Este documento trata sobre la congruencia y semejanza de figuras geométricas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, y son coincidentes cuando se colocan una sobre otra. Para que dos triángulos sean congruentes, sus lados y ángulos correspondientes deben ser iguales. También presenta criterios como LLL, LAL y ALA para determinar si dos triángulos son congruentes. Por otro lado, explica que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero diferentes tamaños, y sus áng

2. ¿Cómo son las figuras
mostradas?2
Son idénticas

3. Ej emplos de CongruenciaEj emplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTESESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTESESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTASESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTESSON FIGURAS CONGRUNTES

4. CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la
misma forma y tamaño, es decir, si al
colocarlas una sobre otra son coincidentes en
toda su extensión.

5. Criterios de congruencia

6. Triángulos congruentes
 Dos triángulos son congruentes si y sólo si
sus partes correspondientes son
congruentes.
A
B C
D
E F
ABC ≅ DEF

7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF
son correspondientes si:
 Sus lados correspondientes son iguales
 Sus ángulos correspondiente son iguales.
 En la figura
A
EFAC
DFBC
EDAB
=
=
=
;
;
B
C
E
F D
α β
γ
α
βγ

8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA
 Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los de otro, entonces los
triángulos son congruentes.
 Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son
congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
 Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre
ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
 Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro
lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo
son congruentes con los del otro triangulo, entonces los
triángulos son congruentes.

9. Postulado LLL
 Si los lados de un triángulo son congruentes
con los lados de un segundo triángulo,
entonces los triángulos son congruentes.
A
B C
D
E F
ABC ≅ DEF

10. Postulado ALA
 Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro
triángulo, los triángulos son congruentes.
A
B
C
D
E
ABC ≅ CDE

11. Postulado AAL
 Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo
son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido
de otro triángulo, los triángulos son congruentes.
A
B C
D
E
ABC ≅ EFD
F

12. Postulado LAL
 Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son
congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro
triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
A
B
C D
E
ABC ≅ DEF
F

13.  Ejemplos:
En la figura, se tiene un triángulo ABC
isósceles
( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4
partes iguales. ¿Cuáles triángulos son
congruentes?

14. FIGURAS SEMEJANTES

15. 15
¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes

16. Semej anzaSemej anza
• Dos figuras que tienen la misma forma,
aun con diferentes dimensiones, se
llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus
ángulos correspondientes son iguales y
sus lados correspondientes
proporcionales.
• Los elementos que se corresponden
(puntos, segmentos, ángulos …) se
llaman homólogos.

17.  Dos figuras del
plano son
semejantes si los
cocientes de de los
segmentos
determinados por
pares cualesquiera
de puntos
correspondientes
son iguales.
ML
M'L'
es la razón de semejanza

18. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y
los ángulos iguales.
El cociente
a b c
k
a' b' c'
= = =
se llama razón de semejanza.

19. 19
SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS

22. 22
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
x 3
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m
5m
6m
A
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R

23. 23
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos
afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide
3a.
Además:
Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo
ABC se triplica en el triángulo PQR.

24. 24
CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS

25. Criterios de semejanza de triángulos
 existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos sus
lados y todos sus ángulos. Estos principios se
conocen con el nombre de criterios de
semejanza de triángulos

26. Existen tres criterios de semejanza
de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)

27. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes
congruentes, entonces el tercero también será congruente y los
triángulos son semejantes”.
Criterio LAL de semejanza.
Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo
congruente comprendido entre lados proporcionales”.
Criterio LLL de semejanza.
Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son
proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

28. A´
B´C’
A
B
C
I. Primercriterio AA
 Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
α´
α
β´
β
γ´
γ
Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´

29. Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
25
65 25
65
¡SI!
Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA

30. II. Segundo criterio LLL
 Dos triángulos que tienen los tres lados
proporcionales son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´

31. Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
C
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3 = =
3,5
7
5
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por
criterio LLL

32. III. Tercercriterio LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y
el ángulo comprendido entre ellos es igual, son
semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
Es decir:
a
a´
a
a´ =
c
c´
c
c´
y α = α´
α
α´
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B´C´

33. Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son
iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos

34. ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS

35. Ejercicio
 Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la
razón de semejanza.
 a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
65 : 10 = 6,5
52
8
= 65
10
= 78
12
= 6,5
Efectivamente, al calcular
los productos “cruzados”,
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780

36. Ejercicio
 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cmy 5 cm
respectivamente y deseamos haceruna ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
Luego, debe ocurrir:
3
4
5
x
y
z
Entonces: X= 3· 3 = 9
= 9
Y = 4 · 3 =12
12 =
Z = 5 · 3 = 15
=15
La razón de
semejanza es 3
Representamos la situación
=
X
3 =
Y
4
Z
5 =
3
1 =3
Escala de
ampliación
X
3
= 3
Y
4 =3
Z
5
=3

37. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo
triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de
semejanza?.
50
30
40
12
16
20
30
12
= 40
16
50
20
=
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
50 : 20 = 2,5
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales