Este documento introduce el concepto de integrales múltiples o iteradas, que son extensiones de la integral definida de una variable a funciones de dos o más variables. Explica cómo se calculan integrales dobles y triples iterando integrales de una variable, y sus aplicaciones para calcular volúmenes. También presenta fórmulas, notaciones y el teorema de Fubini para reducir el cálculo de integrales múltiples.

1. INTEGRALES MÚLTIPLES
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
M.P.P. PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA
ACESGECORVT
CENTRO REGIONAL DE APOYO TECNOLÓGICO VALLES DEL TUY
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ALUMNO:
CARRASQUEL ANGEL
V-18.542.389
PROFESORA:
ING. BRAVO MAYIRA

2. INTEGRALES ITERADAS
Las integrales iteradas o integrales múltiples son una
extensión natural del concepto de integral definida de
Riemann sobre un intervalo a, b. Resultarán de especial
interés por sus aplicaciones, las extensiones a funciones
de dos variables sobre dominios acotados de R2
(integral doble) y de funciones de tres variables sobre
dominios acotados de R3 (integral triple).

3. INTEGRALES ITERADAS
 Las notaciones usuales que se emplean para este tipo de integrales, en coordenadas
cartesianas, son:

4. INTEGRALES ITERADAS
 En principio, el cálculo de una integral múltiple (en varias variables) se
reduce a ir calculando integrales de una variable en el orden
especificado.
 El diferencial nos informa acerca del nombre de la variable con respecto
a la que debemos integrar y su posición indica el orden de integración,
correspondiendo los diferenciales más interiores a las integrales que hay
que calcular primero.

5. INTEGRALES ITERADAS
La mayor parte de las integrales múltiples que
aparecen en las aplicaciones son integrales
dobles o integrales triples, esto es, con 2 o 3
variables. En cuanto a la integración iterada,
el número de variables es irrelevante.

6. TABLA DE
INTEGRALES
INMEDIATAS
 Las integrales inmediatas son
las que salen directamente
por la propia definición de
integral, es decir, la que se
puede resolver de forma más
o menos intuitiva pensando en
una función que cuando se
derive me dé la que está en la
integral.

7. TEOREMA DE FUBINI
 El Teorema que vamos
a enunciar nos
proporciona una
importante herramienta
para el calculo de
integrales múltiples , ya
que permite reducir el
calculo de una integral
múltiple sobre al
cálculo de n integrales
ordinarias.

8. INTEGRALES DOBLES
 Al igual que las integrales de una variable sirven para calcular el área bajo una gráfica,
las integrales dobles sirven, para calcular volúmenes. Concretamente, cuando F >= 0, la
integral
 es el volumen bajo la gráfica en el rectángulo [a, b]*[c, d], esto es,
 Lo mismo se cumple en regiones más generales. Es decir, si R es una región del plano y
F= F (x, y) es una función no negativa en ella, entonces:
 Sí F=1, entonces como el volumen es el área de la base por la altura (uno en este caso)
 Para dotar de significado a ∫∫R F hay que transformarla en una integral iterada como las
de antes con unos límites específicos. Para ello podemos dividir la región R en “rodajas”
(secciones) verticales u horizontales.

9. INTEGRALES DOBLES

10. INTEGRALES TRIPLES
Para definir una integral para
una función de tres variables,
análogamente a integrales
dobles, deberíamos pensar
que nuestra región de
integración se extendería a la
forma [a,b]×[c,d ]×[e, g] ; es
decir, ahora se tendría un
paralelepípedo, una región
de , la cual se la denota
como Q:

11. INTEGRALES TRIPLES
Si hacemos particiones de Q, la
ijk-ésima partición tendría la forma:
Y su volumen sería:
Una función de tres variables
w = f ( x, y, z) definida en Q, para
esta partición sería de la forma:

12. INTEGRALES TRIPLES
 Donde representa un punto cualquiera de la ijk–ésima partición.
 Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:
 Se le denomina la Integral Triple de f en Q y se la denota de la siguiente manera:
 Además, si existe este límite decimos que f es integrable en Q.

13. INTEGRALES TRIPLES
 Calcular