CPI1 - Clase 2

Control de procesos industriales I

Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc

FUNDAMENTACIÓN
MATEMÁTICA PARA EL
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE
CONTROL
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012

La Transformada de Laplace

 La Transformada de Laplace es un método
operacional que puede utilizarse para resolver
ecuaciones diferenciales lineales.

 Transforma ecuaciones diferenciales en
ecuaciones algebraicas de una variable
compleja s


 ¿Por qué se utiliza Transformada de Laplace en
el control procesos?


¿Por qué se utiliza Transformada de
Laplace en el control procesos?

 En el estudio de los procesos es necesario
considerar modelos dinámicos, es decir,
modelos de comportamiento variable respecto al
tiempo.

 Para esto, es necesario el uso de ecuaciones
diferenciales respecto al tiempo para
representar matemáticamente el
comportamiento de un proceso [1].


¿Por qué se utiliza Transformada de
Laplace en el control procesos?

 La transformada de Laplace es una herramienta
matemática muy útil para el análisis de sistemas
dinámicos lineales.
 Permite el desarrollo del útil concepto de
funciones de transferencia [3]

 Permite el uso de técnicas gráficas para
predecir el desempeño del sistema, sin tener
que resolver las ecuaciones diferenciales del
sistema [2].

Variables y funciones complejas

Para trabajar con las transformadas de Laplace se
requiere cierta familiaridad con los números
complejos:

 Numero complejo: Un número complejo tiene
una parte real y una parte imaginaria, ambas
son constantes.
 Variable compleja: Si la parte real y/o la parte
imaginaria son variables, el número complejo se
denomina variable compleja



 En la transformada de Laplace, usamos la
notación s como una variable compleja

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

donde 𝜎 es la parte real y ω es la parte imaginaria



 Función compleja: tiene una parte real y una
parte imaginaria
𝐹(𝑠) = 𝐹𝑥 + 𝑗𝐹 𝑦

donde𝐹𝑥 y 𝐹 𝑦 son cantidades reales.

Magnitud: 𝐹(𝑠) = 𝐹𝑥 2 + 𝑗𝐹 𝑦 2

Ángulo: θ = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐹 𝑦 /𝐹𝑥 )


 Ejemplo de función compleja

Considere:

remplazando 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 se obtiene:

donde


Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función del
tiempo f(t), se define mediante la siguiente
fórmula:

∞
𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) = 0
𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

Donde
 𝐹 𝑠 es una función del tiempo
 𝑠 una variable compleja
 ℒ 𝑓 o 𝐹 𝑠 es la transformada de Laplace de 𝑓 𝑡


Transformada de Laplace:
Función exponencial.
Considere la función exponencial

en donde A y a son constantes.

 Calcule la transformada de Laplace.


Función exponencial.
SOLUCIÓN

∞
Transformada de Laplace: ℒ 𝑓(𝑡) = 0
𝑓 𝑡 = 𝐴 𝑒 −𝑎𝑡 0 ≤ 𝑡 < ∞

Remplazando:
∞
ℒ 𝐴 𝑒 −𝑎𝑡 = 0
𝐴 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 aplicando 𝑒 𝑎+𝑏 = 𝑒 𝑎 𝑒 𝑏
∞ ∞
𝑒 −(𝑠+𝑎)𝑡
ℒ 𝐴 𝑒 −𝑎𝑡 = 𝐴 𝑒 −(𝑠+𝑎)𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴
0 −(𝑎 + 𝑠) 0
𝑒 −(𝑠+𝑎)∞ 𝑒 − 𝑠+𝑎 0 1 𝑨
= 𝐴 − 𝐴 =0− 𝐴 =
−(𝑎+𝑠) −(𝑎+𝑠) −(𝑎+𝑠) 𝒂+𝒔

Función escalón.
Considere la función escalón

en donde A es una constante.



Función escalón
SOLUCIÓN

∞
𝑓 𝑡 = 𝐴 0≤ 𝑡<∞

Remplazando:
∞ ∞
𝑒 −𝑠𝑡
ℒ 𝐴 = 𝐴 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴
0 −𝑠 0
𝑒 −𝑠.∞ 𝑒 −𝑠.0 1 𝑨
= 𝐴 − 𝐴 = 0− 𝐴 =
−𝑠 −𝑠) −𝑠 𝒔
* La función escalón es un caso especial de la función
exponencial a=0

Función rampa
Considere la función rampa

en donde A es una constante.



Función rampa
SOLUCIÓN

∞
𝑓 𝑡 = 𝐴𝑡 0 ≤ 𝑡 < ∞

Remplazando:
∞ ∞
ℒ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0 0
Resolviendo la integral por partes
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 sea: 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑒 −𝑠𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑣 =
−𝑠

Función rampa
Integral por partes
𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 sea: 𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑒 −𝑠𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑣 =
−𝑠
Remplazando
𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 ∞
𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 − 𝑑𝑡 = 𝑡 −
−𝑠 −𝑠 −𝑠 −𝑠 2 0
1
𝑒 −𝑠∞ 𝑒 −𝑠∞ 𝑒 −𝑠∞ 𝑒 −𝑠0 1
=∞ − −0 + =
−𝑠 −𝑠 2 −𝑠 −𝑠 2 𝑠2

0 0 0
𝐴
ℒ 𝐴𝑡 =
𝑠2

Función rampa
Considere la siguiente función

en donde A y 𝜔 es una constante.



Función escalón
SOLUCIÓN

∞
𝑓 𝑡 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 0 ≤ 𝑡 < ∞

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) se puede escribir de la siguiente forma:
1
sen ω𝑡 = (𝑒 𝑗𝑤𝑡 − 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 )
2𝑗
Por lo tanto
∞
1 𝑗𝑤𝑡
ℒ 𝐴 = 𝐴 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 ) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0 2𝑗


Función escalón
Por lo tanto
∞
1 𝑗𝑤𝑡
ℒ 𝐴 = 𝐴 (𝑒 − 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 ) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
0 2𝑗
𝐴 ∞ 𝑗𝑤𝑡 −𝑠𝑡
ℒ 𝐴 = (𝑒 𝑒 − 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 ) 𝑑𝑡
2𝑗 0
𝐴 ∞ (𝑗𝑤−𝑠)𝑡
ℒ 𝐴 = (𝑒 − 𝑒 −(𝑗𝑤+𝑠)𝑡 ) 𝑑𝑡
2𝑗 0
𝐴 1 𝐴 1 𝐴 𝐴
ℒ 𝐴 = − = −
2𝑗 𝑠 − 𝑗𝑤 2𝑗 𝑠 + 𝑗𝑤 2𝑗𝑠 + 2𝑤 2𝑗𝑠 − 2𝑤
2𝑗𝑠𝐴 − 2𝑤𝐴 − 2𝑗𝑠𝐴 − 2𝑤𝐴
ℒ 𝐴 =
(2𝑗𝑠 + 2𝑤)(2𝑗𝑠 − 2𝑤)
−4𝑤𝐴 𝐴𝑤
ℒ 𝐴 = 2 − 4𝑗𝑠𝑤 + 4𝑗𝑠𝑤 − 4𝑤 2
= 2
−4𝑠 𝑠 + 𝑤2

Transformada de Laplace de funciones
más usuales


Propiedades de la Transformada de
Laplace
 Linealidad: y

 Diferenciación

 Integración

 Desplazamiento en el tiempo

 Teorema del valor inicial

 Teorema del valor final

TRANSFORMADA DE LAPLACE EN
MATLAB


Trasformada Inversa de Laplace

 La operación de obtener la función f(t) a partir
de la transformada de Laplace F(s) se le
denomina transformada inversa de Laplace:


Propiedades de la Transformada
inversa de Laplace
 Linealidad:

 Traslación

 Cambio de escala

 Transformada inversa de Laplace de una derivada

 Transformada inversa de Laplace de una integral


Método de las fracciones simples

Método para calcular transformadas inversas de Laplace
de funciones F(s) racionales de la forma [4]:
𝑁(𝑠)
𝐹 𝑠 =
𝐷(𝑠)
Donde 𝑁 𝑠 𝑦 𝐷 𝑠 son polinomios en la variable s
Pasos:
1. Descomponer la fracción F(s) en fracciones simples
a) Encontrar las raíces de 𝑄 𝑠
• Raíces reales y simples

Descomponiendo en fracciones parciales
donde


• Raíces múltiples y reales

Descomponiendo en fracciones parciales

Donde



• Raíces complejas conjugadas: misma expansión que en
raíces reales y simple
Complejos conjugados de la forma

2. Calcular la trasformada inversa de Laplace
haciendo uso de la propiedad de linealidad



 Ejercicio 1

Sea

Hallar f(t)



 Solución

Si expandimos en fracciones parciales obtenemos

donde
Remplazando



Se obtiene:
1 1
1 − −
𝐹 𝑠 = + 2 + 2
𝑠 (𝑠 + 1) (𝑠 + 3)
Aplicando la transformada inversa
1 1
1 − −
𝑓 𝑡 =ℒ −1
+ 2 + 2
𝑠 (𝑠 + 1) (𝑠 + 3)
Aplicando la propiedad de linealidad
1 1
1 −2 −2
𝑓 𝑡 = ℒ −1 + ℒ −1 + ℒ −1
𝑠 (𝑠+1) (𝑠+3)
1 −𝑡 1 −3𝑡
𝑓 𝑡 =1− 𝑒 − 𝑒
2 2


 Ejercicio 2

Sea

Hallar f(t)



Se obtiene:
1 1 −2
𝐹 𝑠 = + 2
+
(𝑠 + 1) (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)3
Aplicando la transformada inversa
−1
1 1 −2
𝑓 𝑡 =ℒ + 2
+
(𝑠 + 1) (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)3
Aplicando la propiedad de linealidad
1 1 −2
𝑓 𝑡 = ℒ −1 + ℒ −1 + ℒ −1
(𝑠+1) (𝑠+1)2 (𝑠+1)3
𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑡 + 𝑡 𝑒 −𝑡
− 𝑡2 𝑒 −𝑡


Método de las fracciones simples con
Matlab
Sea

El comando
[r,p,k] = residue(b,a)
Encuentra los residuos, los polos y los términos
directamente de una expansión en fracciones
parciales del cociente de dos polinomios B(s) y
A(s)


Método de las fracciones simples con
Matlab
Ejemplo

código
b = [ 5 3 -2 7]
a = [-4 0 8 3]
[r, p, k] = residue(b,a)

r = p = k =
-1.4167 1.5737 -1.2500
-0.6653 -1.1644
1.3320 -0.4093


TRANSFORMADA INVERSA DE
LAPLACE EN MATLAB


SOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES CON LAPLACE
Considérese la siguiente ecuación diferencial de
segundo orden.

𝑑2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡)
𝑎2 2
+ 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
El problema de resolver esta ecuación se puede
plantear como sigue: dados los coeficientes
𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑏, las condiciones iniciales apropiadas
y la función x(t), encuéntrese la función y(t) que
satisface la ecuación


𝑑2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡)
𝑎2 2
+ 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑥(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡

 La función x(t) se conoce generalmente como
función de forzamiento o variable de entrada.
 y(t) como la “función de salida” o variable
dependiente
 la variable t, tiempo, es la variable
independiente.


Procedimiento de solución por la transformada de
Laplace:
 Paso 1. Transformación de la ecuación
diferencial en una ecuación algebraica con la
variable s de la transformada de Laplace:



Usando el teorema de diferenciación


Remplazando se obtiene la siguiente Ecuación
algebraica

Paso 2. Se despeja Y(s) de la ecuación algebraica
encontrada



Asumiendo que
=0 y

La ecuación anterior se reduce a:



Paso 3. Se aplica a Y(s) la transformada inversa
de Laplace para encontrar y(t)

Antes de invertir es necesario seleccionar una
entrada específica. Por ejemplo sea


 EJERCICIO
Encuentre la solución x(t) de la siguiente ecuación
diferencial

a y b son constantes


Solución

Definiendo la transformada de Laplace para
𝑥, 𝑥 𝑦 𝑥

Remplazando


 Remplazando las condiciones iniciales

Organizando los términos

Despejando X(s)


 Aplicamos transformada de Laplace


CPI1 - Clase 2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a CPI1 - Clase 2

Similar a CPI1 - Clase 2 (20)

Más de BlogsalDescubierto

Más de BlogsalDescubierto (8)

CPI1 - Clase 2