Calculo

1. CALCULO DIFERENCIAL
Sucesiones y Progresiones
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

2. CONTENIDO
 UNIDAD 1: ANÁLISIS DE
SUCESIONES Y PROGRESIONES
CAPITULO 1: LAS SUCESIONES
LECCIÓN 1 Generalidades
LECCIÓN 2 Sucesiones Monótonas
LECCIÓN 3 Sucesiones Acotadas
LECCIÓN 4 Sucesiones Convergentes
LECCIÓN 5 Límite de una Sucesión
LECCIÓN 6 Sucesiones Divergentes
CAPITULO 2: LAS PROGRESIONES
LECCIÓN 8 Progresiones Aritméticas
LECCIÓN 9 Progresiones Geométricas
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

3. FUNCIONES
• Una función es una regla
de asociación que relaciona
dos o mas conjuntos entre
si; generalmente cuando
tenemos la asociación dos
conjuntos las función se
define como una regla de
asociación entre un conjunto
llamado dominio con uno
llamado codominio, también
dominio e imagen
respectivamente o dominio y
rango.
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

4. LAS SUCESIONES
IMAGEN –
CODOMINIO
DOMINIO
ENTEROS POSITIVOS
N ={ 1, 2, 3, 4, …. n}
n F(n)
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

5. LAS SUCESIONES
Una sucesión es entonces una secuencia, que se halla a
través de una función.
• Sea n = a, a+1, a+2, a+3,… Entonces: Ua es el primer
término de la sucesión y Un el n-esimo término de la sucesión
es decir n ={ 1 , 1+1, 1+2, 1+3 …} ; n={ 1,2,3,4,…}
• La notación para una sucesión esta dada por:
DOMINIO PRIMER VALOR
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

6. DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES
1. TERMINO GENERAL: Es decir reemplazamos valores
En este caso se reemplaza n para hallar los valores de la
sucesión:
n=1 Un = {1 + 2}
Por lo tanto la sucesión queda así:
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
8
Ms. Carmen Emilia Rubio V. Un={3,4,5,6,7,8,,,}

7. EJERCICIO
Un=2n2-1
U1= 2(1)-1=1 U2= 2(2)-1=3 U3= 2(3)-1=5 U4= 2(4)-1=7
Un= { 1,3,5,7 }
푈푛 =
푛
3푛+2 푛≥3
U3=
3
3(3)+2
=
3
11
U4=
3
3(4)+2
=
3
15
U5=
3
3(5)+2
=
3
17
Un= {3/11, 3/15, 3/17 }
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

8. DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES
2. PRIMEROS TÉRMINOS: Un = {1,3,5,7,8,…}
?
0
1
2
3
4
1
3
5
7
8
Que operación se necesita para obtener el valor de codominio?
1+0 =1
1+2 =3
1+4 =5
1+6 =7
1+7 =8
1+2*0 =1
1+2*1 =3
1+2*2 =5
1+2*3 =7
1+2*4 =8
1+? Un={1+2n}n≥0
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

9. EJERCICIO
푈푛 = −4, −6, −8, −10, …
U1 ={-4} aumenta={-2}
푈1 = {-2*1-2} 푈2 = {-2*2-2} 푈푛 = −4, −6, −8, −10, …
푈푛 = −2푛 − 2
푈푛 =
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, …
U1 ={
1
2
} aumenta={
1
2
}
푈푛 ={ 1/2n }
-2-2 =-4
-4-2 =-6
-6-2 =-8
-8-2 =-10
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

10. DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES
3. EL PRIMER TÉRMINO Y LA RELACIÓN DE
RECURRENCIA: La recurrencia consiste en identificar un
término de la sucesión, en función del término anterior, es decir
identificar Un conociendo Un-1.
U0 = {3} Un = {2+ Un-1}
U1 = {2+ U0} = 2 + 3 = 5
U2 = {2+ U1} = 2 + 5 = 7
U3 = {2+ U2} = 2 + 7 = 9
U4 = {2+ U3} = 2 + 7 = 11
Un ={3 , 5, 7, 11,…}
0+3=3
2+3=5
4+3=7
6+3=9
2*0+3=3
2*1+3=5
2*2+3=7
2*3+3=9
Un={ 2n+3 }
Que operación se necesita para obtener el valor de codominio?
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

11. EJERCICIO
푈0 = −1 푢푛 = 푢푛−1 − 3
푢1 = 푢1−1 − 3 = 푢1 = −1 − 3 = −4
푢2 = −4 − 3 = −7 푢3 = −7 − 3 = −10 푢4 = −10 − 3 = −13
-1-0=-1
-1-3=-4
-1-6=-7
-1-9=-10
-1-12=-13
Un={ -1, -4,-7,-10,-13,..}
Un=-1-3n
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

12. DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES
• Sucesión Infinita: Una sucesión se considera infinita, si el
dominio es el conjunto de los números naturales.
• Sucesión Finita: Una sucesión se considera finita, cuando el
dominio es un subconjunto de los números naturales, de tal
forma que N £ k , para k un natural.
La matemática se fundamenta en la sucesiones infinitas..
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

13. SUCESIONES MONOTONAS
• El concepto de monotonía,
esta relacionado con el
aumento o disminución de
una secuencia.

14. SUCESIONES CRECIENTE
Dada la sucesión: un = {n2 + 2} Mostrar que es
creciente, Ejemplo:
Teniendo en cuenta: reemplazamos
{(n +1) 2+ 2} – {n2 + 2} = {n2+2n+1+2}-{n2 + 2}
= {n2+2n+3} - n2-2 = { 2n+1}
Da los valores un = { 1, 3 , 7 , 9, …}
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

15. SUCESIONES DECRECIENTE
Dada la sucesión: un = {
4
푛+2
} Mostrar que es
decreciente:
Teniendo en cuenta: reemplazamos
{{
4
(푛+1)+2
} } – {
4
푛+2
} ≤ 0  {
4
푛+3
} – {
4
푛+2
} =
4 푛+2 −4(푛+3)
(푛+3)(푛+2)
=
4푛+8−4푛−12
(푛+3)(푛+2)
=
4푛+8−4푛−12
(푛+3)(푛+2)
=
−4
(푛+3)(푛+2)
Da los valores un = { -4,
−4
12
,
−4
20
,… }
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

16. SUCESIONES ACOTADAS
ACOTADAS SUPERIOR
Es decir dada un sucesión, el mayor valor que obtiene la sucesión es M
ACOTADA INFERIOR
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

17. EJEMPLO ACOTADA
SUPERIOR
Un={-2n2 – n +3} n≥0  U0={-2(0)2 – (0) +3}= 3
Mínima cota Superior U1={-2(1)2 – (1) +3}= 0
M= 3 U2={-2(2)2 – (2) +3}= -7
Es acotada superior llega a un punto máximo, no
tiende a +∞, tiende a -∞
INFERIOR
Un={n2 – 2} n≥0  U0={(0)2 – 2} ={-2)
U1={(1)2 – 2} ={-1) U2={(2)2 – 2} ={2)
Es acotada inferior porque llega a un punto mínimo, no
tienden a - ∞ Mínima cota Inferior =-2
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

18. EJEMPLO ACOTADA
HALLAR LA MÍNIMA COTA SUPERIOR
푈푛 =
푛
3푛 + 2 푛≥3
U3=
3
3(3)+2
= {3/11} U4=
4
3(4)+2
= {4/14}
U5=
5
3(5)+2
= {5/15}
Mínima cota M= 3/11
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

19. SUCESIONES ACOTADAS
• Una sucesión es acotada, si admite una cota superior
y una cota inferior.
Es decir tiene un valor mínimo y máximo
Ejemplo: Un={n2 - 4} Establecer si es acotada
Hallar la sucesión
U1= {(1)2 – 4}={-3} U2= {(2)2 – 4}={0}
U3= {(3)2 – 4}={5} mínimo=-3 máximo=+ ∞
푈푛 =
4
푛−3 푛≥4
 푈푛 = {4, 2,
4
3
, 1,
4
5
,
4
6
, ..}
ES ACOTADA? No Ms. Carmen Emilia Rubio V.

20. SUCESIONES CONVERGENTES
La convergencia esta relacionada con la tendencia
que tiene un conjunto de valores, hacia un valor
dado, se estudia hacia donde tiende una sucesión,
cuando n crece indefinidamente.
VECINDAD:
• La vecindad esta asociada a la cercanía que se
desea un punto respecto a sus alrededores
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

21. EJEMPLO DE VECINDAD:
Hallar el centro y radio de la vecindad definida por:
V0.1(2)
1,9 2
2,1
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

22. SUCESIONES
• SUCESIÓN CRECIENTE: una sucesión que
aumenta Ejemplo: Un={1,2,3,4}
• SUCESIÓN DECRECIENTE: una sucesión
que disminuye Ejemplo: Un={
1
2
,
1
4
,
1
8
, …}
• SUCESIÓN CONVERGENTE: Es cuando
se puede hallar su límite un número R.
• SUCESIÓN DIVERGENTE: Es cuando no
tiene límite
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

23. SUCESIONES
• Son criterios necesarios para trabajar los límites,
que a su vez son necesarios para hallar las
derivadas.
LIMITES DE UNA SUCESIÓN
Un=
1
푛
0 1/4 1/3 1/2 1
Es una sucesión que decrece y se hace tan
pequeño como se quiera
Un= (1, ½ ,
1
3
,
1
4
, …)  lim
푛→∞
푈푛 = 0
Límite de la
Sucesión
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

24. LIMITES DE UNA SUCESIÓN
1. an=
3푛2+8
7푛2+3푛+1
=
lim
푛→∞
푈푛 = lim
푛→∞
3푛2+8
7푛2+3푛+1
= lim
푛→∞
3푛2 + 8
= lim
푛→∞
3푛2 + lim
푛→∞
8
2, an=
1
푛+3
= lim
푛→∞
푈푛 = lim
푛→∞
1
푛+3
lim
푛→∞
=
7푛2 + 3푛 + 1
Ms. Carmen Emilia Rubio V.
lim
푛→∞
7푛2 +lim
푛→∞
3푛 +lim
푛→∞
1
=
8
1
=8
lim
푛→∞
1
lim
푛→∞
푛 + 3
=
lim
푛→∞
1
lim
푛→∞
푛 + lim
푛→∞
3 =
1
3

25. PROGRESIONES
Las progresiones aritméticas están asociadas con
secuencia donde los valores van creciendo o
decreciendo en la misma proporción.
TERMINO GENERAL:
Ua= Primer término
n = Número de términos de la progresión
d = Diferencia común
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

26. EJEMPLOS PROGRESIONES
Un={1,3,5,7,9,..} hallar el termino general.
Ua=1 d=2
Un={Ua+(n-a)d} = 1 + 2(n-a)
Determine el 9 término
Un={Ua+(n-a)d}  U9= 1 +2(9-1) = 17
Determine el 25 término
Un={Ua+(n-a)d}  U25= 1 +2(25-1) = 49
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

27. SUMA n PRIMERO TERMINOS
Las progresiones aritméticas están asociadas con
secuencia donde los valores van creciendo o
decreciendo en la misma proporción.
TERMINO GENERAL:
U=-1/4 d = 1 hallar la suma de los 5 primeros
1términos
U={U+(n-1)d}  U={-1/4+(5-1)*1}
515U=-1/4+4  U= 15/4
55SUMATORIA:
푛(푈푎+푈푛)
s=
2
 s=
5(−1/4+15/4)
2
=
5(14/4)
2
=
70/4)
2
= 8,75
Ms. Carmen Emilia Rubio V.

28. EJERCICIO
• Sea la progresión aritmética 푢푛 = 1,4,7,10,13 …
Hallar
• El la suma de los primeros 15 términos
U1={1} d = 1
Un={U1+(n-1)d}  U15={1+(15-1)*3}
U15= 43
SUMATORIA:
s=
푛(푈푎+푈푛)
2
 s= 15(1+U15)
2
=
15(1+43)
2
= 330
Ms. Carmen Emilia Rubio V.