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COLUMNAS ESBELTAS
Ing. Cesar Leonidas Cancino Rodas
Docente UPAO

Pequeña introducción
Columna esbelta
Falla por inestabilidad
lateral (pandeo
flexionante)
Columna corta
Falla por aplastamiento
del material de la que
esta hecha

Contenido
1. ¿Columna esbelta?
2. Parámetros que controlan la resistencia de las columnas esbeltas
3. Columnas cargadas concéntrica mente que forman parte de marcos
o pórticos sin desplazamiento lateral (arriostrados)
4. Columnas cargadas concéntrica mente que forman parte de marcos
o pórticos con desplazamiento lateral (no arriostrados)
5. Compresión más flexión
6. Criterios del Código ACI para no tener en cuenta los efectos de
esbeltez
7. Criterios del Código ACI para determinar cuando un pórtico esta
arriostrado
8. Método de amplificación de momentos del Código ACI para pórticos
arriostrados
9. Método de amplificación de momentos del Código ACI para pórticos
no arriostrados

¿Columna esbelta?
Si las dimensiones de la sección
transversal son pequeñas en
comparación con su longitud
Son aquellas columnas cuya
capacidad de carga axial
(resistencia) se reduce debido a
los momentos de segundo orden
causados por la desviación
lateral de la columna (pandeo).
El Código ACI considera a una
columna esbelta cuando su
capacidad de carga axial se
reduce en mas del 5% (¿
sección?)

Parámetros que controlan la resistencia de las
columnas esbeltas
a) Longitud
b) Grado de restricción en los extremos (factor de longitud efectiva)
c) El tipo de estructura de la que forma parte la columna
d) Módulo de Elasticidad
e) Distribución de la sección transversal
2
2
l
EI
Pcr 

 Articulada en ambos extremos
 Material elástico
 Material Homogéneo
 Recta
 Prismática l
P
P
y
Estas deflexiones continúan aumentando hasta que el
esfuerzo por flexión causado por el momento creciente,
simultáneamente con el esfuerzo de compresión, producen
un sobre esfuerzo y la falla del elemento

Parámetros que controlan la resistencia de las columnas
esbeltas: Longitud

columnas esbeltas: Longitud
Pn
P falla
(kl/r)lim
Aplastamiento
Pandeo
(kl/r)

esbeltas: grado de restricción en los extremos
KL=0.5L
KL=L
KL=0.70L
 o: Centro de la curvatura
 K: factor de longitud efectiva
 KL: Longitud efectiva: Distancia entre los puntos de inflexión
o o
o
Pi: Punto de
inflexión
o
Punto de
inflexión
2
2







kl
EI
Pcr 

columnas esbeltas: grado de restricción en los extremos
Restricción parcial
en los extremos
L
L/2<KL<L
Los extremos de la columna no sufren desplazamientos relativos
pi
pi
2
2







kl
EI
Pcr 

KL=L KL=2L
pi
pi
pi
pi
KL=2L
pi
2
2







kl
EI
Pcr 

Restricción parcial
en los extremos
L
L<KL<
∞
Los extremos de la columna sufren desplazamientos relativos
pi
pi
2
2







kl
EI
Pcr 

esbeltas: tipo de estructura
Cargas de gravedad Cargas laterales

Losas y columnas: Placa plana
Planta Elevación
Ancho efectivo de la losa

Losas y vigas
Planta Elevación

Muro estructural
Elevación
Columnas de borde
Pórticos interiores (toman las
cargas de gravedad
Gobierna la deformación por corte

Pórtico sin desplazamiento lateral (arriostrado)

Pórtico con desplazamiento con lateral (no arriostrado)

esbeltas: Modulo de elasticidad Las curvas tienen una recta
ascendente casi lineal cuya
pendiente varia de acuerdo a la
resistencia y se extiende hasta
aproximadamente 1/3 a ½ f´c.
Posteriormente adoptan la forma
de una parábola invertida cuyo
vértice corresponde al esfuerzo
máximo en compresión. La
deformación correspondiente a este
punto es mayor para los concretos
de alta resistencia. Sin embargo,
para los de menor resistencia es
casi constante e igual a 0.002.
La rama descendente de las
graficas tiene una longitud y
pendiente que varia de acuerdo al
tipo de concreto
1/3a 1/2 f`C

esbeltas: Modulo de elasticidad
El modulo de elasticidad de un material es un parámetro que mide la variación de
esfuerzo en relación a la deformación en el rango elástico. Es función del ángulo
de la línea esfuerzo deformación y es una medida de rigidez o resistencia a al
deformación de dicho material.

esbeltas: Modulo de elasticidad
2
2







kl
EI
Pcr 
Cuando el esfuerzo de pandeo Pc/A este por debajo
del limite de proporcionalidad E es igual al modulo
secante . Y si es mayor (caso normal) el pandeo
ocurre en el rango inelástico por lo tanto en la
formula se debe usar el modulo tangente.
A medida que el esfuerzo se incrementa Et
disminuye
E
c
Ei
Et
Modulo tangente y secante del concreto
Ei: módulo tangente inicial (pendiente correspondiente al
esfuerzo nulo)
Ec: módulo secante (Pendiente de una recta secante a
la curva, que une el punto de esfuerzo cero con otro
cualquiera de la curva
Et: módulo tangente (pendiente en cualquier punto de la
curva)
Deformación
unitaria
Esfuerzo
F`c
0.50F`c

esbeltas: Distribución de la sección transversal
2
2







kl
EI
Pcr 
12
3
bh
IX 
b
h
X
Y
X
Y
12
3
bh
IY 
d
X
Y
X
Y
64
4
d
I
I Y
X



X
Y
X
Y
ri
re
64
4
4





 



i
e
Y
X
r
r
I
I
A
X
I
X
r 
A
Y
I
Y
r 
bh
A  4
2
d
A


 
4
2
2
i
e r
r
A




Compresión mas flexión
yo
o
P<Pc
P<Pc
+ =
 Producto de
Mo + P
producto
de Mo
P<Pc
Me
Me
P<Pc

o
yo
y Py
P
Me
Diagrama de momentos
flectores
M=(P)(y)
P<Pc
y
y

P<Pc
P<Pc
Me
Me
Me
Me
Pórticos sin desplazamiento lateral

Compresión más flexión
a) Si consideramos solo la acción de los momentos en los extremos, la columna se
deformara (línea punteada verde). A la deflexión en una sección genérica
convenimos en llamarle yo y la deflexión máxima con o.
b) Al aplicar la carga axial, sobre la columna previamente deformado, su
deformación se incrementara de yo a y en la sección critica y de o a  en la
sección de máxima deflexion. Si hacemos un corte en la seccion generica el
momento causado por la carga axial, actuando excentricamente, es de Py
(momentos de segundo orden) los que se deben sumar a los momentoa actuantes
de Me (momento de primer orden), entonces el memento en esta seccion generica
es M=Me+Py.
En la figura anterior se presenta un elemento exijo por una combinación de carga
axial, P, y momento Me. Los momentos aplicados en ambos extremos tienen igual
magnitud pero sentido opuesto. Su comportamiento bajo carga axial se estudiara
empleando al superposición de efectos¿?

H/2
H
Mo,m
ax
P
M
o
Py
P<Pc
H/2
o

Mo, max
Mo
EL siguiente caso de estudio es el de una columna
articulada en ambos extremos, exigida por una
combinación de carga axial (P) y carga transversal
(H) aplicada a la mitad de su altura.
Al aplicarse la carga horizontal H la columna se
deforma (líneas discontinuas de color verde) la
deflexión máxima o se produce en el punto de
aplicación de la carga, la deflexion en la seccion
generica x es yo .
Sobre el elemento deformado se aplica la carga
axial ocasionando momentos, estos momentos
incrementan la deflexión máxima de o a y , en
la seccion generica la deflexion pasa de yo a y
La variación de los momentos flectores debido a H
es lineal siendo cero en los extremos y HL/4 en el
centro, el momento en una sección genérica x es
Mo=(H/2)(x).
Diagrama de
momentos flectores
x
P<Pc
yo
y

Pc
P
yo
y


1
1
H/2
H
P<Pc
H/2
o

x
P<Pc
yo
 Producto
de
Mo + P
 producto
de Mo
P<Pc
M
e
M
e
P<Pc

o
yo y
y

Para la sección mas esforzada la deflexión es  y el Momento correspondiente
Pc
P
P
M
P
M
M o
o
o







1
1
max
Esta expresión se puede modificar para obtener
Pc
P
M
M o


1
1
max
En donde
Pc
P

1
1
Es factor de amplificación que indica en cuanto se
incrementa el momento Mo por la presencia
de una Fuerza axial P simultanea.

Mo
P
M
Kl/r
Efectos de la esbeltez sobre los
momentos de las columnas
Mo Mn M
P
Pc
Pn
Efectos de la carga axial sobre los
momentos de las columnas: A medida
que la carga P aumenta, el momento
máximo en el centro aumenta a una
tasa mayor que la carga P

o
M
P<Pc
P<Pc
Me
Me
Py
= + =
e
M e
M
M 
max
ó
Py
M
M o 

max
Pc
P
yo
y
4
1
1



c
m
u
P
P
C
M
M


1
max










2
1
40
.
0
60
.
0
M
M
Cm
La amplificación de momentos depende de la magnitud relativa de los momentos
en los extremos , esta relación se expresa mediante una modificación a las
ecuaciones anteriores

Pórticos con desplazamiento lateral
P P
H
P P
p.i
H
Mo,max
P
Mp,max
H+P
Mmax
+ =

1. En elementos a flexión, la aplicación de compresión axial produce deflexiones
adicionales y momentos adicionales Py. A mas esbeltez los momentos
adicciones, Py, aumentan
2. Para columnas que forman parte de un pórtico sin desplazamiento lateral:
a) Si los elementos se deflectan en curvatura sencilla, los máximos de ambos
tipos de momentos, Mo y Py, ocurren en el mismo lugar o en sitio muy
cercanos y se suman totalmente
b) Si los elementos se deflectan en curvatura doble los máximas de ambos,
Mo y Py, no ocurren en la misma sección.
3. Para columnas que forman parte de pórticos con desplazamiento lateral, los
momentos máximos de ambas clases, Mo y Py, ocurren casi siempre en los
mismos sitios, los extremos de las columnas,

P P
H
P P
p.i
H
Mo,max
P
Mp,max
H+P
Mmax
+ =
P P
Mo,max
Mp,max
+

Criterios del Código ACI para no tener en cuenta los
efectos de esbeltez
1. Para columnas que forman parte de un pórtico sin
desplazamiento lateral:
2. Para columnas que forman parte de pórticos con
desplazamiento lateral
ACI
del
8
-
10
Ec.
12
34
2
1










M
M
r
klu
10.13.2
ACI
22

r
klu
Donde k : factor de longitud efectiva
lu : longitud no soportada, distancia libre de entre losas de entrepisos, vigas
u otros elementos que proporcionen soporte lateral.
r : radio de giro: columnas rectangulares r=0.30h y en columnas circulares
r= 0.25d

¿ Cuando podemos considerar que el pórtico no tiene
desplazamiento lateral ?
1. Por inspección
Cuando el elemento a compresión
se encuentra localizado en un piso
en el cual los elementos que
proporcionan arriostramiento
(muros de corte u otros elementos
de arriostramiento lateral) tienen
rigidez lateral suficiente para
limitar la deflexión lateral hasta
el punto en que la residencia de la
columna no se vea afectada en
forma sustancial ¿?

2. Cuando el resultado del análisis de segundo orden muestran que los momentos
no se incrementan en mas del cinco por ciento de los momentos obtenidos de
una análisis de primer orden.
El modelo para el análisis de segundo orden debe considerar la no linealidad del
material, el agrietamiento, los efectos de la curvatura del elemento,
desplazamiento lateral, duración de la carga, contracción , fluencia lenta y la
interacción con la cimentación.

3. Cuando el índice de estabilidad no es mayor de 0.05
c
u
o
u
l
V
P
Q  

Donde Pu y Vu : carga total mayorada y cortante de piso, respectivmente.
o : delexion relativa de primer orden entre la parte superior e inferior
del piso cauda por Vu
lc : longitud de la columna, distancia entre los nudos.
Q deberá calcularse para el caso dé la carga lateral, para la cual, Pu es un
máximo. Debe notarse que un pórtico puede contener pisos con y sin
desplazamiento lateral. Este chequeo no es aplicable cuando Vu=0

Método de amplificación de momentos para pórticos
sin desplazamiento lateral (ACI 10-12)
ACI
del
9
-
10
.......Ec.
..........
2
M
M ns
c 

El Código ACI proporcionada un
método aproximado de diseño que se
sustenta en incrementar ,amplificar, los
momentos obtenidos del análisis elástico
de primer orden para tener en cuenta los
efectos de la esbeltez en la reducción de
la capacidad de carga axial de las
columnas
La falla se produce, cuando la sección
sometida a mayor esfuerzo, la fuerza
axial P se combina con un momento
M=Mmax determinado por la
ecuación
Mmax=Mo
Pu
fMn

ACI
del
10
-
10
....Ec.
..........
..........
0
.
1
75
.
0
1



c
u
m
ns
P
P
C

 
ACI
del
11
-
10
Ec.
...
..........
..........
..........
2
2
u
kl
EI
Pc


 
ACI
del
13
-
10
....Ec.
..........
..........
1
4
.
0
12
-
10
Ec.
........
..........
1
20
.
0
d
g
c
d
se
s
g
c
I
E
EI
I
E
I
E
EI







EI es la rigidez efectiva que debe ser estimada teniendo en cuenta que la sección
no es homogénea, el comportamiento de los materiales sometidos a carga axial y
el agrietamiento del elemento. El Código proporcionad dos expresiones para
calcular EI:
a
factorizad
total
axial
carga
a
factorizad
permanente
axial
carga

d

Tanto la carga factorizada y la carga
total factorizada se asocian con la
misma combinación de carga

14
-
10
Ec.
.......
..........
..........
4
.
60
.
0
2
1










M
M
Cm
Cm es equivalente a un factor de corrección del momento. En la deducción del
amplificador de momento se ha supuesto que el momento máximo esta en o cerca
de la mitad de la altura de la columna.
Para elementos con cargas transversales entre sus extremos, Cm debe tomarse
como 1.0
En la ecuación 10-9 M2 no debe tomarse menor que
  15
-
10
Ec.
.......
..........
..........
03
0
015
0
min
2 h
.
.
P
M u
, 

alrededor de cada eje separadamente.

Factor de longitud efectiva k
El factor de longitud efectiva en pórticos rígidos depende del grado de restricción al
giro que tienen las columnas en sus extremos, esto es, si las rigideces de las vigas
que llegan a la columna en la parte superior y en la inferior son grandes o pequeñas
en comparación con la rigidez de la columna misma.
El grado de restricción en los extremos se determina con la siguiente expresión:



b
b
b
c
c
c
l
I
E
l
I
E

Para determinar las rigideces en los extremos se debe considerar los efectos de las
cuantías del refuerzo empleadas en las vigas y columnas, además, el agrietamiento
en las vigas, para tal efecto el momento de inercia de las vigas se tomara como
0.35 Ig y para las columnas el 0.75 Ig.
Para determinar el factor de longitud efectiva podemos emplear uno de los tres
métodos que a continuación se indican.
Deben incluirse solo los elementos del
piso que están en un plano

1. Ábacos de alineamiento de
Jackson y Moreland.

2. Ecuaciones simplificadas (Tomadas del British Standar Code of Practice)
 
0
.
1
05
.
0
85
.
0
0
.
1
05
.
0
70
.
0
min 








 B
A
k<
a) Columnas que forman parte de pórticos sin desplazamiento lateral
b) Columnas que forman parte de pórticos con desplazamiento lateral.
i. Ambos extremos restringidos
m
m
k 



 1
20
20
Para 2

m

Para 2

m

m
k 

 1
90
.
0
ii. Un extremo articulado

3
.
0
0
.
2 

k
El menor valor

3. Empleando tablas (James G. MacGregor)-
a) Columnas que forman parte de pórticos sin desplazamiento lateral
a) Tabla 12-2 se puede
emplear para determinar el
factor de longitud efectiva de
columnas que forman parte
de pórticos sin
desplazamiento lateral. Las
zonas sombreadas
corresponden a uno o ambos
extremos empotrados,
situación muy poco
probable, por lo que no se
debe emplear

4. El grado de restricción,, que proveee uan zapata aislada a una
columa se pùede calcular con la siguiente expresion:
s
f
c
c
c
C
K
I
l
I
E
4



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