1. Explica los diferentes tipos de errores que pueden ocurrir al realizar cálculos numéricos, incluyendo errores de redondeo, truncamiento, humanos e inherentes. 2. Señala que los errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con datos que contienen errores. 3. Resuelve dos ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aproximan números reales a números de máquina y cómo se propaga el error.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
VICERRECTORADO ACADEMICO
ALUMNO:
SABAS QUERALES
C.I. 20.235.148
CABUDARE, 2015

2. Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia
entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:
e = Vr – Va
Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma
relativa.
Tipos de errores
Error de redondeo:
Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son
debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas
como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de
cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
* Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro
de la memoria correspondiente.
* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número
en particular: para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la
localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor
o igual a 5.
Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la
memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.
Error por truncamiento: Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un
número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado
problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso
debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar,
sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un
proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo
de acciones es el desarrollo en serie de Taylo r. Este es independiente de la manera de
realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.
Error numérico total: Se entiende como la suma de los errores de redondeo y
truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para
obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

3. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en
la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y
seguramente mayor error de redondeo).
Errores humanos: Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras
pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son
muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen
conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de
la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente
inevitables pero se pueden minimizar.
Error inherente: En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen
un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una
determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de
acero presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey.
A este tipo de error se le denomina error inherente.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementa juntos, sin
reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez
están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero,
con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero
también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un
enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente
distribuidos.
Error relativo: Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado.
Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la
magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La
mayor parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado] / [exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando
se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de
punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles

4. depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación
de arriba compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable
(es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la
unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error debería ser "invariante de las
escalas", de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el
error aparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas
puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las
ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en
una base porcentual. Propagación del error.
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son más
importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se
propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede
suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación,
seguidamente se calcula la diferencia entre los números:
a = 0.276435 b = 0.2756
Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y
trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error
relativo cometido es:
a=0.276 error relativo= 1.57x10-3 b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los
aproximados se obtiene:
a - b = 0:000835 a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este
ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los
datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar un
resultado carente de significado.
1. Si se utiliza la estrategia de redondeo, ¿cuál es el número máquina del sistema F(4, -10,
10, 10) que se obtiene como potencia cuarta del número máquina que aproxima al número p
?. ¿Y cuál sería el número máquina que aproximaría a 4 p?.

5. Solución: En el sistema F (4, -10, 10, 10) el número p = 3.141592... Es redondeado por el
número máquina: z = 0.314·10 1. Se tiene entonces que el número real: z 2 = z·z =
0.09859...·10 2 es aproximado por el número máquina: w = 0.986·10 1. A su vez el número
real w 2 (que aproximaría z 4 ) es: w 2 = w·w = 0.97219...·10 2 que se aproximaría
redondeando por el número máquina: v = 0.972·10 2 . El número real 4 p es: 4 p =
97.40909.... Y se aproximaría mediante redondeo por el número máquina q = 0.974·10 2 .
El error cometido al operar de una u otra forma es por ello: 0.002·10 2 = 0.2.
2. ¿Cuántos números máquina del sistema F(4, -10, 10, 10) son estrictamente mayores que
103 y estrictamente inferiores que 1237?.
Solución: El número 103 en el sistema de números máquina se representa por: z = 0.103·10
3 . Estrictamente mayores que él pero con el mismo exponente existirán los números
máquina 0.104·10 3 , 0.105·10 3 , 0.106·10 3 , ....., 0.999·10 3 . Es decir 896 números. Por
otra parte el número máquina que aproxima a 1237 será 0.123·10 4 (si se actúa por
truncado) o 0.124·10 4 si se procede mediante redondeo. En todo caso el mayor número
máquina estrictamente inferior a 1237 es 0.123·10 4 . Con exponente igual a 4 y que sean
menores o iguales que 0.123·10 4 se tienen los números máquina 0.100·10 4 , 0.101·10 4 ,
0.102·10 4 , ...., 0.122·10 4 y 0.123·10 4 . Es decir 24 números máquina. En resumen se
tienen 896 + 24 = 920 números máquina del sistema F(4, -10, 10, 10) estrictamente
superiores a 103 y estrictamente inferiores a 1237.