Este documento presenta el concepto de semejanza y sus criterios para triángulos. Define la semejanza como cuando dos figuras tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Explica que dos figuras son semejantes si la razón entre sus lados correspondientes es constante. Luego, describe los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: ángulo-ángulo, lado-lado-lado, y lado-ángulo-lado. Proporciona ejemplos para ilustrar cada criterio.

1. SEMEJANZA Clase 25 de Agosto Segundos medios Prof: Joselyn Rojas Morgado.

3. Semejanza

4. Ejemplos de figuras semejantes Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño

5. No son figuras semejantes

6. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? 2º ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulos son semejantes 1º ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Sí, al tratarse de dos rectángulos, todos los ángulos miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 5cm 2cm 10cm 4cm

7. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales .

8. Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

11. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA 25 65 25 65

12. Segundo criterio L-L-L Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. Es decir: a a´ = b b´ = c c´ = K Entonces,  ABC semejante con  A´B´C´ A ´ B ´ C ’ A B C a a´ b b´ c c´

13. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 1,5 3 3,5 7 5 10

14. Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual , son semejantes entre sí. Tercer criterio L-A-L Es decir: = Entonces  ABC semejante a  A´B´C´ A ´ B ´ C ’ A B C a a´ a a´ c c´ c c´ y  =  ´   ´

15. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales = 4 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 12