Este documento presenta un problema de crecimiento poblacional modelado mediante una ecuación diferencial de primer orden. La población inicial de 500 habitantes aumentó a 575 habitantes en 10 años, lo que representa un crecimiento del 15%. El documento describe el planteamiento matemático para resolver la ecuación diferencial y determinar que la población después de 30 años será de aproximadamente 760 habitantes.

1. Crecimiento y decaimiento
Ecuaciones
diferenciales
3°- Unidad

2. 3.1 Seleccionar el método a utilizar para resolver
las EDO de primer orden.
Competencia técnica

3.  1.- Comprender los conceptos básicos de la matemática
universitaria.
 2.- Utilizar el lenguaje de la matemática para expresarse
correctamente.
 3.- Formula problemas de lenguaje matemático para facilitar su
análisis y solución.
 4.- Utilizar modelos matemáticos para la descripción de
situaciones reales.
 5.- Utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico
y simbólico en el planteamiento y resolución de problemas.
Capacidades a desarrollar

4.  6.-Aplicar el razonamiento lógico deductivo para la solución de
problemas.
 7.- Trabajar con datos experimentales para contribuir a su análisis.
Capacidades a desarrollar

5.  La población de un pueblo crece con una razón
proporcional a la población en el tiempo t. La
población inicial de 500 habitantes aumenta 15%
en 10 años
 ¿Cuál será la población pasados 30 años?
Planteamiento del problema

6. A) Descripción problemática.
Hay un incremento poblacional a un lapso de un
tiempo determinado.
B) Identificación de datos.
1- t=0 años 500 Habitantes (Población inicial- P0)
2- t=10 años 115% P0 (575 Habitantes)
3- t=30 años ¿?
C) Modelo matemático
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝒌𝑷
𝒅𝑷
𝒅𝒕
− 𝒌𝑷 = 𝟎
𝑷 = 𝑷𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝒕 = 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
Solución del problema

7.  D) Desarrollo
Se identifica que nuestra ecuación es homogénea y se localizan
P(t).
P(t)=-k
Dándonos como ecuación:
P=cekt
Se sustituyen nuestras primeras condiciones: P=500, t=0
500=cek0
Acto seguido se resuelve dándonos como resultado C=500 ya
que eo=1
Solución del problema

8. Una vez obtenido c se sustituye en nuestra primera ecuación:
P=500ekt
Ya con la ecuación se sustituyen nuestra segunda condiciones:
P=575, t=10.
575=500e10k
Se realizan las operaciones necesarias que se mostraran a
continuación para así obtener nuestra constante “k”
In|575/500|=In|e10k|
0.1397=10k k=0.01397
Solución del problema

9. Por ultimo solo sustituir el dato de “t” en nuestra ultima condición
al igual que el valor de “k” y “c” encontrado anterior mente para así
conocer la población. t=30
P=500e0.01397t
P=500e0.01397(30)
P=500e0.4191
 E) Resultado
P=760.29 habitantes
Solución del problema