Este documento resume las expresiones algebraicas racionales y raíces de polinomios. Cubre temas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas racionales, simplificación de fracciones complejas, división sintética de polinomios y encontrar raíces racionales de ecuaciones polinomiales de grado 3 o 4. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.

1. 1
Competencia 4: Expresiones algebraicas racionales
y raices de polinomios. (Duracion 11.5 hrs.)
1.1
iC-19 Suma y/o resta expresiones algebraicas racionales,
simpli…cando el resultado. ( 2hrs.)
Ejercicios:
3xy
(x + y) (x
1.2
2x
3y
5z
+
3yz
5xz
7xy
2b
5c
a
+
3b2 c 9ac2
18a2 b
a b
b
b2
+
a
a + b a (a + b)
2
x
3xy
4xy
+
2y) (x y) (x 2y) (x + y) (x y)
3
2
2
x 3x + 2 x (3x + 2)
=
=
=
=
=
70x2 + 63y 2 75z 2
xyz
6a3 c 4ab3 + 5bc3
18a2 b2 c2
a 2b
a
x3 3x2 y + 2xy 2
(x + y) (x y) (x 2y)
1
x
iC-20 Multiplica y/o divide expresiones algebraicas
racionales, simpli…cando el resultado. (2hrs.)
Pasos para multiplicar expresiones racionales: Para dividir expresiones
racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números racionales.
1. Multiplicar los numeradores.
2. Multiplicar los denominadores.
3. Simpli…car el resultado si es posible.
x2
x2
2x4 y 5
3x2
3x 10
4x + 4
15x2
8x3 y 2
x 2
x 5
=
=
5xy 3
4
x+2
x 2
Pasos para multiplicar expresiones racionales: Para dividir expresiones racionales se procede de la misma forma que se efectúa con los números
racionales.
1. Se multiplica el numerador de la primera expresión por el denominador
de la segunda expresión.
2. Se multiplica el denominador de la primera expresión por el numerador
de la segunda expresión.
1

2. 3. Se simpli…ca el resultado si es posible.
3x + 3
x2 1
15x2
5x2
3
6
x+1
x2 2x + 1
=
6x2
=
3x 3
x+1
Ejercicios:
3x5 y 3
10x3 y 4
2x3 y 7
9x2 y 5
x+2
x+4
3x + 12 x 4
x+5
x 3
4x + 20 x2 9
x2 2x x + 1
x2 1
x 2
2
x
2x 8 x + 4
x2 16
x+2
3x + 6 5x + 10
8
6
4a 12
8a2
5a + 15 a2 + 31a
x2 9
x+3
2
x
4 2x 4
x2 9
2x2 + 5x 3
2x2 6x
4x2 1
2
2
x
6x + 9 x
2x 3
x2 3x
3x2 + 3x
6a3 c
15ab
7ab2
2
2b
2bc
21a
3bc2
1.3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5x3
3y 5
1
3x 6
1
4x + 12
x
x 1
1
9
20
a 3
10a
2x 6
x+2
x 2
3x2
=
3
=
ac
5
iC-21 Simpli…ca expresiones algebraicas racionales, incluyendo fracciones complejas. (2.5 hrs.)
Ejercicios:
2

3. 1
x
2
1
x
3
x
2
x2
2
x2
3 x+3y
x+y
1 + xy y
x + 2 x2 1
2
x 1 x+2
1
x y
2
1 + xy+2y2
x2 y
1
+
1
x
1.4
=
2x
= x
1
1
=
2 (x y)
x+y
=
x+2
x 1
=
x+y
x2 + xy + y 2
iC-22 Calcula el residuo que resulta al dividir un polinomio de grado 3 ó 4, por un factor lineal, utilizando
división sintética. (2.5 hrs.)
La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un
polinomio de solo una variable, de orden n, entre un polinomio de orden 1 de la
forma x a donde x es la variable y a es una constante. Después de realizada
la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n 1 y el residuo
que es un número.
Ejemplo: Efectuar la siguiente división.
1. x3
2x2 + 5x + 3 entre x
2.
Paso 1: Para comenzar se obtienen los coe…cientes del polinomio en orden
decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si
falta un término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en
su lugar. Se escribe a la izquierda separado por una línea vertical el
valor despejado de a (es decir, x 2 = 0 dado que es un factor del
polinomio, por lo tanto x = 2). Se dibuja una línea horizontal por
debajo de a. Con esto queda planteada la división sintética, como se
muestra a continuación:
1
-2
5
3
2
Paso 2: El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la
línea horizontal.
3

4. 1
-2
5
3
-2
2
5
3
2
1
1
2
1
Paso 3: Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir
debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea
horizontal en la columna correspondiente al orden siguiente.
Paso 4: Se suma el coe…ciente del polinomio que está justo arriba del
número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se
escribe debajo de la línea horizontal.
1
2
1
-2
2
0
5
3
Paso 5: Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de
la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.
1
2
1
-2
2
0
5
0
5
3
10
13
Paso 6: Se interpreta el resultado de la división. El último número es el
residuo y los números anteriores son los coe…cientes del cociente de
orden n 1. Por lo tanto el resultado es el siguiente:
El cociente es: x2 + 5.
El residuo es: 13.
Por lo tanto se tiene:
x2 + 5 +
13
x
2
Ejercicios:
1. 2x4 3x3 15x2 10x+6 entre x 3. R.- Coe…ciente 2x3 +3x2 6x 28
con residuo igual a 78.
2. x3 5x2 + 3x + 14 entre x
igual a 5.
3. R.- Coe…ciente x2
4
2x
3 con residuo

5. 3. 2x3 5x2 + 7x 8 entre x
residuo igual a 68.
4. R.- Coe…ciente 2x2 + 3x + 19 con
4. 4x3 3x2 + 12x 9 entre x + 2. R.- Coe…ciente 4x2
residuo igual a 89.
11x + 40 con
5. x4 3x2 +2 entre x 3. R.- Coe…ciente x3 +3x2 +6x+18 con residuo
igual a 56.
6. x4 2x2 5 entre x+3. R.- Coe…ciente x3
igual a 58.
3x2 +7x 21 con residuo
7. x4 11x3 + 26x2 + 44x 120 entre x + 2. R.- Coe…ciente x3
52x 60 con residuo igual a 0.
8. x4 9x2 + x + 3 entre x
igual a 0.
3. R.- Coe…ciente x3
13x2 +
3x2 + 1 con residuo
9. 5x4 3x3 + 2x2 7x + 3 entre x 1. R.- Coe…ciente 5x3 + 2x2 + 4x 3
con residuo igual a 0.
10. 2x4 3x3 + 6x2 4 entre x
con residuo igual a 412.
4. R.- Coe…ciente 2x3 + 5x2 + 26x + 104
iC-23 Encuentra las raíces racionales de una ecuación polinomial de grado
3 ó 4, utilizando el teorema de raíces racionales, cuando el número posible
de tales raíces sea a lo más 8. (2.5 hrs.)
Las raíces de un polinomio son los valores de la variable para los cuales la
función polinomial toma el valor de cero. Dicho de otro modo, las raíces
de un polinomio son las soluciones de la ecuación. Y permiten expresar
una ecuación de la forma:
a0 xn + a1 xn
1
+ a2 xn
2
+ : : : + an = 0
de la siguiente forma:
(x
r1 )(x
r2 ) : : : (x
rn ) = 0
donde rn son las raíces del polinomio.
Ejemplo: Encontrar las raíces del siguiente polinomio:
f (x) = x3
6x2 + 11x
6
Paso 1: Se escriben los coe…cientes del polinomio en orden decreciente.
Si falta un término de correspondiente a algún orden, se coloca cero
en su lugar.
Paso 2: Se determinan los divisores del término independiente, en este
caso el término independientes es 6 y sus divisores son 1; 2; 3
y 6.
5

6. 1
-6
11
-6
1
-6
11
-6
2
Paso 3: Se escribe a la izquierda, separado por una linea vertical unos de
los divisores.
Paso 4: El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la
línea horizontal.
1
-6
11
-6
2
1
Paso 5: Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir
debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea
horizontal en la columna correspondiente al orden siguiente.
1
2
-6
2
11
-6
1
Paso 6: Se suma el coe…ciente del polinomio que está justo arriba del
número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se
escribe debajo de la línea horizontal.
1
2
1
-6
2
-4
11
-6
Paso 7: Se repiten los pasos 5 y 6 hasta terminar escribiendo debajo de
la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.
1
2
1
-6
2
-4
6
11
-8
3
-6
6
0

7. Paso 8: Se continua con al división sintética con los términos resultantes
de la operación anterior. Se determinan los divisores del término
independiente, para este caso el término independientes es 3 y sus
divisores son 1 y 3.
Paso 9: Se repiten los pasos de 2 a 8 hasta obtener las raíces, las cuales
son los divisores que se encuentran en la primera columna.
1
-6
2
-4
3
-1
1
0
2
1
3
1
1
1
11
-8
3
-3
0
-6
6
0
Para este caso las raices de f (x) son raices: f1; 2; 3g.
Ejercicios:
1. f (x) = x3 + x2
14x
3
2
2. f (x) = 4x + 20x
3. f (x) = 9x3
24. Las raíces de f (x) son:f 3; 2; 4g.
x
36x2 + 44x
3
2x2
16. Las raíces de f (x) son:
2
5. f (x) = x3
1 1
2 ; 2 g.
2
f 3 ; 4 ; 2g.
3
5. Las raíces de f (x) son: f 5;
4. f (x) = x + 3x + 2x. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 0g.
3
2
4
3
6. f (x) = x +4x
5x + 6. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 3g.
11x 30. Las raíces de f (x) son raíces: f 5; 2; 3g.
7. f (x) = x +5x +5x2 5x 6. Las raíces de f (x) son: f 3; 2; 1; 1g.
1
8. f (x) = 2x4 +x3 9x2 4x+4. Las raíces de f (x) son: f 2; 1; 2 ; 2g.
7