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Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales y sus
lados homólogos son proporcionales.
existen algunos principios que nos permiten determinar si
dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y
comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de criterios de
semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
A´
B´C’
A
B
C
Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes
son semejantes entre sí.
α´
α
β
´
β
γ´
γ
Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ
´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
25
65 25
65
¡SI! Por que al tener dos de
sus ángulos
congruentes, cumplen
con el criterio AA
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son
semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
a
a´
El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:
a
a´ =
b
b´ =
c
c´ =K
b b´
c
c´
Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
C
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los
lados son proporcionales
1,5
3 = =
3,5
7
5
10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son
semejantes por criterio LLL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes
entre sí.
A´
B´C’
A
BC
Es decir:
a
a´
a
a´ =
c
c´
c
c´
y α = α´
α
α´
Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B
´C´
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B
C
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales
3
9
= 4
12
Efectivamente así es,
ya que los productos
“cruzados” son
iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por
estos dos lados son
congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque,
tal como se señala en el
dibujo, ambos son rectos
Por el criterio LAL, los triángulos ABC y JKL son semejantes.
Poste pequeño Poste j
Entonces,
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son
semejantes y halla la razón de semejanza.
a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
65 : 10 = 6,5
52
8
= 65
10
= 78
12
= 6,5
Efectivamente, al calcular
los productos “cruzados”,
podemos ver la
proporcionalidad entre las
medidas de los lados
respectivos
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780
Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
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Luego, debe ocurrir:
3
4
5
x
y
z
Entonces: X= 3· 3 = 9
= 9
Y = 4 · 3 =12
12 =
Z = 5 · 3 = 15
=15
La razón de
semejanza es 3
Representamos la situación
=
X
3 =
Y
4
Z
5 =
3
1 =3
Escala de
ampliación
X
3
= 3
Y
4 =3
Z
5
=3
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50
30
40
12
16
20
30
12
= 40
16
50
20
=
Para calcular la razón de
semejanza se calcula una
de las razones
50 : 20 = 2,5
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
efectuar los productos
“cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
además
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los
lados homólogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué
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metros?(Haz un dibujo del problema).
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4,5m
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p
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Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra
son semejantes, por lo tanto
De donde = 6,75m
Son semejantes
por que cumplen el
criterio AA, tienen
iguales el ángulo
recto y el ángulo
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Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
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PLAN DE CAPACITACION xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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Trabajo geometria

  • 1. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
  • 2. existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
  • 3. 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
  • 4. A´ B´C’ A B C Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. α´ α β ´ β γ´ γ Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ ´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  • 5. ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
  • 6. Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´C’ A BC a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: a a´ = b b´ = c c´ =K b b´ c c´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
  • 7. Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 = = 3,5 7 5 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
  • 8. Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A´ B´C’ A BC Es decir: a a´ a a´ = c c´ c c´ y α = α´ α α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B ´C´
  • 9. ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? A B C 4 3 D E F 9 12 Veamos si dos de sus lados son proporcionales 3 9 = 4 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
  • 10.
  • 11.
  • 12. Por el criterio LAL, los triángulos ABC y JKL son semejantes. Poste pequeño Poste j Entonces,
  • 13. Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL 8 10 12 78 65 52 Representemos el ejercicio Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 52 8 = 65 10 = 78 12 = 6,5 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780
  • 14. Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: 3 4 5 x y z Entonces: X= 3· 3 = 9 = 9 Y = 4 · 3 =12 12 = Z = 5 · 3 = 15 =15 La razón de semejanza es 3 Representamos la situación = X 3 = Y 4 Z 5 = 3 1 =3 Escala de ampliación X 3 = 3 Y 4 =3 Z 5 =3
  • 15. Otro ejercicio similar 50 30 40 12 16 20 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales
  • 16. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Una aplicación 4,5m x 3m 2m sombra p o s t e Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto De donde = 6,75m Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo =3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2 Formamos la proporción