2da. Base del divisor.
n: Número de términos de q(x) = N.T.
: Signo
REGLA PARA DETERMINAR EL SIGNO
a) Si d(x) = x – a, entonces todos los términos del C.N.
son positivos.
b) Si d(x) = x + a, se tiene:
i) Los del lugar impar: Los términos del
cociente notable son positivos.
ii) Los del lugar par: Los términos del cociente
notable son negativos.
Además:
𝑡 𝑘
→ =  xk – 1
. an – k
Donde:
𝑡 𝑘
→ : Término del lugar contado a partir del término final.
Polígonos
Es una porción del plano limitado por segmentos rectilíneos,
cada uno de dichos segmentos es un lado y el punto común de
cada dos lados es el vértice.Se denomina diagonal de un
polígono al segmento de recta que une dos vértices no
consecutivos.
Elementos: De acuerdo a la figura:
Lados: AB, BC, CD, …
Vértices: A, B, C, …
Ángulos interiores: 1 , 2 , 3 , …
Ángulos interiores: 1 , 2 , 3 , …
Diagonal: CF
Diagonal media: MN
Son polígonos regulares aquellos que tienen sus ángulos
iguales, lados iguales y son inscriptibles y circunscriptibles a
una circunferencia.
I. Clasificación por su forma
1. Polígono Plano: Lados coplanares
2. Polígono Alabeado: Tiene lados no coplanares.
5
E
D
C
B
AF
5
M
N4
4
3
3
2
2
11
6
6
A
B
C
D
A
B C
D
E

3. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
II. Por la medida de sus ángulos
a) Polígono Convexo
Cuando una línea auxiliar corta a dicho polígono a lo mucho en
dos puntos
b) Polígono Cóncavo
Todos sus ángulos interiores son convexos. Posee por lo
menos un ángulo interior cóncavo.
III. Por sus Características
a) Polígono Equiángulo.- Todos sus ángulos son
congruentes sin importar la longitud de la medida de sus lados.
b) Polígono Equilátero.- Todos sus lados son
congruentes sin interesar la medida de sus ángulos.
c) Polígono Regular.- Es el polígono equiángulo y equilátero
a la vez. Posee ángulo central igual para cada lado; este polígono se
puede inscribir y circunscribir en circunferencias concéntricas.
d) Polígono Irregular.- Sus lados y ángulos son de
distinta medida.
Propiedades de los Polígonos
Propiedad Fórmula Observación
Suma de ángulos
interiores
iS 180º(n 2) 
Para todo polígono
Ángulo interior
180º(n 2)
i
n


Para el Polígono
Equiángulo
Suma de ángulo
exteriores eS 360º Para todo polígono
Ángulo exterior
360º
e
n

Para el Polígono
Equiángulo
Suma de Ángulos
Centrales
cS 360º
Para el Polígono
Regular
Ángulo central
360º
c
n

Para el Polígono
Regular
Diagonales Totales
n(n 3)
D
2

 Para todo polígono
Diagonales
Trazadas desde un
solo vértice
vD n 3  Para todo polígono
Diagonales Medias
m
n(n 1)
D
2


Para todo polígono
Diagonales desde “v” vértices
consecutivos  
(v 1)(v 2)
D vn
2v,n
 
 
Diagonales medias trazadas
desde “m” puntos
consecutivos
 
m(m 1)
D mn
2m,n

 
Diagonales trazadas desde
vértices no consecutivos en
un polígono par de lados
 
n(3n 10)
D
8no cons par


1
2
2
3
4
1
 
 
 
a a
a a
a
a
a
a






 






4. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
 En todo polígono el número de lados es igual al número de
vértices e igual al número de ángulos interiores.
o
n V N s internos  .
 Si en un polígono de “n” lados se trazan todas la diagonales
desde un vértice, entonces el polígono queda dividido en (n
– 2) triángulos.
 En un polígono de “n” lados si unimos un punto cualesquiera
de uno de sus lados con todos los vértices se determinan
(n–1) triángulos.
 En un polígono estrellado, los ángulos interiores suman
180(n 4) , y los exteriores suman 720º.
Ejemplo:
¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º?
Solución:
De la fórmula:
180º(n 2)
i
n


180º(n 2)
150º
n


150n 180n 360º 
n 12
El polígono es un dodecágono.
NOMBRE DE LOS POLÍGONOS:
Entre los principales tenemos:
Nº de lados Nombre
3
4
5
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Hexágono
Heptágono
Octógono
Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
 Cuando el número de lados es mayor se antepone el prefijo
numeral respectivo y la terminación “gono”.
Fórmulas Adicionales
1. Número total de diagonales trazadas desde vértices no
consecutivos en un polígono de número impar de lados.
  
no cons impar
3 n 1 n 3
N =
8
 
2. Número total de diagonales medias trazadas desde puntos
medios no consecutivos en un polígono de número par de
lados.
 
pmedi no cons ar
n 3n 2
D =
8

3. Número total de diagonales medias trazadas desde puntos
medios no consecutivos en un polígono de número impar de
lados.
  
impmedi no cons ar
n 1 3n 1
D =
8
 
Cuadriláteros
Es el conjunto de puntos pertenecientes a una poligonal
cerrada de cuatro lados.
Elementos:
AB, BC, CD y DA: Lados
BD: Diagonal
A, B, C y D: Vértices
: Ángulo Interno
A
B
C
D
 

5. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
: Ángulo Externo
Propiedades Angulares de un Cuadrilátero
Suma de Ángulos Interiores
1 2 3 4 360º       
Suma de Ángulos Interiores
1 2 3 4 360º       
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
1. PARALELOGRAMOS
Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados opuestos
paralelos y congruentes.
a) Romboide
b) Rombo
c) Rectángulo
d) Cuadrado
TRAPECIOS
Son aquellos cuadriláteros que tienen solo un par de lados
paralelos denominados “bases” del trapecio.
a) Rectángulo
b) Isósceles
c) Escaleno
TRAPEZOIDES
a) Simétrico: Es aquel en que una de sus diagonales es
mediatriz de la otra diagonal.
b) Asimétrico: No tiene ninguna simetría.
Propiedades de los Cuadriláteros
1. ROMBOIDE
A
B
D
C
M
1
2
3
4
1
2
3
4

6. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
Es el paralelogramo propiamente dicho.
AB//CD , BC// AD ; AB CD , BC AD
AM MC , BM MD
A C   ; B D  
A B 180º    ; B C 180º   
2. RECTÁNGULO
Llamado también cuadrilongo, es el paralelogramo equiángulo.
3. ROMBO
Llamado también Losange, es el paralelogramo equilátero.
4. CUADRADO
Es el paralelogramo regular, es decir es equilátero y equiángulo
a la vez.
5. TRAPECIO
AB y CD: lados no paralelos
B y b: bases
MN: Mediana
h: Altura
Elementos de los trapecios
AD y BC: Bases
AD // BC // MN
B b
MN
2

 y
B b
PQ
2


2Bb
RS
B b


Propiedades de los Trapecios Isósceles
AH PD ; AC BD
A D   ; B C  
A B 180º   
C D 180º   
Propiedades adicionales
1.
x
2
 

2.
x
2


 
3.
x
2
 

A
B C
D
M N
h
A
B C
D
H P
a


a
x
b
b


x
M N
R S
P Q
b
B




x
m
n

7. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
4.
x y 180º 
5.
m n
a b
6. Si “G” es baricentro del triángulo
a b
7.
B b
x
2


8.
B b
x
2


9. En todo paralelogramo se cumple que:
a c b d  
10.
a b c d
x
4
  

CUADRILÁTEROS INSCRITOS
Un cuadrilátero es inscriptible si por los cuatro vértices pasa una
circunferencia. Las mediatrices de los lados de este cuadrilátero
concurren en un punto, que puede estar ubicado en el interior o
en el exterior, siendo dicho punto el centro de la circunferencia
antes mencionada. A dicho cuadrilátero también se le llama
“Cuadrilátero Cíclico”.
TEOREMAS:
1º En todo cuadrilátero inscrito el producto de las
diagonales es igual a la suma de los productos de los lados
opuestos.
BD AC AB CD BC AD    
2º Si en un cuadrilátero inscrito, las diagonales se cortan
perpendicularmente, entonces la suma de los cuadrados de los
4 segmentos determinados, es igual a 4 veces el cuadrado del
radio.
2 2 2 2 2
AE EC BE ED 4R   
Además se debe cumplir:
AD AB CD CB AD
AD DC AB BC BD
  

  
a a
b
b
c
cd
d
x
y
a
b
m n
a
b
x
G
b
B
x
b
B
x
a
b
c
d
A
B
C
D
a
b c
d
xA
B
C
D
A
B
C
D
B
A
D
C
E
A
B
C
D
R
E

8. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
Por sus ángulos por lo general se estudian dos condiciones de
inscriptibilidad:
1ra. Condición:
* Un cuadrilátero es inscriptible si los ángulos opuestos son
suplementarios. Es decir que:
 +  = 180º ó  +  = 180º.
* Esta condición es equivalente a decir que un ángulo interior
del cuadrilátero es igual al ángulo opuesto exterior.
2da. Condición:
Un cuadrilátero es inscriptible si los ángulos formados por un
lado y una diagonal es igual al ángulo formado por el lado
opuesto y la otra diagonal.
Si m(DAC) = m(CBD) = 
ABCD : Inscriptible
Observe que ambos ángulos están subtendidos en el mismo
arco de circunferencia.
OBSERVACIONES:
1. Los cuadriláteros que SIEMPRE son inscriptibles son el
cuadrado, el rectángulo y el trapecio isósceles.
2. Si en un triángulo se unen los pies de dos alturas, se forma
un cuadrilátero inscriptible.
EJERCICIOS DE CLASE
1) Si a un polígono regular se le aumenta dos lados,
su ángulo exterior disminuye en 9°, cuantos
vértices tiene dicho polígono. (CPUFAC - I / 2015
– III)
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
2) En un polígono equiángulo de n lados, el número
de diagonales que se pueden trazar desde n – 2
vértices consecutivos es (CPUFAC - II / 2016 – I)
a) n(n + 3) b) n (n + 3)/2 c) n(n –
3) d) n (n – 3)/2 e) (n – 1)(n – 3)
3) Se tienen 2 polígonos regulares P y Q. el polígono
P tiene n lados, mientras que Q tiene m lados
(con n > m). Si  es el ángulo interior de P y  el
ángulo interior de Q halle  - . Sabiendo que
1
𝑚
−
1
𝑛
=
1
8
(CPUFAC - III / 2016 – I)
a) 90° b) 30° c) 50°
d) 45° e) 120°
4) La diferencia de los números de diagonales de 2
polígonos es 4. Halle la suma de sus números de
diagonales medias. (UNPRG / 2016 – I)
a) 24 b) 25 c) 32 d) 18 e) 21
5) El número de diagonales de un polígono regular,
es igual al triple de la mitad de la suma del
número de vértices, número de lados y número
de ángulos centrales. Hallar el número de lados
del dicho polígono. (CPUFAC - I / 2016 – II)
a) 10 b) 9 c) 14 d) 16
e) 12
6) De todos los polígonos regulares ¿Cuál es el que
posee mayor ángulo central? (UNPRG-EX / 2016-
II)
a) Triángulo b) Hexágono
c) Cuadrado d) Pentágono
e) Dodecágono
7) Si en un polígono se puede trazar 35 diagonales
¿Cuántos lados tiene este polígono? (CPUFAC -
III / 2016 – II)
a) 10 b) 7 c) 8 d) 20
e) 12
8) En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide
√13 𝑚, las prolongaciones de la diagonal CA y el






A
B
C
D



9. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”
lado EF se intersectan en el punto P, hallar la
distancia del punto P al vértice D del hexágono
(UNPRG/2016-II)
a) 13 m b) √39 𝑚 c) 7 m d)
√11 𝑚 e) √13 𝑚
9) Considere un pentágono regular, como el de la
figura (CPUFAC – I/2016 - III)
Prolongue cada uno de sus lados, obtendrá una
estrella. La medida del ángulo formado por dos
prolongaciones es:
a) 72° b) 62° c) 36° d) 18°
e) 46°
10) La suma de las medidas de los ángulos internos
en las puntas de una estrella formada al
prolongar los lados de un polígono convexo a 17
460° ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el
polígono convexo? (CPUFAC – III/2016 - III)
a) 3939 b) 2929 c) 3535 d)
5959 e) 4949
11) Los ángulos internos de un nonágono son
proporcionales a 9 números consecutivos. Hallar
uno de los ángulos del nonágono (UNPRG-
5to/2016)
a) 1260° b) 1000° c) 1200°
d) 0° e) 140°
12) En un polígono regular convexo (UNPRG-
5to/2016)
I. La suma de los ángulos interiores es 360°
II. El número de diagonales por cada
vértice es igual al número de lados
menos tres.
III. La suma de sus ángulos interiores es
mayor o igual que 180°
IV. La suma de sus ángulos externos es
menor que 360°.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones son siempre
verdaderas?
a) I y II b) II y IV c) III y IV d)
I y III e) II y III
13) Los lados de un polígono regular de “n” lados (n
> 4) se prolongan para formar una estrella.
Determine la medida del ángulo formado en
cada vértice de la estrella. (CPUFAC – I / 2017 -
I)
a) 180°
(𝑛−2)
𝑛
b)
180°
𝑛
− 1 c)
180°
(𝑛−4)
𝑛
d)
720°
𝑛
− 1 e)
360°
𝑛(𝑛−1)
−
1
14) Si el número de lados de un polígono equiángulo
aumenta en 5, su número de diagonales
aumenta en 50. Halle la medida de su ángulo
exterior. (CPUFAC -III/2017 - I)
a) 48 b) 30 c) 35 d) 60
e) 40
Piensa que cuantos más obstáculos vas superando, más competidores se van
quedando atrás

10. “Una pasión los números, un objetivo Tú ingreso”
“La Universidad no es para todos, Nuestra preparación tampoco”