Este documento describe el algoritmo Stepping-Stone para probar la optimalidad de una solución a un problema de transporte. Explica los pasos del algoritmo de forma detallada: 1) seleccionar una variable no básica y formar un circuito con variables básicas, 2) asignar signos al circuito, 3) calcular el costo relativo, 4) repetir hasta que todos los costos sean positivos o haya uno negativo, en cuyo caso 5) actualizar la tabla con la variable de menor valor en el circuito de costo más negativo. El proceso se

1. Prueba de optimalidad con
algoritmo STEPPING-STONE en
Métodos de Transporte
Autor : Ing. Germán D. Mendoza R.

2. PROBLEMAS DE
TRANSPORTE
Algoritmos de
solución
básica Inicial:
• Método de la esquina
Noroeste
• Método del mínimo costo
• Médoto de Vogel
Prueba de
Optimalidad
• Salto de la piedra (Stepping-Stone)
• MultiplicadoresFASE 2:
FASE
1:

3. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO : ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
Para explicar sencillamente el algoritmo STEPPING-STONE tomaremos la siguiente
tabla la cual es el resultado o tabla final de un problema resuelto por algún algoritmo
básico inicial en la fase 1 como el de Esquina Noroeste, Costo mínimo o el de Vogel:
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 1 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

4. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
ACLARACIONES PREVIAS :
Las casillas que contengan unidades asignadas son las variables básicas y las que no (vacias(0)) son las NO básicas.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 1 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
Ejemplo de
Variable NO
Básica
Ejemplo de
Variable
Básica

5. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :1
•Seleccionar una (1) variable no básica (preferiblemente en orden para evitar confusiones)
y tres (3) o más básicas para formar un circuito cerrado con esquinas a 90 grados.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 1 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

6. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :2
Hacer movimiento en línea recta (como de la torre en el ajedrez) hasta enlazar
la variables seleccionadas formando un circuito cerrado.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 1 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

7. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :3
•Asignar signos positivo y negativo de manera alternada a las variables del
circuito iniciando con positivo (+) en la variable NO básica.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

8. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :4
Obtener el costo relativo del circuito, el cual se halla tomando las cantidades asignadas
y multiplicándolas por el costo asociado y sumando o restando las otras casillas del circuito
según los signos asignados en el anterior paso.
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
Coordenada de la
variable no básica

9. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :5
Continuamos con otra variable NO básica: para este caso, el circuito no se puede hacer con sólo 3
varibales básicas, así que debemos buscar la forma de hacerlo con más, utilizando para doblar a 90º
una básica (movimiento como la torre en el ajedrez).
CR-C1Ficticia = (0x0) – (2x0) + (1x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2)= -7
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 2 + 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 + 2 - 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

10. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :6
Siguiente variable NO básica (resumimos varios pasos en una sola diapositiva para no volver tan
extensa la presentación)
CR-C2F1 = (0x1) – (3x2) + (1x2) – (2x1) = -6
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
- 2 + 2 2 0
4
3 1
C2
+ 1 - 1 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

11. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 1 - 3 + 0
5
2 3
C3
2 2 + 2 - 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
7
Siguiente variable NO básica:
CR-C2Ficticia = (0x0) – (2x0) + (1x2) – (3x3) = -7

12. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :8
Siguiente variable NO básica
CR-C3F1 = (0x0) – (3x2) + (1x2) – (2x1)+(3x3)-(1x2) = 1
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
- 2 + 2 2 0
4
3 1
C2
1 - 1 + 3 0
5
2 3
C3
+ 2 2 - 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

13. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :9
Siguiente variable NO básica
CR-C3F2 = (0x2) – (2x1) + (3x3) – (1x2) = 5
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 2 2 0
4
3 1
C2
1 - 1 + 3 0
5
2 3
C3
2 + 2 - 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

14. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :10
Analizar lo siguiente: Si todos los costos relativos son positivos el algoritmo termina y
quiere decir que es la distribución óptima y no se conseguirá otro resultado mejor.
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9
CR-C1Ficticia = (0x0) – (2x0) + (1x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2)= -7
CR-C2F1 = (0x1) – (3x2) + (1x2) – (2x1) = -6
CR-C2Ficticia = (0x0) – (2x0) + (1x2) – (3x3) = -7
CR-C3F1 = (0x0) – (3x2) + (1x2) – (2x1)+(3x3)-(1x2) = 1
CR-C3F2 = (0x2) – (2x1) + (3x3) – (1x2) = 5
•Si al menos uno de los costos es negativo (como es el caso de este ejemplo donde hay 4
Valores negativos) se tiene que continuar con los siguientes pasos:

15. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :11
•Tomar el costo relativo más negativo y del circuito correspondiente tomar la variable no básica como la variable
entrante. Para nuestro ejemplo sería -9 :
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
NOTA: Si hay empate en los valores (costo relativo más negativo),
se toma uno de esos circuitos empatados de manera arbitraria.

16. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
12 •Para hallar la variable saliente se hace lo siguiente:
•Tomar las casillas con signo negativo de ese circuito y de ellas la que tenga menos unidades asignadas(
• y esa es la variable saliente).
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9

17. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 3
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
13
•Hacemos t= unidades asignadas en la variable saliente.
t = 1
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9

18. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1 - 1 0 + 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
2 + 1 3 - 1
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2
CR-C1F3 = (0x2) – (3x3) + (2x1) – (1x2) = -9
14
•A cada una de las casillas del circuito se le suma o resta el valor de “t” dependiendo del signo asignado.

19. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :15
•Con esto la tabla inicial cambió y a esta nueva tabla se le debe repetir todos los pasos desde el 1.
•El algoritmo termina cuando en alguna tabla todos los costos relativos sean positivos.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
3 2
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

20. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :16
Esta es la nueva tabla a la cual se le debe aplicar todo el algoritmo DE
PRUEBA DE OPTIMALIDAD nuevamente desde el paso 1.
Recuerde : El algoritmo termina cuando TODOS los costos relativos
sean positivos.
F1 F2 F3 Ficticia Oferta
C1
2 - 2 + 2 0
4
3 1
C2
1 + 1 - 3 0
5
3 2
C3
2 2 2 0
3
1 2
Demanda 3 3 4 2

21. ALGORITMO STEPPING-STONE PASO A PASO.
PASO :
GRACIAS