Este documento trata sobre conjuntos regulares y expresiones regulares. Explica que los conjuntos regulares son aquellos que pueden ser reconocidos por un autómata de estado finito según el teorema de Kleene. También describe cómo construir autómatas para reconocer conjuntos regulares formados por operaciones como unión, concatenación y clausura de Kleene.

1. CONJUNTOS REGULARES
Orlando Arboleda Molina
´
Escuela de Ingenier´a de Sistemas y Computacion de
ı
La Universidad del Valle
19 de Octubre de 2008

2. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

3. ´
Pregunta: Si los automatas de estado finito se pueden utilizar
para reconocer lenguajes. Que conjuntos pueden reconocer ?
´
Solucion: En 1956 el matematico estadounidense Stephen
´ ´
Kleene demostro que hay un automata de estado finito que
reconoce un conjunto si y solo si, este conjunto se puede
construir a partir del conjunto vac´o, la cadena vac´a y cadenas
ı ı
de un s´mbolo haciendo uso de los operadores de union,
ı ´
´
concatenacion y cierre de kleene, tomados en orden arbitrario.

4. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

5. Expresiones regulares
Las expresiones regulares sobre un conjunto I son definidas
recursivamente por:
◮ El s´mbolo ∅ (conjunto vac´o) es una expresion regular
ı ı ´
◮ El s´mbolo λ (conjunto {λ}) es una expresion regular
ı ´
◮ El s´mbolo x (conjunto {x}) es una expresion regular
ı ´
siempre que x ∈ I
◮Los s´mbolos (AB), (A ∪ B), y A∗ son expresiones
ı
regulares siempre que A y B son expresiones regulares
´
Cada expresion regular representa un conjunto.
Ejemplo: Las siguientes son expresiones regulares: (10)∗ ,
(1 ∪ 0)∗ , 0 ∪ (1∗ ∪ 0)∗

6. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

7. Conjunto regulares
Los conjuntos representados por expresiones regulares son
llamados conjuntos regulares.
Ejercicio1: Determinar las cadenas para cada uno de los
siguientes conjuntos regulares:
◮ 10∗
◮ (1 ∪ 01)(10)∗
◮ 0 ∪ 01
◮ 0(0 ∪ 1)∗
◮ (0∗ 1)∗

8. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

9. Teorema de Kleene
Teorema 1 - Teorema de Kleene
Un conjunto es regular si y solo si es reconocido por un
´
automata de estado finito.
´
Como construir los automatas que reconocen los conjuntos
regulares ?

10. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

11. ´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
◮ Automatas que reconocen los conjuntos ∅, {λ} y {a}
´
respectivamente

12. ´
Automatas que reconocen conjuntos regulares (2)
◮ ´
Automata MAB que reconoce al conjunto AB
◮ Combina en serie a MA y MB
◮ SAB = SA SB
◮ Estado inicial sA
◮ FAB = FB . Anadiendo SAB si λ ∈ A
˜ B y FA si λ ∈ B
◮ Transiciones: si λ ∈ A cada transicion que parta de SB y
´
desde cada estado previo a uno en FA ir hasta sB

13. ´
Automatas que reconocen conjuntos regulares (3)
◮ Automata que reconoce al conjunto A ∪ B
´
◮ Combina en paralelo a MA y MB
◮ SA S B = SA SB {sA∪B }
◮ Estado inicial {sA∪B }
◮ FA S B = FA FB . Anadiendo sA∪B si λ ∈ A
˜ B
◮ Transiciones: transiciones desde {sA∪B } con los simbolos
que procesaban sA y sB

14. ´
Automatas que reconocen conjuntos regulares (4)
◮ Automata que reconoce al conjunto A∗
´
◮ ∗
SA = SA {sA∗ }
◮ Estado inicial {sA∗ }
◮ ∗
FA = FA {sA∗ }.
◮ ´
Transiciones: por cada transicion desde sA a un estado s
para la entrada i, incluir transicion desde {sA∗ } hasta s con
´
´
el s´mbolo i y una transicion desde cada estado final hasta
ı
s para el mismo dato de entrada i.

15. ´
Automatas que reconocen conjuntos regulares (5)
´
Ejercicios: Construir automatas de estado finito que
reconozcan los siguientes conjuntos regulares:
◮ {11, 0}∗
◮ {11, 0}∗ 00, 1{10, 01}∗
◮ {11, 00}{01, 101}∗ {1, 00, 10}∗
◮ {11, 00}{01, 101}∗ {1, 00, 10}{1}∗

16. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

17. ´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
Teorema 2
´
Un conjunto es generado por una gramatica regular si y solo si
es un conjunto regular.
´
Ejercicio: Construir un automata de estado finito no
determinista que reconozca el lenguaje generado por la
gramatica regular G = (V , T , S, P), donde:
´
V = {0, 1, A, S}
T = {0, 1}
P = {S → 1A, S → 0, S → λ, A → 0A, A → 1A, A → 1}.
Nota: La idea es que el estado inicial es final si existe la
produccion S → λ. Adicionalmente que se cree un estado por
´
cada s´mbolo no terminal, mas un estado final adicional)
ı

18. ´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares (2)
´
Ejercicio: Hallar la gramatica regular que genere el conjunto
´
regular reconocido por el siguiente automata

19. Contenido
Conjunto regulares
Expresiones regulares
Conjunto regulares
Teorema de Kleene
´
Automatas que reconocen conjuntos regulares
´
Conjuntos regulares y Gramaticas regulares
´
Limitaciones de los automatas de estado finito

20. ´
Limitaciones de los automatas de estado finito
Ejercicio: Es el conjunto {0n 1n | n = 0, 1, . . .} regular ?
´
Nota: El conjunto puede ser generado con una gramatica libre
de contexto
´
Los automatas finitos:
◮ Son limitados (capacidad de memor´a finita).
ı
◮ No reconocen lenguajes que no son regulares.
´ ´
Modelos de computacion mas potentes:
´ ´
◮ Automata a pila (reconoce gramaticas libres del contexto).
No podr´a reconocer {0
ı n 1n 2n | n = 0, 1, . . .}
´ ´
◮ Maquinas de Turing ((reconoce gramaticas dependientes
del contexto).