Este documento discute los conceptos clave de cálculo numérico y manejo de errores. Explica que el análisis numérico usa algoritmos iterativos para obtener soluciones numéricas a problemas matemáticos. También describe varios tipos de errores como el error de truncamiento, el error numérico total, los errores humanos y el error inherente. Además, define el error absoluto y el error relativo, y explica cómo se propagan los errores a través de cálculos matemáticos.

1. Cálculo Numérico Y Manejo de Errores
Antes de comenzar es necesario tomar en cuenta el concepto que se entiende como
Análisis Numérico.
El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que mediante al uso de
algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática
simbólica o (analítica) resulta poco eficiente en consecuencia no puede ofrecer una
solución. En particular, a estos algoritmos se les denomina Métodos numéricos.
El desarrollo de esta materia corre de igual forma con el desarrollo tecnológico de la
computación. La computadoras al igual que las calculadoras están facultadas para realizar
una multitud casi infinita de operaciones algebraicas, esto los convierten en unas de las
herramientas para la aplicación de los métodos numéricos.
Como consecuencia de esto, por lo general los métodos numéricos arrojan soluciones
numéricas arrojan soluciones numéricas. Si en determinado caso se desea obtener
soluciones analíticas se deberá recurrir a los procedimientos algebraicos acostumbrados.
Es importante saber que las soluciones numéricas conllevan una cota de error, este error
debe considerarse en su manejo y desarrollo.
Una actividad muy frecuente en la ingeniería consiste en trabajar con modelos
matemáticos representativos. Como consecuencia de esto existen diferentes resultados
obtenidos experimentalmente y los emanados propiamente del modelo matemático.
A las diferencias cuantitativas se denomina ERRORES.
Existen diferentes errores y sus clasificaciones:
Error por truncamiento:
Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones
para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente
imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se
halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al
error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de
truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en
serie de Taylo r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende
del método numérico empleado.

2. Error numérico total:
Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el
cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de
redondeo se irá incrementando.
Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en
la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y
seguramente mayor error de redondeo).
Errores humanos:
Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números
erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error
es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios
fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema. Los
errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.
Error inherente:
En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error
debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada
magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero
presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. A este
tipo de error se le denomina error inherente.
Error absoluto:
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor
calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin

3. reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez
están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero,
con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero
también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un
enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente
distribuidos.
Error relativo:
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor
es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o
redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces
utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se
utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de
punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles
depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación
de arriba compensa este efecto.
Propagación del error
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son más
importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se
propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede
suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación,
seguidamente se calcula la diferencia entre los números:
a = 0.276435 b = 0.2756

4. Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y
trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error
relativo cometido es:
a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3
b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los
aproximados se obtiene:
a - b = 0:000835
a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este
ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los
datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar un resultado carente
de significado.
El Numero Maquina Es un sistema numérico que consta de dos dígitos Ceros y Unos.
Cuando se habla de este término significa que es de base 2, lamas pequeña posible.
Daniel Zambrano
CI: 22197321