Este documento presenta un resumen de una sesión de aprendizaje sobre el cálculo de máximos y mínimos de funciones utilizando la primera y segunda derivada. Explica conceptos como puntos críticos, criterio de la primera derivada, concavidad, punto de inflexión y criterio de la segunda derivada. Luego, propone ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos y los resuelvan en equipo. Finalmente, invita a los estudiantes a realizar una reflexión metacognitiva sobre lo aprendido.

1. UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
MATEMÁTICA PARA ARQUITECTURA
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA
DERIVADA
Departamento de Ciencias

2. PROBLEMATIZACIÓN:
Si se sabe que el costo total C
(expresado en dólares) de construcción
de un edificio de n pisos esta expresado
por:
𝑪 𝒏 = 𝟐𝒏𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝒏 + 𝟐𝟐 𝟎𝟎𝟎
¿ Cuál será el número de pisos a
construir para que el costo por piso sea
mínimo?

3. SABERES PREVIOS:
¿Cómo se calcula los puntos críticos?
¿Cómo se determinan los intervalos
concavidad?
¿ En que consiste el criterio de la primera
derivada?
¿Cómo se determinan los intervalos de
crecimiento y decrecimiento?
¿ En que consiste el criterio de la
segunda derivada?

4. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje
el estudiante resuelve ejercicios y
problemas relacionados a su
carrera, determinando valores
máximos y mínimos de una función
a partir del criterio de la primera y
segunda derivada.

5. CONTENIDOS
1.- Puntos críticos
2.- Criterio de la primera derivada
3.- Concavidad
4.- Punto de inflexión
5.- Criterio de la segunda derivada
6.- Ejercicios propuestos
7.- Trabajo en equipo
8.- Metacognición
9.- Referencia Bibliográfica

6. 1.- PUNTOS CRÍTICOS
EJEMPLO:
Encuentre los puntos críticos en las siguientes funciones:
Sea c un valor en el dominio de la función f tal que f’(c)=0,
entonces el punto crítico es (c;f(c)).
La primera derivada:
𝑓(𝑥)′ = −2𝑥
𝑓(𝑥)′ = 0
−2𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜: 𝑥 = 0
𝑓(𝑥)′ = 𝑥2 − 6𝑥 + 8
La primera derivada:
𝑓(𝑥)′ = 0
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 ⟹ 𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 0
𝑥 − 2 = 0 𝜈 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 2 𝑥 = 4
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 2; 𝑥 = 4

7. Encuentre los puntos críticos en la siguiente función:
EJERCICIO
𝑓 𝑥 = 𝑥4 +
4
3
𝑥3 − 4𝑥2
La primera derivada:
𝑓(𝑥)′ = 4𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥
𝑓(𝑥)′ = 0
4𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 = 0
4x 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
4𝑥 𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0
4𝑥 = 0 ; 𝑥 + 2 = 0 ; 𝑥 − 1 = 0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 0 ; 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1

8. Encuentre los puntos críticos en la siguiente función:
EJERCICIO
𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥
La primera derivada:
𝑓(𝑥)′ = 3𝑥2 − 3
𝑓(𝑥)′
= 0
3𝑥2 − 3 = 0
3 𝑥2
− 1 = 0
3 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = −1; 𝑥 = 1

9. 2. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Se llama criterio de la primera derivada al método o teorema
utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar
los mínimos y máximos relativos que pueden existir en
una función mediante el uso de la primera derivada o derivada
principal.

10. 2.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
1.
2.
3.
Crece Decrece
c
Decrece Crece
c
Crece Crece
c Decrece Decrece
c
Sea c un número del dominio de la función f , donde la primera derivada se
anula f’(c)=0 y considere el punto crítico (c, f(c)), entonces:

11. 2.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
EJEMPLO
Solución
Los puntos son:
Hallamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento
2.
Hallamos los puntos que anulan a la derivada de f:
1.
Creciente Creciente
decreciente
✔ Punto mínimo
3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:
✔ Punto máximo
Halle los puntos máximos y mínimos de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
𝟑(𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝟎
𝒙 = −𝟐 , 𝒙 = 𝟐

12. Solución
Hallamos los puntos que anulan a la derivada de f:
Los puntos son:
1.
Hallamos los intervalos de crecimiento o decrecimiento
2.
Creciente Creciente
decreciente decreciente
✔ Punto máximo
3. Hallamos los puntos máximos o mínimos:
✔ Puntos
mínimos
EJEMPLO
2.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Halle los puntos máximos y mínimos de 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 +2
4𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎
𝒙 = 𝟎 , 𝒙 = −𝟏 , 𝒙 = 𝟏

13. 3. CONCAVIDAD
Sea 𝑓 dos veces derivable en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏 .
1.Si 𝑓′′
𝑥 > 0 para todo
𝑥 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓
es cóncava hacia arriba
en 𝑎, 𝑏 .
2.Si 𝑓′′
𝑥 < 0 para todo
𝑥 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓
es cóncava hacia abajo
en 𝑎, 𝑏 .

14. 4. PUNTO DE INFLEXIÓN
Sea 𝑓 continua en 𝑐. Llamamos a 𝑐, 𝑓 𝑐 un punto de
inflexión de la gráfica de 𝑓, si 𝑓 es cóncava hacia arriba a
un lado de 𝑐 y cóncava hacia abajo del otro lado de 𝑐.
El punto ( c; f(c)) es punto de inflexión, si f ’’(c) = 0 y f’’’(c) ≠ 0

15. 5. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Supóngase que 𝒇′ y 𝒇′′ existen en todo punto de un intervalo abierto que
contiene a 𝒄 y supóngase que 𝒇′
𝒄 = 𝟎.
⮚ Si 𝑓′′
𝑐 > 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor mínimo relativo de 𝒇.
⮚ Si 𝑓′′
𝑐 < 0 ,entonces 𝒇 𝒄 es un valor máximo relativo de 𝒇.
f ´(c) = 0, f ´´(c) > 0
c c
f ´(c) = 0, f ´´(c) < 0
máximo relativo
mínimo relativo

16. Encontrar los máximos y mínimos locales de la siguiente función, usando el
criterio de la segunda derivada, además mencione los intervalos de
concavidad, el punto de inflexión y grafique:
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏
EJERCICIO
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Intervalos (-inf,-2) (-2,1) (1,+inf)
ValPrueba x=-3 x=0 x=2
Signo f´(x) f´(x)>0 f´(x)<0 f´(x)>0
Conclusión Creciente Decreciente Creciente
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Intervalos (-inf,-2) (-2;-0,5) (-0,5;1) (1,+inf)
ValPrueba x=-3 x=-1 x=0 x=2
Signo f´´(x) f´´(x)<0 f´´(x)<0 f´´(x)>0 f´´(x)>0
Conclusión

17. GRÁFICA

18. Para el producto que comercia un monopolista la función demanda es
y la función de costo es ¿A qué nivel de
producción se maximiza la utilidad? ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
EJERCICIO
70 0,02
p q
= − ( ) 800 30
C q q
= +

19. 6. EJERCICIOS PROPUESTOS
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟑
Encontrar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones,
usando el criterio de la segunda derivada, además mencione los intervalos
de concavidad, el punto de inflexión y grafique:
a)
b)
c)

20. En equipos de 4 estudiantes, desarrollar los ejercicios
indicados por el docente.
7.- Trabajo en equipo

21. 8.- METACOGNICIÓN
• ¿Qué he aprendido en esta sesión ?
• ¿Qué errores he cometido a lo largo del
desarrollo de este contenido?
• ¿Cómo los he superado?
• ¿Puedo aplicar estos conocimientos en mi
carrera?, ¿en qué casos?

22. 9.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

23. GRACIAS