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SEMEJANZA DE
   TRIÁNGULOS


ALUMNOS DE CUARTO GRADO
• En esta presentación encontrarás :

  Descripción                                  Criterios de
  del concepto     Definición y                semejanza
 de semejanza      ejemplos del               de triángulos
   y ejemplos      concepto de                 y ejemplos
                   semejanza




      Algunos                 Todos estos elementos
      ejercicios                 son la base de los
      sencillos               contenidos relacionados
                                  con la unidad de
                                    semejanza
SEMEJANZA
Descripción: Dos figuras son
        semejantes cuando tienen la misma
        “forma”, pero no necesariamente el
        mismo tamaño




Ejemplos de
figuras
semejantes
No son figuras semejantes
Definición geométrica: Dos figuras son
       semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados
        homólogos (correspondientes) es constante, es decir son
          proporcionales y sus ángulos correspondientes son
                             congruentes
   Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos
   son semejantes?                      ¿Tienen sus lados
                                       respectivos proporcionales?
                 10cm
                                                      10 4
                                    5cm                 =
                                                       5 2        Así es, ya que
                                                                   los productos
                                             2cm                  “cruzados” son
          4cm                                                          iguales
                                                                    10 •2 = 5 • 4
¿Son sus ángulos correspondientes
congruentes?                                       Al cumplirse las dos
         Efectivamente, al tratarse de dos         condiciones anteriores,
          rectángulos, todos los ángulos           podemos decir que los
          miden 90º y se cumple que los
          ángulos correspondientes son             dos rectángulos son
                   congruentes
                                                   semejantes
Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si
        sus ángulos son,
 respectivamente, iguales y sus
      lados homólogos son
        proporcionales.
Criterios de Semejanza de
         Triángulos

Existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes
 sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triángulos o
casos de semejanza.
Existen tres casos de semejanza
         de triángulos

   1. AA ( ángulo-ángulo)
   2. LLL (lado-lado-lado)
   3. LAL (lado-ángulo-lado)
I.    Primer Caso
                       AA
  Dos triángulos que tienen los dos ángulos
   congruentes son semejantes entre sí.
         A                               A´
                                         α´
         α

     β        γ   B
 C                                                     γ´
                                     β
                            C’       ´                           B´
Es decir: Si α = α´ , β = β´     de lo anterior se deduce que   γ = γ
                                 ´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?


                                65

            65   25



                                        2
                                        5

     ¡SI!
                      Por que al tener dos de
                           sus ángulos
                      congruentes, cumplen
                         con el criterio AA
II. Segundo Caso
                      LLL
    Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales
                    son semejantes entre sí.
           A                              A´

                   b                                  b´
      a
                                  a´
     C                 B
               c
  Es decir:                      C’                                   B´
              a    b    c                   c´
              a´ = b´ = c´ =K               El cociente obtenido de
                                               comparar los lados
                                               homólogos entre sí
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´         recibe el nombre de
                                             razón de semejanza.
Ejemplo
    Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
                                                                  P
Verifiquemos si las medidas de los
                                               B       1,5
lados son proporcionales                                     C
                                         3,5
 1,5   3,5 5                                                              7
 3   = 7 = 10                                      5



                                     A                       10
   Efectivamente , así es, ya que
   los productos “cruzados” son
                iguales
        1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
         3,5 • 10 = 7 • 5 = 35                                                Q

Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son                                 3
semejantes por criterio LLL
                                                             R
III. Tercer Caso
                          LAL
 Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
     ángulo comprendido entre ellos es igual, son
                   semejantes entre sí.
        A                             A´

      a
                                        a´
          α
  C                       B
               c                         α´
                                   C’         c´             B´
Es decir:
              a    c
              a´ = c´          y    α = α´
                        Entonces ∆ ABC semejante a   ∆ A´B
                        ´C´
Ejemplo
    ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
    Veamos si dos de sus lados
    son proporcionales
                                       A                                 D
                                                                     9
      3
                                                            E
          = 4                         3
      9     12
                                                            C
                                          B    4
      Efectivamente así es,
      ya que los productos                                      12
         “cruzados” son
             iguales
          3 • 12 = 4 • 9          Efectivamente, porque,
¿Los ángulos formados por        tal como se señala en el
estos dos lados son              dibujo, ambos son rectos
congruentes?
                                                                     F
          Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Algunas aplicaciones de
   estos conceptos
Ejercicio
   Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son
   semejantes y halla la razón de semejanza.
                                      a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
                                      b) 52 cm, 65 cm, 78 cm

  Representemos el ejercicio                              Efectivamente, al calcular
                                                          los productos “cruzados”,
                                                65
                                                               podemos ver la
                       12                                 proporcionalidad entre las
              8
                                  78                        medidas de los lados
                                                                 respectivos
                     10
                                                             52 •10 = 8 • 65 = 520
                                           52               65 • 12 = 10 •78 = 780


Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales                        Para calcular la razón de
                                                          semejanza se calcula una
    52 = 65 = 78 =          6,5                                de las razones
     8   10   12                                                65 : 10 = 6,5



  Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
Ejercicio
 Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
 respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
 ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.

                  Representamos la situación
                                                         x=9
              5
      3
                                           12 = y
              4                                        z =15
Luego, debe ocurrir:

  X   Y   Z   3
  3 = 4 = 5 = 1 =3               Entonces: X = 3       X= 3· 3 = 9
                                               3
                                                Y
  Escala de
                                                4 =3
                                                       Y = 4 · 3 =12
 ampliación                La razón de
                         semejanza es 3         Z =3   Z = 5 · 3 = 15
                                                5
OTRO EJERCICIO SIMILAR
     Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los
          lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son
           semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.

                                                             Para comprobar la
                                                         proporcionalidad podemos
                               20            12            efectuar los productos
                  50                                             “cruzados”
                                                         30x16=480 y 40x12=480
30                                                                además
                                     16                 40x20=800 y 16x50=800


                40
Comprobemos que las medidas de los
                                                      Para calcular la razón de
lados homólogos son proporcionales                    semejanza se calcula una
                                                           de las razones
                                                            50 : 20 = 2,5
           30 = 40 = 50
           12   16   20
UNA APLICACIÓN
      Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
      altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5
      metros?(Haz un dibujo del problema).
                                                                            Son semejantes
                                                                            por que cumplen
      p                                                                       el criterio AA,
                                                                            tienen iguales el
      o                                                                     ángulo recto y el
      s     3m                                                                  ángulo de
      t                                          x                            elevación que
      e                                                                     forman los rayos
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                       2m sombra


                                                                  4,5m
          Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
          son semejantes, por lo tanto

Formamos la proporción
                          3         2                            X=      3 • 4,5 = 6,75m
                          x   =    4,5   De donde                          2
Para terminar una pequeña
       demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC


                            B




                  A                 C
                                                   D


                                           E
Demostración
   Afirmaciones        Razones

  ∠ABC ≅ ∠CDE         Por ser ángulos alternos internos entre //
  ∠BAC ≅ ∠CDE          Por ser Ángulos alternos internos entre //



  Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al
  criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son
  semejantes

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Semejanza de tRIÁNGULOS

  • 1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ALUMNOS DE CUARTO GRADO
  • 2. • En esta presentación encontrarás : Descripción Criterios de del concepto Definición y semejanza de semejanza ejemplos del de triángulos y ejemplos concepto de y ejemplos semejanza Algunos Todos estos elementos ejercicios son la base de los sencillos contenidos relacionados con la unidad de semejanza
  • 4. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño Ejemplos de figuras semejantes
  • 5. No son figuras semejantes
  • 6. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? 10cm 10 4 5cm = 5 2 Así es, ya que los productos 2cm “cruzados” son 4cm iguales 10 •2 = 5 • 4 ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Al cumplirse las dos Efectivamente, al tratarse de dos condiciones anteriores, rectángulos, todos los ángulos podemos decir que los miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son dos rectángulos son congruentes semejantes
  • 7. Triángulos Semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
  • 8. Criterios de Semejanza de Triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos o casos de semejanza.
  • 9. Existen tres casos de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
  • 10. I. Primer Caso AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ α´ α β γ B C γ´ β C’ ´ B´ Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ ´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  • 11. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 2 5 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
  • 12. II. Segundo Caso LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ b b´ a a´ C B c Es decir: C’ B´ a b c c´ a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
  • 13. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes P Verifiquemos si las medidas de los B 1,5 lados son proporcionales C 3,5 1,5 3,5 5 7 3 = 7 = 10 5 A 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Q Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son 3 semejantes por criterio LLL R
  • 14. III. Tercer Caso LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a a´ α C B c α´ C’ c´ B´ Es decir: a c a´ = c´ y α = α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B ´C´
  • 15. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 3 E = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, ¿Los ángulos formados por tal como se señala en el estos dos lados son dibujo, ambos son rectos congruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
  • 16. Algunas aplicaciones de estos conceptos
  • 17. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
  • 18. Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Representamos la situación x=9 5 3 12 = y 4 z =15 Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X = 3 X= 3· 3 = 9 3 Y Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12 ampliación La razón de semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
  • 19. OTRO EJERCICIO SIMILAR Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 30 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40 Comprobemos que las medidas de los Para calcular la razón de lados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
  • 20. UNA APLICACIÓN Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen p el criterio AA, tienen iguales el o ángulo recto y el s 3m ángulo de t x elevación que e forman los rayos solares con el suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto Formamos la proporción 3 2 X= 3 • 4,5 = 6,75m x = 4,5 De donde 2
  • 21. Para terminar una pequeña demostración
  • 22. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D E Demostración Afirmaciones Razones ∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre // ∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes