1. El campo magnético alrededor de una esfera superconductora se expresa como la suma de un campo uniforme y un campo dipolar. 2. El momento dipolar magnético de la esfera se calcula de dos formas, obteniendo el mismo valor en ambos casos. 3. La única fuente del campo es una densidad de corriente superficial uniforme sobre la superficie de la esfera.

1. Cálculo de las fuentes de un campo magnético
Contenido
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1 Enunciado
2 Valores de las constantes
o 2.1 Ecuación volumétrica
o 2.2 Condición de salto
o 2.3 Expresión del campo
3 Fuentes del campo
o 3.1 Densidad volumétrica
o 3.2 Densidad superficial
4 Comportamiento asintótico del
campo
5 Momento dipolar magnético
o 5.1 A partir del campo
o 5.2 A partir de las corrientes

2. 1 Enunciado
En el espacio alrededor de una esfera superconductora existe un campo magnético de la forma
1. Calcule los valores de las constantes C1 y C2.
2. Determine las corrientes que crean este campo.
3. ¿A qué tiende este campo para ?
4. Este campo puede escribirse como el del apartado anterior, más el campo de un dipolo magnético. ¿Cuánto vale
su momento dipolar magnético?
2 Valores de las constantes
Los valores de C1 y C2 los calculamos imponiendo que éste sea un campo magnético. Las ecuaciones que debe verificar
necesariamente son:
La primera debe cumplirse en todo volumen y la segunda en toda superficie de discontinuidad, que en este caso es
solamente la superficie esférica r = a.
2.1 Ecuación volumétrica
La ley de Gauss para el campo magnético se cumple idénticamente en la esfera r < a, por ser nulo el campo en ella.

3. En el exterior de la esfera en cambio, debemos recurrir a la expresión de la divergencia, calculada en coordenadas
esféricas
Hallamos cada término por separado. Para el primero
y para el segundo
La suma de estos dos términos da
Para que esta divergencia se anule, debe ser
2.2 Condición de salto
La otra ecuación la da la condición de que la componente normal del campo sea continua en cualquier superficie. Puesto
que el campo en el interior de la esfera es nulo, esto implica que la componente normal justo en el exterior de la
superficie esférica también debe anularse, esto es, el campo debe ser puramente tangencial a la superficie.
Imponemos la condición de salto

4. Obsérvese que hay que sustituir el valor de la coordenada r por su valor, a, en la superficie esférica. La coordenada θ, en
cambio, se deja tal cual, pues en la superficie esférica, la coordenada polar tiene todos los valores posibles, no uno solo.
Al hacer el producto escalar, la componente polar del campo no contribuye y queda simplemente la condición
de donde
2.3 Expresión del campo
Sustituyendo los valores de las constantes obtenemos la expresión del campo en todos los puntos del espacio

5. Justo en la superficie exterior de la esfera este campo se reduce a
Vemos que, efectivamente, en la superficie de la esfera el campo es puramente tangencial a ella.
3 Fuentes del campo
Una vez que tenemos el campo, podemos calcular las fuentes que lo producen. Estas son necesariamente vectoriales y
pueden ser volumétricas o de superficie. Su expresión viene dada por la ley de Ampère
3.1 Densidad volumétrica
La densidad de corriente de volumen es nula en el interior de la esfera, por ser el campo nulo
En el exterior, empleamos la expresión del rotacional en coordenadas esféricas:

6. El 0 de la segunda fila del determinante expresa el que sabemos que ninguna de las cantidades depende de la coordenada
acimutal y por tanto, todas las derivadas respecto a esta variable van a ser nulas.
Sustituyendo los valores de las componentes queda
Es decir, no hay densidades de corriente de volumen en ningún punto del espacio.
3.2 Densidad superficial
Para hallar la densidad superficial de corriente en la superficie de la esfera aplicamos la condición de salto
Sustituyendo las expresiones del campo justo fuera de la superficie y justo dentro de ella

7. Tenemos entonces una densidad de corriente en la dirección acimutal, que se anula en los polos de la esfera y es máxima
en el ecuador.
4 Comportamiento asintótico del campo
En puntos alejados de la esfera, los términos que van como 1 / r3 se hacen despreciables, por lo que el campo se reduce a
A partir de las relaciones entre las diferentes bases vectoriales, podemos ver que este campo es simplemente
esto es, en puntos alejados de la esfera es simplemente un campo uniforme en la dirección del eje Z.
5 Momento dipolar magnético
5.1 A partir del campo
El campo exterior completo es igual al que acabamos de hallar más otro término. Podemos escribir la descomposición
como
siendo el asintótico
y el resto

8. El que este campo decaiga como el cubo de la distancia ya lo identifica como campo dipolar.
Si consideramos el campo de un dipolo en la dirección del eje Z,
queda
Vemos que la expresión es completamente idéntica a la anterior si hacemos
lo que nos da el momento dipolar
El momento dipolar va en sentido opuesto al campo asintótico, verificando la regla de la mano derecha respecto a las
corrientes superficiales.

9. 5.2 A partir de las corrientes
El momento dipolar se puede hallar también a partir de las corrientes que fluyen por la superficie de la esfera,
cumpliéndose
Sustituyendo los diferentes términos
Aquí hay que tener cuidado a la hora de integrar porque los vectores de la base dependen de la posición. Pasando a la
base cartesiana

10. La integral en da un factor 2π, mientras que las integrales en θ cumplen
Lo que nos da finalmente
coincidente con el valor obtenido anteriormente.