El documento define una integral triple sobre una región acotada E en el espacio tridimensional y explica cómo evaluarla. Se encierra E en una caja rectangular B y se define una función F igual a f sobre E y cero fuera de E. La integral triple sobre E es igual a la integral triple sobre B. Luego, se describe una región E de tipo 1 delimitada por funciones continuas y se expresa la integral triple sobre E como una integral doble sobre su proyección D.

1. 𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣

2. 𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣= 𝑒
𝑓
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= 𝑒
𝑓
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
= 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑎
𝑏
𝑒
𝑓
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥
= 𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑒
𝑓
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
= 𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
Si F es continua en el cuadro rectangular
B=(a,b)x(c,d)x(e,f), entonces:

3. Solución:
𝐵
𝑥𝑦𝑧2
𝑑𝑣= 0
3
−1
2
0
1
𝑥𝑦𝑧2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= 0
3
−1
2 𝑥2
2
𝑦𝑧2ǀ0
1
𝑑𝑦𝑑𝑧
= 0
3
−1
2 𝑦𝑧2
2
𝑑𝑦𝑑𝑧
=
1
2 0
3
−1
2
𝑦𝑧2 𝑑𝑦𝑑𝑧
=
1
2 0
3 𝑦2
2
𝑧2ǀ−1
2
𝑑𝑧
=
1
2 0
3
(
4
2
−
1
2
) 𝑧2
dz
=
3
4 0
3
𝑧2 dz =
3
4
23
3
ǀ0
3
=
3
4
27
3
=
27
4
.
𝐵
𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑣 =
27
4
Evalue la integral
triple 𝐵
𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑣
donde B es la caja
rectangular dada
por
B={(x,y,z)ǀ0≤x≤1,-
1≤y≤2,0≤z≤3}
Ejemplo:

4. Ahora definimos
una integral triple
sobre sobre una
región acotada
general E en el
espacio
tridimensional
(solido).
Se encierra E en
una caja B del
teorema de
Fubini.

5. Entonces se define
una función F de
modo que
concuerda F sobre
E pero es cero para
puntos en B que
están fuera de E.
 Por definición:
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣
=
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣
Esta integral existe si f es
continua y el limite de E es
uniforme

6.  Sea f continua. Se
dice que una
region solida es de
tipo 1 si esta entre
las graficas de dos
funciones
continuas de x y
de y, es decir:
 Donde D es la
proyeccion de E sobre
el plano xy
𝐸
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ǀ𝑡𝐷, 𝑢1(𝑥, 𝑦)
D
E

7.  Notemos que el limite superior del solido E es la
superficie con ecuación 𝑧 = 𝑢2(𝑥, 𝑦), mientras que
el limite inferior es la superficie 𝑧 = 𝑢1(𝑧, 𝑦), Así:
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣
=
𝐷
[
𝑢1(𝑥,𝑦)
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑑𝐴

8. 𝐸 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ǀ𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑥 , 𝑢1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑣
= 𝑎
𝑏
𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑢1(𝑥,𝑦)
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥