Este documento nos muestra un problema de ecuación diferencial, soluciona dolo en diferentes pasos como fracciones parciales, limites, anti-transformada entre otros.

1. Matemáticas Avanzadas II
ECUACIONES DIFERENCIALES CON
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ing. Tecnologías de la producción
“8°A”
Presenta:
Diana Laura Ochoa Gallegos.
Jeniffer Luna López.
Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz. 31-01-15

2. En este documento encontraras un ejercicio resuelto mediante la utilización de la
transformada de Laplace se resolverá con la definición ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
, también
utilizaremos fracciones parciales y anti-transformada de Laplace.
L{ 𝑒𝑑} Utilizar Algebra Anti-transformada de Laplace
Solución de la ecuación Diferencial.
TRANSFORMADA DE LAPLACE ECUACIÓN DIFERENCIAL
y´´+3y´+2y=𝒆−𝒕
condición: 𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0
L{ 𝑒−𝑡} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞
0
( 𝑒−𝑡) 𝑑𝑡
=∫ 𝑒−( 𝑠 + 1) 𝑡 𝑑𝑡
∞
0
=[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑡
] 𝑏
0
F lim
𝑏→∞
[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑏
− (−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠(0)
]
Flim
𝑏→∞
[−
1
𝑠+1
𝑒−𝑠𝑏
+
1
𝑠+1
(𝑒0
)]
L{ 𝑒−𝑡} = −
1
𝑠+1𝑒 𝑠∞
+
1
𝑠+1
(1)
L{ 𝑒−𝑡} = −
1
𝑠+1𝑒 𝑠∞
+
1
𝑠+1
L{ 𝑒−𝑡} =
1
𝑠+1
L𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦 =
1
𝑠+1
L[ 𝑦´´] + 3 L[ 𝑦´]+ 2 L[ 𝑦] =
1
𝑠+1
S𝑠2 L[ 𝑦] − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) + 3𝑠 L[ 𝑦] − 3𝑦(0) + 2 L[ 𝑦] =
1
𝑠+1
=0
Se convierte a0 porque 1 entre ∞si se
puede dividir.
= 0 = 0= 0 Sustituimosconcondicióninicial.

3. TenemosComofactor común
L[ 𝑦]( 𝑠2
+ 3𝑠 + 2) =
1
𝑠+1
Despejamos
L[ 𝑦] =
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
RESOLVER POR FRACCIONES PARCIALES
F 𝑦( 𝑡) = (
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
)
F
1
(𝑠+1)2(𝑠+2)
=
𝐴
𝑠+1
+
𝐵
(𝑠+1)2
+
𝐶
𝑠+2
A(s2+3s+2)+B(s+2)+c(s2+2s+1)=1
AS2+3AS+2A +BS+2B+CS2+2CS+C=1
A+C =0
3A +B +2C = 0
2A + 2B +C = 1
-3C + B +2C =0
B = 0
-2C + 2C + C=1
C = 1
A = -1
B= 1

4. SUSTITUIRPARA RESOLVERLA ANTI-TRANSFORMADA
F 𝑦( 𝑡) =L-1[−
1
𝑠+1
+
1
(𝑠+1)2
+
1
𝑠+2
]
F 𝑦( 𝑡) = −𝑒−𝑡
+ 𝑡𝑒−𝑡
+ 𝑒−2𝑡
TABLA ANTI -TRANSFORMADA DE LAPLACE