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Clase 9-3
- 1. MATEMÁTICA III 𝑴𝒈. 𝑳𝒂𝒖𝒓𝒂𝑳𝒖𝒄𝒊𝒍𝒂 𝑨𝒓𝒃𝒖𝒍ú 𝑩𝒂𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂𝒏𝒐 Sesión 9: Integrales Triples 2022 - 0 Programa de Ingeniería Civil
- 2. LOGRO DE LASESIÓN Al término de la sesión, el estudiante habrá comprendido la definición de integrales triples y su aplicación para el cálculo de volúmenes de sólidos. 𝒇: 𝑹 ⊆ ℝ𝟑 → ℝ, 𝒘 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 න න න 𝑹 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = න 𝒂 𝒃 න 𝒈𝟏 𝒙 𝒈𝟐 𝒙 න 𝒉𝟏 𝒙,𝒚 𝒉𝟐 𝒙,𝒚 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒙
- 3. Integrales Dobles SABERES PREVIOS 𝑹 =𝒂, 𝒃 × 𝒄, 𝒅 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = න න 𝑹 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 𝒛 = 𝒇 𝒙, 𝒚 ≥ 𝟎
- 4. Al igual quelas integrales simples y dobles, se definen las integrales triples para funciones de tres variables SABERES PREVIOS 𝒘 = 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 Partiremos del caso más simple, es decir cuando la función es definida sobre la caja rectangular: 𝑩 = 𝒂, 𝒃 × 𝒄, 𝒅 × 𝒓, 𝒔 ⊆ ℝ3
- 5. Cajas y subcajas 𝐵 = 𝑎,𝑏 × 𝑐, 𝑑 × 𝑟, 𝑠 𝑓: 𝐵 → ℝ, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 El primer paso es dividir la caja rectangular 𝐵 en sub cajas. Para esto dividimos el intervalo 𝑎, 𝑏 en 𝑙 sub intervalos de igual ancho Δ𝑥, igualmente dividimos los intervalos 𝑐, 𝑑 y 𝑟, 𝑠 en 𝑚 y 𝑛 subintervalos de igual ancho.
- 6. Suma de Riemann 𝐵𝑖𝑗𝑘 = 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖 × 𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗 × 𝑧𝑘−1, 𝑧𝑘 𝒙𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒚𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒛𝒊𝒋𝒌 ∗ ∈ 𝑩𝒊𝒋𝒌 ⟹ 𝒊=𝟏 𝒍 𝒋=𝟏 𝒎 𝒌=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒚𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒛𝒊𝒋𝒌 ∗ 𝜟𝑽 , 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Cada subcaja tiene volumen Δ𝑉 = Δ𝑥 Δ𝑦 Δ𝑧 Entonces se forma la triple suma de Riemann
- 7. INTEGRAL TRIPLE 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 La Integraltriple de 𝑓 sobre la caja 𝐵 es න න න 𝑩 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = 𝒍𝒊𝒎 𝒍,𝒎,𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒍 𝒋=𝟏 𝒎 𝒌=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒚𝒊𝒋𝒌 ∗ , 𝒛𝒊𝒋𝒌 ∗ 𝜟𝑽 siempre que el límite de la derecha exista. Por ejemplo, si 𝑓 es continua entonces el límite existe.
- 8. TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Si 𝑓es continua sobre la caja rectangular 𝐵, entonces න න න 𝑩 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න 𝒓 𝒔 න 𝒄 𝒅 න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
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- 14. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Casos Posibles CasoI න න න 𝑬 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න න 𝑫 න 𝒖𝟏 𝒙,𝒚 𝒖𝟐 𝒙,𝒚 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝑨
- 15. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Casos Posibles CasoI.A න න න 𝑬 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න 𝒂 𝒃 න 𝒈𝟏 𝒙 𝒈𝟐 𝒙 න 𝒖𝟏 𝒙,𝒚 𝒖𝟐 𝒙,𝒚 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙
- 16. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Casos Posibles CasoI.B න න න 𝑬 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න 𝒄 𝒅 න 𝒉𝟏 𝒚 𝒉𝟐 𝒚 න 𝒖𝟏 𝒙,𝒚 𝒖𝟐 𝒙,𝒚 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝒚
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- 18. EJEMPLO 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 SOLUCIÓN න නන 𝑬 𝒛 𝒅𝑽 = න 𝟎 𝟏 න 𝟎 𝟏−𝒙 න 𝟎 𝟏−𝒙−𝒚 𝒛𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙
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- 26. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Casos Posibles CasoII න න න 𝑬 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න න 𝑫 න 𝒖𝟏 𝒚,𝒛 𝒖𝟐 𝒚,𝒛 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝑨
- 27. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 Casos Posibles CasoIII න න න 𝑬 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න න 𝑫 න 𝒖𝟏 𝒙,𝒛 𝒖𝟐 𝒙,𝒛 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝑨
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- 40. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 En elcaso unidimensional, si 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , entonces la integral simple 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa el área bajo la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Ahora bien, si 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷, entonces 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 representa el volumen bajo la superficie 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , arriba de 𝐷. En el caso tridimensional, la interpretación de la integral triple 𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 donde 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0, seria el hipervolumen de un objeto tetradimensional.
- 41. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 No obstante,la integral triple 𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 se puede interpretar de varias maneras en diferentes situaciones físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Caso especial: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, para todos los puntos en un entorno 𝐸, entonces la integral triple representa el volumen de 𝐸: 𝑉 𝐸 = න න න 𝐸 𝑑𝑉
- 42. APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐭𝐫𝐢𝐩𝐥𝐞𝐬 No obstante,la integral triple 𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 se puede interpretar de varias maneras en diferentes situaciones físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Caso especial: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1, para todos los puntos en un entorno 𝐸, entonces la integral triple representa el volumen de 𝐸: 𝑉 𝐸 = න න න 𝐸 𝑑𝑉
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