Este documento describe las compuertas lógicas y el álgebra de Boole. Explica las compuertas lógicas básicas como NOT, AND, OR y XOR y sus tablas de verdad. También cubre compuertas combinadas como NAND, NOR y NOR-EX. Finalmente, presenta teoremas y principios del álgebra de Boole para analizar y simplificar circuitos lógicos.

1. COMPUERTAS LÓGICAS Y
ÁLGEBRA DE BOOLE
Tabla de contenido
1. Electrónica Digital........................................................................................................................ 2
2. Compuertas Lógicas .................................................................................................................... 3
2.1. Lógica Positiva ......................................................................................................................... 3
2.2. Lógica Negativa ....................................................................................................................... 4
2.3. Codificación binaria ................................................................................................................. 4
2.4. Compuertas Lógicas básicas y tablas de verdad ..................................................................... 5
2.4.1. Compuerta NOT .................................................................................................................. 5
2.4.2. Compuerta AND .................................................................................................................. 6
2.4.3. Compuerta OR ..................................................................................................................... 7
2.4.4. Compuerta OR-EX o XOR ..................................................................................................... 7
2.5. Compuertas Lógicas combinadas ............................................................................................ 8
2.5.1. Compuerta NAND ................................................................................................................ 8
2.5.2. Compuerta NOR .................................................................................................................. 9
2.5.3. Compuerta NOR-EX ........................................................................................................... 10
2.6. Buffer's .................................................................................................................................. 10
2.7. Teoremas y principios del Álgebra de Boole para analizar y simplificar circuitos lógicos .... 11
2.7.1. Principios de dualidad ....................................................................................................... 11
2.7.2. Principios para XOR ........................................................................................................... 12
2.7.3. Resolución de un ejercicio a través de los teoremas ........................................................ 12

2. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
1. Electrónica Digital
La electrónica digital es una parte de la electrónica que se encarga de
sistemas electrónicos en los cuales la información está codificada en dos
únicos estados. A dichos estados se les puede llamar "verdadero" o "falso", o
más comúnmente 1 y 0, refiriéndose a que en un circuito electrónico digital
hay dos niveles de tensión.
Electrónicamente se les asigna a cada uno un voltaje o rango de voltaje
determinado, a los que se les denomina niveles lógicos, típicos en toda señal
digital. Por lo regular los valores de voltaje en circuitos electrónicos pueden
ir desde 1.5, 3, 5, 9 y 18 voltios dependiendo de la aplicación, así por ejemplo,
en una radio de transistores convencional las tensiones de voltaje son por lo
regular de 5 y 12 voltios al igual que se utiliza en los discos duros IDE de
computadora.
Se diferencia de la electrónica analógica en que, para la electrónica digital
un valor de voltaje codifica uno de estos dos estados, mientras que para la
electrónica analógica hay una infinidad de estados de información que
codificar según el valor del voltaje.
Esta particularidad permite que, usando Álgebra Booleana y un sistema de
numeración binario, se puedan realizar complejas operaciones lógicas o
aritméticas sobre las señales de entrada, muy costosas de hacer empleando
métodos analógicos.
La electrónica digital ha alcanzado una gran importancia debido a que es
utilizada para realizar autómatas y por ser la piedra angular de los sistemas
microprogramados como son los ordenadores o computadoras.
Los sistemas digitales pueden clasificarse del siguiente modo:
A) Sistemas cableados
Combinacionales
Secuenciales
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Memorias
Convertidores
B) Sistemas programados
Microprocesadores
Microcontroladores
2. Compuertas Lógicas
Dentro de la electrónica digital, existe un gran número de problemas a
resolver que se repiten normalmente. Por ejemplo, es muy común que al
diseñar un circuito electrónico necesitemos tener el valor opuesto al de un
punto determinado, o que cuando un cierto número de pulsadores estén
activados, una salida permanezca apagada. Todas estas situaciones pueden
ser expresadas mediante ceros y unos, y tratadas mediante circuitos
digitales. Los elementos básicos de cualquier circuito digital son las
compuertas lógicas.
2.1. Lógica Positiva
En esta notación al 1 (uno) lógico le corresponde el nivel más alto de tensión
y al 0 (cero) lógico el nivel más bajo, pero que ocurre cuando la señal no está
bien definida. Entonces habrá que conocer cuáles son los límites para cada
tipo de señal (conocido como tensión de histéresis), en este gráfico se puede
ver con mayor claridad cada estado lógico y su nivel de tensión.
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4. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
Código Estado Nivel de
Binario Tensión
1 Verdadero 3,5 - 5 voltios
0 Falso 0 – 2,5 voltios
Tabla No. 1 – Codificación Binaria según la lógica positiva
2.2. Lógica Negativa
Aquí ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los
niveles más bajos de tensión y al "0" con los niveles más altos.
Código Estado Nivel de
Binario Tensión
0 Verdadero 3,5 - 5 voltios
1 Falso 0 – 2,5 voltios
Tabla No. 2 – Codificación Binaria según la lógica negativa
2.3. Codificación binaria
La información binaria suele ser representada aplicando la lógica positiva, la
forma más sencilla de representar estos estados es como se puede ver en el
siguiente gráfico.
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5. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
2.4. Compuertas Lógicas básicas y tablas de verdad
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados
lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de
un lado se ingresan los datos, con esos datos se realiza una operación, y
posteriormente se muestra el resultado.
datos de compuerta
resultado
entrada lógica
Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo,
y la Operación lógica que realiza, se corresponde con una tabla, llamada
Tabla de Verdad.
2.4.1. Compuerta NOT
Es un inversor, por lo tanto invierte el dato de entrada, si ese dato es 1 (nivel
alto) se obtendrá como salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta
dispone de una sola entrada.
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6. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
a entrada
s salida
s es el resultado de la negación de a
2.4.2. Compuerta AND
Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica
es un producto entre ambas.
A y B entradas
C salida
C es el resultado del producto de A.B
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2.4.3. Compuerta OR
Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación
lógica, será una suma entre ambas.
A y B entradas
C salida
C es el resultado de la suma lógica de A+B
En este caso 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva
es como a y/o b, es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea
también 1.
2.4.4. Compuerta OR-EX o XOR
Es OR EXclusiva utiliza al menos dos entradas y lo que hará con ellas será
una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.
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8. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
a y b entradas
s salida
s es el resultado de la operación XOR entre a y b
En O Exclusiva la salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1.
2.5. Compuertas Lógicas combinadas
Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los
resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten y dan origen a tres
nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX.
2.5.1. Compuerta NAND
Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su
representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la
salida de la compuerta AND.
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9. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
a y b entradas
s salida
s es el resultado de la operación NAND entre a y b
2.5.2. Compuerta NOR
El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la
inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual
que antes, solo se agrega un círculo a la compuerta OR.
a y b entradas
s salida
s es el resultado de la operación NOR entre a y b
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10. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
2.5.3. Compuerta NOR-EX
Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se
pueden apreciar en la tabla de verdad.
a y b entradas
s salida
s es el resultado de la operación NOR-EX entre a y b
2.6. Buffer's
Su finalidad es amplificar la señal, en este caso no se realiza ninguna
operación lógica.
Como se muestra en el gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.
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11. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
2.7. Teoremas y principios del Álgebra de Boole para analizar y
simplificar circuitos lógicos
Los siguientes principios permiten analizar la mayoría de circuitos lógicos y
a menudo simplificarlos.
2.7.1. Principios de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley
lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los
operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y
de los 1 con los 0.
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión
al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la
correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la
tabla adjunta.
Adición Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
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12. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
9
2.7.2. Principios para XOR
2.7.3. Resolución de un ejercicio a través de los teoremas
Teniendo en cuenta lo anterior se presenta a continuación un ejercicio
aplicativo.
z = AC + A + BD + B
El primer paso es agrupar a través de los términos comunes como se
muestra a continuación:
z= A.(C + 1) + B.(D + 1)
Usando el primer teorema de los dados arriba, ésta expresión se reduce de
inmediato a lo siguiente:
z= A + B
El circuito lógico final sería:
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13. Compuertas Lógicas – Álgebra de Boole 2011
La tabla de verdad quedaría de la siguiente manera:
La simplificación de circuitos a través del álgebra Booleana reduce el número
de componentes requeridos para su construcción, en lugar de rastrear a lo
largo de un circuito lógico todas las combinaciones posibles de "unos" y
"ceros" hasta llegar a la salida del circuito, podemos rastrear el efecto de los
componentes sobre las variables simbólicas a la entrada, y sin necesidad de
recurrir a los "unos" y "ceros" podemos incluso intentar llevar a cabo una
simplificación del circuito que antes no estábamos posibilitados para hacer.
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